Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions - Généralités

Classe: 
Terminale

I Limites et Indéterminations

Exercice 1

Examiner lim dans chacun des cas suivants :

a)\ f(x)=3x^{2}+5x-7\qquad\qquad b)\ f(x)=-2x^{3}+7x-9

c)\ f(x)=\dfrac{5x^{2}+x-3}{x+2}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{2x^{3}+5x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

e)\ f(x)=x^{2}+\sin x\qquad\qquad f)\ f(x)=-x^{3}+\cos(x^{2})

g)\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\qquad\qquad h)\ f(x)=\sqrt{4x^{2}+1}-2x

i)\ f(x)=\sqrt{9x^{2}+x+2}-3x+1\qquad\qquad j)\ f(x)=\dfrac{2x\sqrt{x}+1}{x^{2}+1}

k)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+2}-2}\qquad\qquad l)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{4x-3}{x+1}}

Exercice 2

Examiner \lim\limits_{x\to -\infty}f(x) dans chacun des cas suivants :

a)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{2}{x^{2}+1}}\qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2}}{3x-6}

c)\ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{x\cos x}{x^{2}+1}

Exercice 3

Examiner \lim\limits_{x\to 0}f(x) dans chacun des cas suivants :

a)\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x} \qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}

c)\ f(x)=\dfrac{\sin 4x}{x}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{\sin^{2}5x}

e)\ f(x)=\dfrac{\sin x+\sin 2x}{\sin x-\sin 2x}\qquad\qquad f)\ f(x)=\dfrac{\sin 3x}{\sqrt{1-\cos 4x}}

g)\ f(x)=x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\qquad\qquad h)\ f(x)=\dfrac{\tan x-\sin x}{x^{3}}

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

a)\ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sin(2x-2)}{x-1} \qquad\qquad b)\ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1}

c)\ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^{3}-8}{x-2} \qquad\qquad d)\ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}

e)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin 4x}\qquad\qquad f)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{6}}\dfrac{\sin 6x}{2\cos x-\sqrt{3}}

g)\ \lim\limits_{x\to -\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{-\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x}\qquad\qquad h)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}

i)\ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x^{2}-4}\qquad\qquad j)\ \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^{2}+6x+8}{x^{2}-4}$

II Limites et asymptotes

Dans chaque exercice, on note \mathcal{C}_{i} la courbe représentative de la fonction i.

Exercice 1

Déterminer les asymptotes à \mathcal{C}_{f} dans chacune des situations suivantes :

a)\ f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}\qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{-x^{2}+4x-3}

c)\ f(x)=2x-1+\dfrac{3}{x-2}\qquad\qquad d)\ f(x)=-5x+1-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x^{2}+1}

Exercice 2

Démontrer que la droite \Delta d'équation y=x-1 est asymptote à \mathcal{C}_{f}, f étant définie par : f(x)=\dfrac{x^{3}+2}{x^{2}+x+1}

Exercice 3

f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-1}{x+5}

1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x de l'ensemble de définition D_{f} de f, f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}

2) En déduire que \mathcal{C}_{f} possède deux droites asymptotes.

Exercice 4

La fonction h est définie sur \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace par : h(x)=\dfrac{4x^{2}+x-\frac{1}{2}}{2x-1}

1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour x\in\mathcal{D}, h(x)=ax+b+\dfrac{c}{2x-1}

2) En déduire que \mathcal{C}_{h} admet une droite asymptote en +\infty et en -\infty

Exercice 5

La fonction g est définie sur \mathbb{R}\setminus\{-1\} par : g(x)=\dfrac{2x^{2}+3x+2}{x+1}

Montrer que la droite \Delta d'équation y=2x+1 est asymptote à \mathcal{C}_{g}

Exercice 6

f(x)=\sqrt{x^{2}-6x+10}+2x+2
Montrer que les droites d'équations y=3x-1 et y=x+5 sont asymptotes à \mathcal{C}_{f}

Exercice 7

La fonction f est définie sur \mathbb{R}\setminus\{1\} par : f(x)=\dfrac{3x^{2}}{(x-1)^{2}}

Étudier les limites de f et les asymptotes éventuelles à \mathcal{C}_{f} en 1, +\infty et -\infty

Exercice 8

f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}&\text{si}&x\leq 0\\ 2x+1+\dfrac{6}{x-3}&\text{si}& x>0\end{array}\right.
1) Montrer que \lim_{h\rightarrow 0}f(h)=f(0)

2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

3) Montrer que \mathcal{C}_{f} possède trois asymptotes.

Exercice 9

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R}\setminus\{-1\} par : g(x)=\dfrac{x^{3}+6}{5(x+1)}
Démontrer que la parabole d'équation y=\dfrac{1}{5}(x^{2}-x+1) est asymptote à \mathcal{C}_{g}.

