Exercices d'entrainement types Bac : Fonction Logarithme Népérien - TL
Classe:
Terminale
Exercice 1 (Déjà proposé au BAC)
Soit f(x)=ln(x2−5x+6) et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i, →j)
1. Préciser Df.
Calculer les limites aux bornes de Df et préciser les asymptotes de la courbe (Cf)
2. Résoudre l'équation f(x)=0.
Que peut-on en déduire pour (Cf) ?
3. Calculer f′(x) puis donner le tableau de variation de f
4. Calculer f(0), f(−1), f(6) et f(−52)
(On donnera pour chacun des réels une valeur approchée à 10−2 près).
5. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point d'abscisse −1
6. Démontrer que la droite D d'équation x=52 est axe de symétrie de (Cf)
7. Construire (T) et la courbe (Cf) dans le repère (O, →i, →j)
Unité : 1cm
Exercice 2 (Bac 1995)
Soit f(x)=(lnx−2)lnxet(Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i, →j)
unité 1cm
1. Déterminer Df et les limites aux bornes de Df
2. Calculer f′(x) et étudier le sens de variations de f.
3. (Cf) coupe l'axe des abscisses en deux points A et B.
Déterminer leurs abscisses.
4. Déterminer les équations de la tangente à (Cf) en A et B
5. Construire la courbe (Cf)
Exercice 3 (Déjà proposé au Bac)
Soit f(x)=x−2+ln(x−2x+2)
1. Déterminer Df et les limites de f aux bornes des intervalles de Df
2. On pose u(x)=x−2x+2etv(x)=ln(x−2x+2)
Calculer u′(x), v′(x) et f′(x) pour x∈Df
3. Donner le tableau de variation de f
4. Montrer D d'équation y=x−2 est une asymptote à (Cf) en +∞ et en −∞
5. Montrer que Ω(0−2) est centre de symétrie pour (Cf)
6. Tracer (Cf)
unité 1cm
On donne : ln2≈0.7ln3≈1.1ln5≈1.6
Exercice 4 (Bac 2007, 2ème groupe)
le pans est muni d'un repère orthogonal (O, →i, →j), unités graphiques : 1cm en abscisse, 2cm en ordonnée.
On considère une fonction f dont le tableau de variations est le suivant :
x1+∞f(x)|+f|+∞||−∞↗
On note (Cf) la courbe de f
1. Préciser l'ensemble de définition Ef de f.
justifier que (Cf) admet deux asymptotes que l'on précisera.
2. On donne :
f(e)=−ln3
f(3)=−ln2 ;
ln2≈0.7etln3≈1.1
Tracer (Cf)
3. On admet que la fonction F définie par : F(x)=(x−1)ln(x−1)−(x+1)ln(x+1) est une primitive de f sur Ef.
Calculer l'aire A du domaine compris entre (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=2 et x=3
Exercice 5 (Bac 2007, 1er groupe)
partie A
1. Étudier le signe de x−1x pour x∈]10, +∞[
2. Donner : lim ; en déduire \lim\limits_{x\;\longrightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)
3. Calculer la dérivée du produit x\cdot\ln x pour x\in]0\;,\ +\infty[.
4. Calculer la fonction dérivée de la fonction f définie sur ]0\;,\ +\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+2x-x\ln x.
Partie B
Soit la fonction g définie par g(x)=x+1-\ln x
1. Déterminer le domaine de définition D_{g} de g.
2. Déterminer les limites de g aux bornes de D_{g}
3. Calculer g^{\prime}(x) et en déduire le tableau de g (en utilisant la question A/1)
4. Calculer g(1), g(2), g(3) et g(4)
Partie C
1. Tracer la courbe \left(\mathcal{C}_{g}\right) de la fonction g dans un repère orthonormé \left(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right) d'unité : 1\,cm
2. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \left(\mathcal{C}_{g}\right) les droites d'équations y=0\;,\ x=1 et x=4
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