Exercices d'entrainement types Bac : Suite Numériques - TL
Classe:
Terminale
Exercice 1 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$
Le prix d'un kilogramme de sure était de $P_{0}=75$ F en $1970$ ; on admet que ce prix augmente régulièrement de $7\%$ par an.
On désigne par $P_{n}$ le prix du kilogramme en $« 1970+n » \ (n\in\mathbb{N})$
1. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ ; en déduire la nature de la suite de terme général $P_{n}$ en fonction de $n.$
2. Quel est le prix du kilogramme de sucre :
a. en $1972$ ?
b. en $1980$ ?
3. A partir de quelle année ce prix dépassera-t-il $750$ F ?
Exercice 2 $\left(\text{Bac }2001\;,\ 2^{ièmee}\text{groupe L1}\right)$
A. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite réelle définie par $U_{0}$ fixé et pour tout $n\in\mathbb{N}\ :\ U_{n}=1.05 U_{n-1}+1000.$
Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite définie par : $V_{n}=U_{n}+2000$
1. Démontrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique.
2. Calculer $V_{n}$, calculer en fonction de $V_{0}$ et $n.$
En déduire $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et $n.$
B. En février $1995$, la population électorale d'une commune était de $20000$ électeurs.
Chaque année, cette population électorale augmente de $5\%$ et plus $1000$ élection électeurs supplémentaires viennent s'y établir définitivement.
1. Préciser la population électorale en févier $2000$ dans cette commune.
2. Étant donnée que le taux d'abstention est de $20\%$, déterminer le nombre de volants dans cette commune en févier $2000.$
Exercice 3 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 1^{er}\text{groupe } L2\right)$
Soit la suite $U_{(n\in\mathbb{N})}$ définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{0}&=&9\\\\ U_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}U_{n}+2 \end{array}\right.$
1. Calculer $U_{1}\;,\ U_{2}\;,\ U_{3}.$
2. Soit la suite $\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ définie par : $V_{n}=U_{n}-3.$
Montre que $\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$, puis $U_{n}$ en fonction de $n$
4. Calculer la somme $S_{n}$ des $n$ premiers termes de la suite $\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ en fonction de $n.$
5. Calculer la somme $S'_{n}$ des $n$ premiers termes de la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}$
Exercice 4 $\left(\text{Bac }1998\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe L1}\right)$
Un jeux télévisé hebdomadaire est régi comme suit : le concurrent victorieux peut quitter l'émission en empochant $25.000F$ ou bien remettre ce gain en jeu pour la semaine suivante.
En cas de nouvelle victoire, cette somme lui est doublée.
On désigne par $U_{n}$ le gain obtenu par un concurrent au bout d'une série ininterrompue de $n$ victoires.
1. Calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}$ et en déduire la nature de la suite $U_{(n)}n\geq 1$
2. Calculer $U_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire la valeur de $U_{7}$
3. Combien de fois faut-il jouer sans interruption pour accumuler la somme de $12.800.000$ Francs
$\left(\text{On donne }2^{9}=512\right)$
Exercice 5 $\left(\text{Bac }1992\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A1}\right)$
1. Une entreprise $A$ estime le coût d'un forage ainsi :
le $1^{er}$ mètre coûte $50.000F$, le $2^{ième}$ mètre coûte $55.000F$ et chaque mètre suivant coûte $5.000F$ de plus que le précèdent.
Soit $P_{n}$ le prix du $n^{ième}$ mètre foré.
a. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ ; puis $P_{n}$ en fonction de $n\ (n\geq1)$
b. Calculer en fonction de $n$, $S_{n}=P_{1}+P_{2}+\ldots\ldots+p_{n}$
c. Quelle profondeur pourra atteindre le forage si l'on dispose de $1.665.000F$ ?
$\left(3025=55^{2}\right)$
2. Un entreprise $B$ estime le coût du même forage ainsi :
le $1^{er}$ mètre $10.000F$ chaque mètre suivant coûte $20\%$ de plus que le précédent.
a. Exprimer $C_{n}$ le coût pour $n$ mètre forés en fonction de $n.$
b. Parmi les entreprise $A$ et $B$, laquelle offre forage de $18$ mètres à moindre coût ?
Exercice 6 $\left(\text{Bac }1990\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A3}\right)$
La population d'une ville décroît de $5\%$ par an.