III Limites et continuité

Exercice 1

f et g sont les fonctions définies par : f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}+\cos x, \quad\ g(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}

h est la fonction définie de la façon suivante : h(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}-x+2&\text{si}&x\leq 1\\-x^{2}+3x+1&\text{si}&x>1\end{array}\right.
1) Montrer que les fonctions f et g sont continues sur leurs ensembles de définition.

2) a) Montrer que la fonction h est continue en 1.

b) Montrer que la fonction h est continue sur \mathbb{R}.

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par : g(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x+2&\text{si}&x<1\\ 3x-2&\text{si}&1\leq x<3\\ 2x &\text{si}&x\geq 3\end{array}\right.
Étudier la continuité de g sur \mathbb{R}

Exercice 3

1) Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{x-3}{2x}. f est-elle continue en x_{0}=1 ?; en x_{0}=0?

2) Soit f définie par : f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x+2}}. f est-elle continue en x_{0}=3 ?

Exercice 4

1) f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{1-3x}{x-2}&\text{si}&x\in[0;\ 1]\\ \\2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)&\text{si}&x\in]1;\ 2]\end{array}\right.
Étudier la continuité de f en 1.

2) f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}\sin\dfrac{1}{x} & \text{si}&x\neq 0\\ 0 & \text{si}&x=0\end{array}\right.
Étudier la continuité de f en 1.

3) f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-1 & \text{si}&x<2\\ ax^{2}+bx-3 & \text{si}&2\leq x<3\\ x+6 & \text{si}&x\geq 3\end{array}\right.
Déterminer a et b pour que f soit continue en 2 et en 3.

Exercice 5

Les fonctions f, g et h définies par : f(x)=\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{3x},\qquad\ g(x)=x^{2}E\left(\dfrac{1}{x}\right),\qquad\ h(x)=\dfrac{x^{2}-5}{x} sont-elles prolongeables par continuité en 0 ?

Exercice 6

1) La fonction f définie par f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-1} est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

Si oui déterminer son prolongement h.

2) La fonction g définie par g(x)=-\dfrac{1}{x^{3}} est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

IV Indétermination et nombre dérivé

Exercice 1

En utilisant le nombre dérivé calculer les limites suivantes :
 
a)\ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \qquad\qquad b)\ \lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{2}-1}

c)\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x} \qquad\qquad d)\ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos 2x-1}{x}

V Calculs de dérivées

Exercice 1

Dans chacun des situations suivantes déterminer D_{f} et D_{f}' puis, dériver la fonction f.
 
a)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+1}{2x^{2}+3x-5}\qquad\qquad b)\ f(x)=3\tan x-\cos x\sin x

c)\ f(x)=3x\sqrt{x}-\dfrac{2x}{x^{2}+1}\qquad\qquad d)\ f(x)=(4x-3)^{5}(7x^{2}+2x+1)^{17}

e)\ f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2}+x+1}\qquad\qquad f)\ f(x)=\sqrt{x}\sin x

g)\ f(x)=\sqrt{x^{2}-10x+21}\qquad\qquad h)\ f(x)=|3x^{2}-7x+4|

i)\ f(x)=\dfrac{3x^{2}}{(x-1)^{2}}\qquad\qquad j)\ f(x)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)-3\sin(\pi x)

Exercice 2

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x^{2}+x)\cos x

b) g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\sqrt{2+\cos 2x}

VI Tangente à une courbe

Dans chaque cas, on note \mathcal{C}_{i} la courbe représentative de la fonction i.

Exercice 1

La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{2}-4x+5}.

Soit (T) la tangente à \mathcal{C}_{f} au point A(2,\ -1).

a) Déterminer son équation réduite.

b) Déterminer la position relative de (T) et \mathcal{C}_{f}.

Exercice 2

La fonction g est définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}+1.

Déterminer les équations des tangentes à  \mathcal{C}_{g} aux points d'abscisses 2 et 0.

Exercice 3

La fonction h est définie sur \mathbb{R} par h(x)=x^{3}+3x^{2}+1.

Déterminer une équation de la tangente (T) à  \mathcal{C}_{h} au point d'abscisse -1.

Étudier la position de \mathcal{C}_{h} par rapport à (T).

Exercice 4

La fonction k est définie sur [-2;\ 2] par : k(x)=\sqrt{4-x^{2}}.

Préciser les demi-tangentes à \mathcal{C}_{k} aux points d'abscisses -2 et 2.

Exercice 5

La fonction l est définie sur \mathbb{R} par l(x)=\cos 2x.

Déterminer les tangentes à \mathcal{C}_{l} parallèles à la droite d'équation y=-x.

