Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions - Généralités

Classe: 
Terminale

I Limites et Indéterminations

Exercice 1

Examiner limx+f(x) dans chacun des cas suivants :

a) f(x)=3x2+5x7b) f(x)=2x3+7x9

c) f(x)=5x2+x3x+2d) f(x)=2x3+5x2(x2+1)2

e) f(x)=x2+sinxf) f(x)=x3+cos(x2)

g) f(x)=sinxxh) f(x)=4x2+12x

i) f(x)=9x2+x+23x+1j) f(x)=2xx+1x2+1

k) f(x)=x+11x+22l) f(x)=4x3x+1

Exercice 2

Examiner limxf(x) dans chacun des cas suivants :

a) f(x)=x2x2+1b) f(x)=x2+23x6

c) f(x)=sin1xd) f(x)=xcosxx2+1

Exercice 3

Examiner limx0f(x) dans chacun des cas suivants :

a) f(x)=sinxxb) f(x)=1cosxx2

c) f(x)=sin4xxd) f(x)=1cosxsin25x

e) f(x)=sinx+sin2xsinxsin2xf) f(x)=sin3x1cos4x

g) f(x)=x2sin1xh) f(x)=tanxsinxx3

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

a) limx1sin(2x2)x1b) limx1x1x1

c) limx2x38x2d) limx13x+8x1

e) limxπ4sinxcosxsin4xf) limxπ6sin6x2cosx3

g) limxπ3sinx+3cosxsin2x+3cos2xh) limxπ21sinxcosx1sinx+cosx

i) limx22x+53x24j) limx2x2+6x+8x24$

II Limites et asymptotes

Dans chaque exercice, on note Ci la courbe représentative de la fonction i.

Exercice 1

Déterminer les asymptotes à Cf dans chacune des situations suivantes :

a) f(x)=3x+1x1b) f(x)=2x2+1x2+4x3

c) f(x)=2x1+3x2d) f(x)=5x+12x+1+3x2+1

Exercice 2

Démontrer que la droite Δ d'équation y=x1 est asymptote à Cf, f étant définie par : f(x)=x3+2x2+x+1

Exercice 3

f(x)=2x2x1x+5

1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x de l'ensemble de définition Df de f, f(x)=ax+b+cx+5

2) En déduire que Cf possède deux droites asymptotes.

Exercice 4

La fonction h est définie sur D=R{12} par : h(x)=4x2+x122x1

1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour xD, h(x)=ax+b+c2x1

2) En déduire que Ch admet une droite asymptote en + et en

Exercice 5

La fonction g est définie sur R{1} par : g(x)=2x2+3x+2x+1

Montrer que la droite Δ d'équation y=2x+1 est asymptote à Cg

Exercice 6

f(x)=x26x+10+2x+2
Montrer que les droites d'équations y=3x1 et y=x+5 sont asymptotes à Cf

Exercice 7

La fonction f est définie sur R{1} par : f(x)=3x2(x1)2

Étudier les limites de f et les asymptotes éventuelles à Cf en 1, + et

Exercice 8

f(x)={x21x2+1six02x+1+6x3six>0
1) Montrer que limh0f(h)=f(0)

2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

3) Montrer que Cf possède trois asymptotes.

Exercice 9

Soit g la fonction définie sur R{1} par : g(x)=x3+65(x+1)
Démontrer que la parabole d'équation y=15(x2x+1) est asymptote à Cg.

III Limites et continuité

Exercice 1

f et g sont les fonctions définies par : f(x)=x2+1x3+cosx, g(x)=x2+x2

h est la fonction définie de la façon suivante : h(x)={2x2x+2six1x2+3x+1six>1
1) Montrer que les fonctions f et g sont continues sur leurs ensembles de définition.

2) a) Montrer que la fonction h est continue en 1.

b) Montrer que la fonction h est continue sur R.

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur R par : g(x)={x+2six<13x2si1x<32xsix3
Étudier la continuité de g sur R

Exercice 3

1) Soit f la fonction définie par : f(x)=x32x. f est-elle continue en x0=1 ?; en x0=0?

2) Soit f définie par : f(x)=x3x+2. f est-elle continue en x0=3 ?

Exercice 4

1) f(x)={13xx2six[0; 1]2sin(π2x)six]1; 2]
Étudier la continuité de f en 1.

2) f(x)={x2sin1xsix00six=0
Étudier la continuité de f en 1.

