Exercices d'entrainement types Bac : Fonction Logarithme Népérien - TL
Classe:
Terminale
Exercice 1 (Déjà proposé au BAC)
Soit $f(x)=\ln\left(x^{2}-5x+6\right)\quad$ et $\quad\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
1. Préciser $D_{f}.$
Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$ et préciser les asymptotes de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. Résoudre l'équation $f(x)=0.$
Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?
3. Calculer $f^{\prime}(x)$ puis donner le tableau de variation de $f$
4. Calculer $f(0)$, $f(-1)$, $f(6)$ et $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$
$\left(\text{On donnera pour chacun des réels une valeur approchée à }10^{-2}\text{ près}\right).$
5. Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $-1$
6. Démontrer que la droite $D$ d'équation $x=\dfrac{5}{2}$ est axe de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
7. Construire $(\mathcal{T})$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
Unité : $1\,cm$
Exercice 2 $\left(\text{Bac }1995\right)$
Soit $f(x)=(\ln x-2)\ln x\quad$et$\quad\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
unité $1\,cm$
1. Déterminer $D_{f}$ et les limites aux bornes de $D_{f}$
2. Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le sens de variations de $f.$
3. $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $B.$
Déterminer leurs abscisses.
4. Déterminer les équations de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $A$ et $B$
5. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 3 (Déjà proposé au Bac)
Soit $f(x)=x-2+\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$
1. Déterminer $D_{f}$ et les limites de $f$ aux bornes des intervalles de $D_{f}$
2. On pose $u(x)=\dfrac{x-2}{x+2}\quad$et$\quad v(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$
Calculer $u'(x)$, $v'(x)$ et $f'(x)$ pour $x\in\;D_{f}$
3. Donner le tableau de variation de $f$
4. Montrer $D$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ et en $-\infty$
5. Montrer que $\Omega\begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
6. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
unité $1\,cm$
On donne : $\ln 2\approx 0.7\quad\ln 3\approx 1.1\quad\ln 5\approx 1.6$
Exercice 4 $\left(\text{Bac }2007\;,\ 2^{ème}\text{ groupe}\right)$
le pans est muni d'un repère orthogonal $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, unités graphiques : $1\,cm$ en abscisse, $2\,cm$ en ordonnée.
On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations est le suivant :
$$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x&1&&\\ &+\infty&&\\ \hline f(x)&|&+&\\ \hline f&|&&+\infty\\ &|&&\\ &|-\infty&\nearrow&\\ \hline \end{array}$$
On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe de $f$
1. Préciser l'ensemble de définition $E_{f}$ de $f$.
justifier que $\left(\mathcal{ C}_{f}\right)$ admet deux asymptotes que l'on précisera.
2. On donne :
$f(e)=-\ln 3$
$f(3)=-\ln 2$ ;
$\ln 2\approx 0.7\quad\text{et}\quad\ln 3\approx 1.1$
Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3. On admet que la fonction $F$ définie par : $F(x)=(x-1)\ln(x-1)-(x+1)\ln(x+1)$ est une primitive de $f$ sur $E_{f}.$
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$
Exercice 5 $\left(\text{Bac }2007\;,\ 1^{er}\text{ groupe}\right)$
partie A
1. Étudier le signe de $\dfrac{x-1}{x}$ pour $x\in]10\;,\ +\infty[$
2. Donner : $\lim\limits_{x\;\longrightarrow+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ ; en déduire $\lim\limits_{x\;\longrightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)$
3. Calculer la dérivée du produit $x\cdot\ln x$ pour $x\in]0\;,\ +\infty[.$
4. Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+2x-x\ln x.$
Partie B
Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=x+1-\ln x$
1. Déterminer le domaine de définition $D_{g}$ de $g.$
2. Déterminer les limites de $g$ aux bornes de $D_{g}$
3. Calculer $g^{\prime}(x)$ et en déduire le tableau de $g$ (en utilisant la question A/1)
4. Calculer $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$
Partie C
1. Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ de la fonction $g$ dans un repère orthonormé $\left(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ d'unité : $1\,cm$
2. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ les droites d'équations $y=0\;,\ x=1$ et $x=4$
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