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Exercices d'entrainement types Bac : Suite Numériques - TL

Classe:

Terminale

Exercice 1 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

Le prix d'un kilogramme de sure était de

$P_{0}=75$ F en

$1970$ ; on admet que ce prix augmente régulièrement de

$7\%$ par an.

On désigne par

$P_{n}$ le prix du kilogramme en

$« 1970+n » \ (n\in\mathbb{N})$

1. Exprimer

$P_{n+1}$ en fonction de

$P_{n}$ ; en déduire la nature de la suite de terme général

$P_{n}$ en fonction de

$n.$

2. Quel est le prix du kilogramme de sucre :

a. en

$1972$ ?

b. en

$1980$ ?

3. A partir de quelle année ce prix dépassera-t-il

$750$ F ?

Exercice 2 $\left(\text{Bac }2001\;,\ 2^{ièmee}\text{groupe L1}\right)$

A. Soit

$\left(U_{n}\right)$ la suite réelle définie par

$U_{0}$ fixé et pour tout

$n\in\mathbb{N}\ :\ U_{n}=1.05 U_{n-1}+1000.$

Soit

$\left(V_{n}\right)$ la suite définie par :

$V_{n}=U_{n}+2000$

1. Démontrer que

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique.

2. Calculer

$V_{n}$ , calculer en fonction de

$V_{0}$ et

$n.$

En déduire

$u_{n}$ en fonction de

$u_{0}$ et

$n.$

B. En février

$1995$ , la population électorale d'une commune était de

$20000$ électeurs.

Chaque année, cette population électorale augmente de

$5\%$ et plus

$1000$ élection électeurs supplémentaires viennent s'y établir définitivement.

1. Préciser la population électorale en févier

$2000$ dans cette commune.

2. Étant donnée que le taux d'abstention est de

$20\%$ , déterminer le nombre de volants dans cette commune en févier

$2000.$

Exercice 3 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 1^{er}\text{groupe } L2\right)$

Soit la suite

$U_{(n\in\mathbb{N})}$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{0}&=&9\\\\ U_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}U_{n}+2 \end{array}\right.$

1. Calculer

$U_{1}\;,\ U_{2}\;,\ U_{3}.$

2. Soit la suite

$\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ définie par :

$V_{n}=U_{n}-3.$

Montre que

$\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

3. Exprimer

$V_{n}$ en fonction de

$n$ , puis

$U_{n}$ en fonction de

$n$

4. Calculer la somme

$S_{n}$ des

$n$ premiers termes de la suite

$\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ en fonction de

$n.$

5. Calculer la somme

$S'_{n}$ des

$n$ premiers termes de la suite

$\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}$

Exercice 4 $\left(\text{Bac }1998\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe L1}\right)$

Un jeux télévisé hebdomadaire est régi comme suit : le concurrent victorieux peut quitter l'émission en empochant

$25.000F$ ou bien remettre ce gain en jeu pour la semaine suivante.

En cas de nouvelle victoire, cette somme lui est doublée.

On désigne par

$U_{n}$ le gain obtenu par un concurrent au bout d'une série ininterrompue de

$n$ victoires.

1. Calculer

$U_{n+1}$ en fonction de

$U_{n}$ et en déduire la nature de la suite

$U_{(n)}n\geq 1$

2. Calculer

$U_{n}$ en fonction de

$n$ et en déduire la valeur de

$U_{7}$

3. Combien de fois faut-il jouer sans interruption pour accumuler la somme de

$12.800.000$ Francs

$\left(\text{On donne }2^{9}=512\right)$

Exercice 5 $\left(\text{Bac }1992\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A1}\right)$

1. Une entreprise

$A$ estime le coût d'un forage ainsi :

$1^{er}$ mètre coûte

$50.000F$ , le

$2^{ième}$ mètre coûte

$55.000F$ et chaque mètre suivant coûte

$5.000F$ de plus que le précèdent.

Soit

$P_{n}$ le prix du

$n^{ième}$ mètre foré.

a. Exprimer

$P_{n+1}$ en fonction de

$P_{n}$ ; puis

$P_{n}$ en fonction de

$n\ (n\geq1)$

b. Calculer en fonction de

$n$ ,

$S_{n}=P_{1}+P_{2}+\ldots\ldots+p_{n}$

c. Quelle profondeur pourra atteindre le forage si l'on dispose de

$1.665.000F$ ?

$\left(3025=55^{2}\right)$

2. Un entreprise

$B$ estime le coût du même forage ainsi :

$1^{er}$ mètre

$10.000F$ chaque mètre suivant coûte

$20\%$ de plus que le précédent.

a. Exprimer

$C_{n}$ le coût pour

$n$ mètre forés en fonction de

$n.$

b. Parmi les entreprise

$A$ et

$B$ , laquelle offre forage de

$18$ mètres à moindre coût ?

Exercice 6 $\left(\text{Bac }1990\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A3}\right)$

La population d'une ville décroît de

$5\%$ par an.

On appelle

$P_{0}$ la population à la fin de l'année

$1989$ ,

$P_{n}$ sa population à la fin de l'année

$1989+n\ (n\in\mathbb{N})$

1. Exprimer

$P_{n+1}$ en fonction de

$P_{n}.$

Quelle est la nature de la suite

$\left(P_{n}\right)$ ?

2. Exprimer

$P_{n+1}$ en fonction de

$n$ et

$P_{0}$

3. A la fin de quelle année la population de la ville sera-t-elle, pour la première fois inférieure à la moitié de

$P_{O}$ ?