3) f(x)={x21six<2ax2+bx3si2x<3x+6six3
Déterminer a et b pour que f soit continue en 2 et en 3.

Exercice 5

Les fonctions f, g et h définies par : f(x)=1+2x13x, g(x)=x2E(1x), h(x)=x25x sont-elles prolongeables par continuité en 0 ?

Exercice 6

1) La fonction f définie par f(x)=x24x+3x1 est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

Si oui déterminer son prolongement h.

2) La fonction g définie par g(x)=1x3 est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

IV Indétermination et nombre dérivé

Exercice 1

En utilisant le nombre dérivé calculer les limites suivantes :
 
a) limx1x+32x1b) limx1x3+3x22x21

c) limx0x+11xd) limx0cos2x1x

V Calculs de dérivées

Exercice 1

Dans chacun des situations suivantes déterminer Df et Df puis, dériver la fonction f.
 
a) f(x)=x2+3x+12x2+3x5b) f(x)=3tanxcosxsinx

c) f(x)=3xx2xx2+1d) f(x)=(4x3)5(7x2+2x+1)17

e) f(x)=2xx2+x+1f) f(x)=xsinx

g) f(x)=x210x+21h) f(x)=|3x27x+4|

i) f(x)=3x2(x1)2j) f(x)=cos(5x+π6)3sin(πx)

Exercice 2

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) f définie sur R par f(x)=(x2+x)cosx

b) g définie sur R par g(x)=2+cos2x

VI Tangente à une courbe

Dans chaque cas, on note Ci la courbe représentative de la fonction i.

Exercice 1

La fonction f est définie sur R par f(x)=x2+x+1x24x+5.

Soit (T) la tangente à Cf au point A(2, 1).

a) Déterminer son équation réduite.

b) Déterminer la position relative de (T) et Cf.

Exercice 2

La fonction g est définie sur R par g(x)=x2x2+1+1.

Déterminer les équations des tangentes à  Cg aux points d'abscisses 2 et 0.

Exercice 3

La fonction h est définie sur R par h(x)=x3+3x2+1.

Déterminer une équation de la tangente (T) à  Ch au point d'abscisse -1.

Étudier la position de Ch par rapport à (T).

Exercice 4

La fonction k est définie sur [2; 2] par : k(x)=4x2.

Préciser les demi-tangentes à Ck aux points d'abscisses -2 et 2.

Exercice 5

La fonction l est définie sur R par l(x)=cos2x.

Déterminer les tangentes à Cl parallèles à la droite d'équation y=x.

Exercice 6

Déterminer une fonction polynôme du second degré (P) sachant que sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse 32, passe par le point A(1; 3) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2.

Exercice 7

Soit m la fonction définie sur R par m(x)=2(1sinx)sinx.

Déterminer une équation de la tangente Δ à Cl au point d'abscisse π.

VII Fonctions polynômes

Exercice 1

Soit p la fonction définie R par : p(x)=x3+3x29x.

1) Étudier le sens de variation de p.

2) Montrer que le point Ω(1; 11) est centre de symétrie pour Cp.

Exercice 2

Soit f la fonction définie R par : f(x)=x42x32x2.

Étudier le sens de variation de p.

Exercice 3

Soit g la fonction définie R par : g(x)=14x4+x3+x2.

1) Étudier le sens de variation de g.

2) Montrer que la droite Δ d'équation x=1 est un  axe de symétrie pour Cg.

Exercice 4

On considère la fonction polynôme définie sur R par : f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
Déterminer les réels a, b, c, d et e sachant que la courbe représentative (C) de f possède, dans le repère (O; i, j), les propriétés suivantes :

(C) passe par les points O(0; 0), A(1; 132) et B(2; 4) et admet en chacun des points A et B une tangente de vecteur directeur i.

Exercice 5

Démontrer que l'équation (E) : x3+5x+1=0 a une solution réelle unique α puis, que cette solution est située dans l'intervalle ]0.199; 0.198[.

VIII Fonctions rationnelles et valeur absolue

Exercice 1

Soit f la fonction définie par : f(x)=(x+2)2|x+2|x1
1) Déterminer son domaine de définition Df.

Écrire f sans le symbole des valeurs absolues et calculer les limites aux bornes de Df.

2) Étudier la dérivabilité de f en -2.

3) Calculer sa fonction dérivée f et dresser son tableau de variation.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère (O; i, j).

La fonction f est définie sur R{1} par : f(x)=2x+1x1.

1) Étudier le sens de variation de f puis les limites aux bornes de son ensemble de définition.