On appelle $P_{0}$ la population à la fin de l'année $1989$,
$P_{n}$ sa population à la fin de l'année $1989+n\ (n\in\mathbb{N})$
1. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}.$
Quelle est la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$ ?
2. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $n$ et $P_{0}$
3. A la fin de quelle année la population de la ville sera-t-elle, pour la première fois inférieure à la moitié de $P_{O}$ ?
On donne $L_{n}2\cup0.693$ et $L_{n}0.95\cup-0.051$
Exercice 7 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 1^{er}\text{ groupe L2}\right)$
Suite à l'évasion des criquets pèlerin dans la zone du Delta, la direction de la protection des végétaux $DPV$ lance sa campagne de lutte ;
1. La $DPV$ envisage de diminuer chaque jour la surface infesté de $8\%$ celle-ci était au départ $U_{0}=2000$ (en hectare)
a. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$ les surfaces infestées restantes au premier et au deuxième jour.
b. Exprimer en fonction de $n$ la surface infestée, restante $n$ jours après le début de l'opération.
c. Calculer le nombre de jours nécessaires pour traiter la moitié de la surface infesté.
2. La $DPV$ a utilisé au premier jour $P_{1}=1.000$ (en litre) de pesticide et décide d'ajouter chaque jour $400$ litres de plus que le jours précédent.
a. Calculer les quantités $P_{2}$ et $P_{3}$ de pesticide utilisés au deuxième et au troisième jour de lutte.
b. Exprimer $P_{n}$, la quantité de pesticide utilisée le nième jour, en fonction de $n.$
c. Quelle est la quantité totale de pesticide utilisée après $20$ jours de traitement.
Le litre de pesticide coûte $1.800$ francs.
A combien s'élève la somme dépensée en pesticide durant $20$ jours de lutte ?
Exercice 8 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L2}\right)$
La production céréalière d'un pays est estimée à $1.200.000$ tonnes le $1^{er}$ Janvier $2000.$
A cause de la sécheresse, une baisse annuelle de $3\%$ est notée au niveau de cette production.
On note $P_{n}$ la production céréalière de ce pays le $1^{er}$ janvier $(2000+n)_{n\in\mathbb{N}}$
1. Quelle sera la production céréalière de ce pays le $1^{er}$ Janvier $2001$ ?
Le $1^{er}$ Janvier $2002$ ?
2. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ ?
3. Montrer que $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le $1^{er}$ terme.
4. Exprimer $P_{n}$ en fonction de $n$
5. En quelle année la production sera-t-elle inférieur pour la premier fois à la moité de la production initiale ?
Exercice 9 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$
On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{1}&=&-2\\ U_{n+1}&=&3U_{n}+3\;,\ n\geq 1 \end{array}\right.$
1. Calculer $U_{2}$ et $U_{3}$
2. On définit la suite $\left(V_{n}\right)$ par $V_{n}=U_{n}+\dfrac{3}{2}\;,\ n\geq 1.$
a. Calculer $V_{1}$ et $V_{2}.$
b. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.
c. Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$
d. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ et $\left(U_{n}\right)$ sont des suite divergentes.
Exercice 10 $\left(\text{Bac }2003\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$
On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{0}&=&-2\\\\ U_{n+1}&=&\dfrac{3}{2}U_{n}+1 \end{array}\right.$
1. Calculer $U_{2}$ et $U_{3}$
2. On définit la suite $\left(V_{n}\right)$ définie $V_{n}=U_{n}+2\;,\ n\in\mathbb{N}$
a. Calculer $V_{0}$ et $V_{1}$
b. Montrer $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.
c. Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n.$
Calculer $S_{n}=V_{0}+V_{1}+\ldots+V_{n-1}$ en fonction de $n$, puis $S^{prime}_{n}=U_{0}+U_{1}\ldots+U_{n-1}$
Exercice 11 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L}\right)$
Une personne loue une maison à partir du $1^{er}$ Janvier $2000.$
Le loyer annuel initial est $25.000F.$
La personne s'engage à occuper la maison pendant $8$ années complètes et accepte une augmentation annuelle de $5\%$ du loyer (c'est-à-dire chaque année il paye $5\%$ de plus que l'année précédente).
On désigne par $U_{n}$ le loyer payé lors de la nième année.
1. Calculer le loyer $U_{2}$ au $1^{er}$ Janvier $2001.$
2. a. Calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}.$
En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)\;n\geq 1$
b. Donner l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n.$
Calculer $U_{8}.$
3. Quel est le montant des loyers au bout des $8$ années ?
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