Contexte : Gestion d'une activité commerciale de proximité.

Déo-Aron un vendeur des produits de première nécessité a l'habitude de négocier avec des différents fournisseur pour avec avoir une grande quantité de produits à prix bas.Il a souvent une chance que sa négociation réussisse avec un fournisseur.

Le rendement annuel de la vente de ses produits suit la fonction $f$ défini définie par:$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\left(\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}}\right)e^{\dfrac{1}{x}}, si x>0\\
f(x)&=&\dfrac{x}{x+1}+ln(x+1),si -1<x\leq 0
\end{array}\right.$$

Les produit sont positionnés,dans le plan complexe mini du repère $O;I;J)$ aux points $A,B,C$ et $D$ images des solutions de l'équation $(E):P(z)=0$ ou $P(z)=z^{4}-2(4-i)z^{3}-(26-9i)z^{2}-(43-15i)z+32-4i,Im(z_{D})=R_{e}z_{D}$ et $R_{e}z_{A}<R_{e}z_{B}<R_{e}z_{C}$.

Ces produits sont conditionnés dans des placards ayant la forme d'une pyramide $SEFGH$ de base carrée $EFGH$ et de sommet $S$.

Déo-Aron sollicite alors son fils Dérch en classe de Terminale $D$ pour l'aider à connaitre la forme que donne l'emplacement des placards dans le plan,l'évolution de ses activités et le volume de chaque placard.

Tache:Tu es invité(e) à accompagner Dérich à travers la résolution des trois problèmes suivantes:

Problèmes 1

1.a-Démontre que:pour tout nombre complexe $z,
p(z)=[z^{2}-(4-i)z]^{2}-(-11+i)[z^{2}-(4-i)z]+32-4i$
b-Démontre que le nombre complexe $z$ est solution de $(E)$ si et seulement si $T$ est solution de $(E')=T^{2}-(-11+i)T+32-4i=0$ avec $T=z^{2}-(4-i)z$.

c-Résous dans $\mathcal{C}$ l'équation $(E')$.

2.Démontre que $z_{A}=1+i,z_{B}=2+i,z_{C}=3-2i$ et $z_{D}=2-2i$.

3.a-Placer $A,B,C$ et $D$ dans le plan complexe.

b-Donne la nature du quadrilatère $ABCD$

Problème 2

Pour l'étude de l'évaluation du rendement et la détermination de la limite de l'aire $A(\alpha)$ de la partie du plan limité par la courbe $(C)$,l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha$ et $x=0$,Dérich muni le plan d'un repére orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

4.a-Justifie que l'ensemble de définition $D$ de $f$ est $D=]-1;+\infty[$.

b-Détermine les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

c-Déduis-en les droites asymptotes à la fonction $f$

5 a-Prouve que $ \lim\limits_{x\longrightarrow\,-0\\x>0}\left(\dfrac{1}{x^{2}}e^{\dfrac{-1}{x}}\right)=0$.

b-Étudie la continuité de $f$ en $0$.

c-Étudie la dérivabilité de $f$ en $0$ puis interprète graphiquement les résultats obtenus.

6.Démontre que:

a-Pour tout $x\in ]0;+\infty[,f'(x)=\left(\dfrac{1-x}{x^{4}}\right)e^{-\dfrac{1}{x}}$.

b-Pour tout $x\in ]-1;0[,f'(x)=\dfrac{x+2}{(x+1)^{2}}$

7.Dresse le tableau de variation de $f$ puis construis la courbe représentative $(Cf)$ de la fonction $f$.

8.$\alpha$ est un nombre réel tel que $-1<\alpha<0$.

a-Vérifie que pour tout nombre réel $x$ tel que $-1<x<0$ on a:$=1-\dfrac{1}{x+1}$

b-En utilisant une intégration par partie,démontre que:

$\int^{0}_{\alpha}(x+1)dx=-\alpha ln(\alpha+1)+\alpha-ln(\alpha+1)$

c-Déduis en l'aire $A(\alpha)$ du domaine du plan limité par l'axe des abscisses,la courbe $(Cf)$ et les droites d'équation $x=\alpha$ et $x=0$.

9.Calcule $ \lim\limits_{\alpha\longrightarrow\,-1\\\alpha>-1}A(\alpha)$

Problème 3

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}})$ d'unité de longueur le décimètre,les informations sur la pyramide montre que:

$\bullet$ Les points $E,F,$ et $G$ sont respectivement pour coordonnées:

$E(1;2;3),F(-1;0;4),G(1;-1;6)$.

$\bullet$L'une des faces latérales est contenue dans le plan d'équation $11x-10y+2
z+3$.

$\bullet$Le sommet $S$ appartient à l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ de l'espace tels que:

$(\vec{ME}+\vec{MF})\wedge\vec{u}=(\vec{GM}+\vec{HM})\wedge\vec{u}$ avec $\vec{u}=\vec{e_{1}}-2\vec{e_{2}}-2\vec{e_{3}}
$.

10.a-Détermine les coordonnées du point $H$.

b-Détermine les coordonnées de l'isobarycentre $\Omega$ des points $E,F,G$ et $H$.

11.a-Démontre que l'ensemble $(\Gamma)$ est une droite passant par le point $K$ milieu du segment $[EG]$ et dirigé par le vecteur $\vec{u}$.

b-Écris une représentation paramétrique de $(\Gamma)$.

c-Démontre qu'on a :$S\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{11}{6};\dfrac{35}{6}\right)$.

12.a-Calcule la distance du point $S$ au plan $(EFG)$.

b-Calcule,en décimètre cube le volume d'un placard.