On donne

$L_{n}2\cup0.693$ et

$L_{n}0.95\cup-0.051$

Exercice 7 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 1^{er}\text{ groupe L2}\right)$

Suite à l'évasion des criquets pèlerin dans la zone du Delta, la direction de la protection des végétaux

$DPV$ lance sa campagne de lutte ;

1. La

$DPV$ envisage de diminuer chaque jour la surface infesté de

$8\%$ celle-ci était au départ

$U_{0}=2000$ (en hectare)

a. Calculer

$U_{1}$ et

$U_{2}$ les surfaces infestées restantes au premier et au deuxième jour.

b. Exprimer en fonction de

$n$ la surface infestée, restante

$n$ jours après le début de l'opération.

c. Calculer le nombre de jours nécessaires pour traiter la moitié de la surface infesté.

2. La

$DPV$ a utilisé au premier jour

$P_{1}=1.000$ (en litre) de pesticide et décide d'ajouter chaque jour

$400$ litres de plus que le jours précédent.

a. Calculer les quantités

$P_{2}$ et

$P_{3}$ de pesticide utilisés au deuxième et au troisième jour de lutte.

b. Exprimer

$P_{n}$ , la quantité de pesticide utilisée le nième jour, en fonction de

$n.$

c. Quelle est la quantité totale de pesticide utilisée après

$20$ jours de traitement.

Le litre de pesticide coûte

$1.800$ francs.

A combien s'élève la somme dépensée en pesticide durant

$20$ jours de lutte ?

Exercice 8 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L2}\right)$

La production céréalière d'un pays est estimée à

$1.200.000$ tonnes le

$1^{er}$ Janvier

$2000.$

A cause de la sécheresse, une baisse annuelle de

$3\%$ est notée au niveau de cette production.

On note

$P_{n}$ la production céréalière de ce pays le

$1^{er}$ janvier

$(2000+n)_{n\in\mathbb{N}}$

1. Quelle sera la production céréalière de ce pays le

$1^{er}$ Janvier

$2001$ ?

$1^{er}$ Janvier

$2002$ ?

2. Exprimer

$P_{n+1}$ en fonction de

$P_{n}$ ?

3. Montrer que

$\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le

$1^{er}$ terme.

4. Exprimer

$P_{n}$ en fonction de

$n$

5. En quelle année la production sera-t-elle inférieur pour la premier fois à la moité de la production initiale ?

Exercice 9 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

On considère la suite

$\left(U_{n}\right)$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{1}&=&-2\\ U_{n+1}&=&3U_{n}+3\;,\ n\geq 1 \end{array}\right.$

1. Calculer

$U_{2}$ et

$U_{3}$

2. On définit la suite

$\left(V_{n}\right)$ par

$V_{n}=U_{n}+\dfrac{3}{2}\;,\ n\geq 1.$

a. Calculer

$V_{1}$ et

$V_{2}.$

b. Montrer que

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.

c. Exprimer

$V_{n}$ puis

$U_{n}$ en fonction de

$n$

d. Montrer que

$\left(V_{n}\right)$ et

$\left(U_{n}\right)$ sont des suite divergentes.

Exercice 10 $\left(\text{Bac }2003\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

On considère la suite

$\left(U_{n}\right)$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{0}&=&-2\\\\ U_{n+1}&=&\dfrac{3}{2}U_{n}+1 \end{array}\right.$

1. Calculer

$U_{2}$ et

$U_{3}$

2. On définit la suite

$\left(V_{n}\right)$ définie

$V_{n}=U_{n}+2\;,\ n\in\mathbb{N}$

a. Calculer

$V_{0}$ et

$V_{1}$

b. Montrer

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.

c. Exprimer

$V_{n}$ puis

$U_{n}$ en fonction de

$n.$

Calculer

$S_{n}=V_{0}+V_{1}+\ldots+V_{n-1}$ en fonction de

$n$ , puis

$S^{prime}_{n}=U_{0}+U_{1}\ldots+U_{n-1}$

Exercice 11 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L}\right)$

Une personne loue une maison à partir du

$1^{er}$ Janvier

$2000.$

Le loyer annuel initial est

$25.000F.$

La personne s'engage à occuper la maison pendant

$8$ années complètes et accepte une augmentation annuelle de

$5\%$ du loyer (c'est-à-dire chaque année il paye

$5\%$ de plus que l'année précédente).

On désigne par

$U_{n}$ le loyer payé lors de la nième année.

1. Calculer le loyer

$U_{2}$ au

$1^{er}$ Janvier

$2001.$

2. a. Calculer

$U_{n+1}$ en fonction de

$U_{n}.$

En déduire la nature de la suite

$\left(U_{n}\right)\;n\geq 1$

b. Donner l'expression de

$U_{n}$ en fonction de

$n.$

Calculer

$U_{8}.$

3. Quel est le montant des loyers au bout des

$8$ années ?

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Exercice 1 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

Exercice 2 $\left(\text{Bac }2001\;,\ 2^{ièmee}\text{groupe L1}\right)$

Exercice 3 $\left(\text{Bac }2000\;,\ 1^{er}\text{groupe } L2\right)$

Exercice 4 $\left(\text{Bac }1998\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe L1}\right)$

Exercice 5 $\left(\text{Bac }1992\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A1}\right)$

Exercice 6 $\left(\text{Bac }1990\;,\ 2^{iéme}\text{ groupe A3}\right)$

Exercice 7 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 1^{er}\text{ groupe L2}\right)$

Exercice 8 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L2}\right)$

Exercice 9 $\left(\text{Bac }2004\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

Exercice 10 $\left(\text{Bac }2003\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L1}\right)$

Exercice 11 $\left(\text{Bac }2005\;,\ 2^{ième}\text{ groupe L}\right)$