2) La fonction g est définie sur R par : g(x)=|x|.

Expliciter gf(x) et étudier le sens de variation de gf. Comment peut-on construire le graphique de gf à partir de celui de f ?

3) Répondre aux mêmes questions pour fg.

4) Tracer les représentations graphiques de f, gf et fg.

Exercice 3

Soit f la fonction définie par : f(x)=2x1x2x2
(C) est la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O; i, j).

Démontrer que le point A(12; 0) est centre de symétrie de (C)

Exercice 4

Le plan est rapporté à un repère (O; i, j).

La fonction h est définie sur D=R{1} par : h(x)=x2+3x+2x1
1) Étudier le sens de variation de h.

2) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout xD, h(x)=ax+b+cx1
3) Étudier les limites de h aux bornes de son ensemble de définition et déterminer les droites asymptotes à la courbe représentative Ch de h.

Étudier la position de Ch par rapport à la droite d'équation y=ax+b.

4) Montrer que le point Ω de coordonnées (1; 5) est un centre de symétrie pour Ch.

5) Tracer Ch et ses asymptotes.

Exercice 5

Φ(α, β) est la fonction définie par : Φ(α, β)(x)=x2+αx+βx1
(Γ) est la courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i, j) de la fonction Φ(α, β), notée Φ, répondant aux deux critères suivants :

  (Γ) passe par le point I(3; 5);

  (Γ) possède une tangente horizontale au point I.

1) Déterminer l'écriture explicite de Φ(x).

2) Laquelle des deux propositions suivantes est-elle vraie ?  xR{1}, Φ(x)=x10+4x1
 xR{1}, Φ(x)=x+4x1
3) Étudier Φ et tracer (Γ).

4) Montrer que A(1; 1) est centre de symétrie de l'hyperbole (Γ).

5) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation paramétrée suivante : Φ(x)=mm est un paramètre réel.

IX Équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

1) Résoudre dans [0; 2π]

a) cos2x=sinx

b) 1+cos2x+cos4x=0


2) Résoudre dans R

a) 12cosx=0

b) cosxsinx=0

3) Résoudre dans R{π2+kπ; kZ} 1tan3x=0

4) Résoudre dans [π; π] 2cosx10

Exercice 2

1) a) Résoudre dans [π; π]

cos3x=12

b) Exprimer cos3x en fonction de cosx

2) a) démontrer que a=cosπ9 ,  b=cos7π9 et c=cos13π9 sont solutions de 8x26x1=0

b) Donner les valeurs exactes de A=a+b+c,  B=abc et de C=ab+ac+bc

Exercice 3

1) Résoudre dans R cos2xsin2x=1

2) Donner les valeurs exactes de cosπ12,  sinπ12 et tanπ12

3) Résoudre dans R 2(2+3)cos2x+2sinxcosx=3+12+2+3

X Fonctions trigonométriques

Exercice 1

1) Exprimer sin3x,  cos4x en fonction de cosx et sinx.

2) Démontrer que

a) 1cosxsinx=sinx1+cosx=tanx2
b) 1sinxcosx=cosx1+sinx=tan(π4x2)

Exercice 2

1) Exprimer 1cosx1+cosx en fonction de tanx2

2) Démontrer que sinˆA+sinˆB+sinˆC=4cosA2cosB2cosC2
3) sinˆA+sinˆBsinˆC=4sinA2sinB2cosC2

Exercice 3

1) La fonction f est définie sur R par f(x)=x2cosx.

Étudier le sens de variation de la fonction dérivée f de f.

Calculer f(0), en déduire l'étude du signe de f(x) et le sens de variation de f.

2) La fonction g est définie sur R par g(x)=x+sin2x.

Montrer que pour tout réel m, l'équation g(x)=m admet une solution unique.

3) La fonction h est définie sur R par h(x)=sin2x.

Étudier le sens de variation de la fonction h sur [0; π2].

En déduire les variations de h sur [2π; 2π].

Exercice 4

Soit f(x)=2cos2x+sin2x.

1) Déterminer le domaine de définition Df de f ainsi que sa période T.

Montrer que x=π8 est axe de symétrie de Cf, la courbe représentative de f.

Déterminer DE son domaine d'étude.

2) Montrer que f(x)=22sin(π42x). Tracer Cf.

3) Montrer que x[0; π8] on a {0f(x)2+2x2xπ4+1f(x)1+2

Ajouter un commentaire