Exercice 6

Déterminer une fonction polynôme du second degré (P) sachant que sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse \dfrac{3}{2}, passe par le point A(1;\ 3) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2.

Exercice 7

Soit m la fonction définie sur \mathbb{R} par m(x)=2(1-\sin x)\sin x.

Déterminer une équation de la tangente \Delta à \mathcal{C}_{l} au point d'abscisse -\pi.

VII Fonctions polynômes

Exercice 1

Soit p la fonction définie \mathbb{R} par : p(x)=x^{3}+3x^{2}-9x.

1) Étudier le sens de variation de p.

2) Montrer que le point \Omega(-1;\ 11) est centre de symétrie pour \mathcal{C}_{p}.

Exercice 2

Soit f la fonction définie \mathbb{R} par : f(x)=x^{4}-2x^{3}-2x^{2}.

Étudier le sens de variation de p.

Exercice 3

Soit g la fonction définie \mathbb{R} par : g(x)=\dfrac{1}{4}x^{4}+x^{3}+x^{2}.

1) Étudier le sens de variation de g.

2) Montrer que la droite \Delta d'équation x=-1 est un  axe de symétrie pour \mathcal{C}_{g}.

Exercice 4

On considère la fonction polynôme définie sur \mathbb{R} par : f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
Déterminer les réels a, b, c, d et e sachant que la courbe représentative (\mathcal{C}) de f possède, dans le repère (O;\ \vec{i},\ \vec{j}), les propriétés suivantes :

(\mathcal{C}) passe par les points O(0;\ 0), A\left(1;\ -\dfrac{13}{2}\right) et B(2;\ -4) et admet en chacun des points A et B une tangente de vecteur directeur \vec{i}.

Exercice 5

Démontrer que l'équation (\mathbf{E})\ :\ x^{3}+5x+1=0 a une solution réelle unique \alpha puis, que cette solution est située dans l'intervalle ]-0.199;\ -0.198[.

VIII Fonctions rationnelles et valeur absolue

Exercice 1

Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{(x+2)^{2}-|x+2|}{x-1}
1) Déterminer son domaine de définition D_{f}.

Écrire f sans le symbole des valeurs absolues et calculer les limites aux bornes de D_{f}.

2) Étudier la dérivabilité de f en -2.

3) Calculer sa fonction dérivée f' et dresser son tableau de variation.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère (O;\ \vec{i},\ \vec{j}).

La fonction f est définie sur \mathbb{R}\setminus \{1\} par : f(x)=\dfrac{-2x+1}{x-1}.

1) Étudier le sens de variation de f puis les limites aux bornes de son ensemble de définition.

2) La fonction g est définie sur \mathbb{R} par : g(x)=|x|.

Expliciter g\circ f(x) et étudier le sens de variation de g\circ f. Comment peut-on construire le graphique de g\circ f à partir de celui de f ?

3) Répondre aux mêmes questions pour f\circ g.

4) Tracer les représentations graphiques de f, g\circ f et f\circ g.

Exercice 3

Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-x-2}
(\mathcal{C}) est la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O;\ \vec{i},\ \vec{j}).

Démontrer que le point A\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right) est centre de symétrie de (\mathcal{C})

Exercice 4

Le plan est rapporté à un repère (O;\ \vec{i},\ \vec{j}).

La fonction h est définie sur D=\mathbb{R}\setminus\{1\} par : h(x)=\dfrac{x^{2}+3x+2}{x-1}
1) Étudier le sens de variation de h.

2) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x\in D, h(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}
3) Étudier les limites de h aux bornes de son ensemble de définition et déterminer les droites asymptotes à la courbe représentative \mathcal{C}_{h} de h.

Étudier la position de \mathcal{C}_{h} par rapport à la droite d'équation y=ax+b.

4) Montrer que le point \Omega de coordonnées (1;\ 5) est un centre de symétrie pour \mathcal{C}_{h}.

5) Tracer \mathcal{C}_{h} et ses asymptotes.

Exercice 5

\Phi_{(\alpha,\ \beta)} est la fonction définie par : \Phi_{(\alpha,\ \beta)}(x)=\dfrac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x-1}
(\Gamma) est la courbe représentative dans un repère orthogonal (O;\ \vec{i},\ \vec{j}) de la fonction \Phi_{(\alpha,\ \beta)}, notée \Phi, répondant aux deux critères suivants :

\centerdot \ \ (\Gamma) passe par le point I(3;\ 5);

\centerdot \ \ (\Gamma) possède une tangente horizontale au point I.

1) Déterminer l'écriture explicite de \Phi(x).

2) Laquelle des deux propositions suivantes est-elle vraie ? -\ \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\},\ \Phi(x)=x-10+\dfrac{4}{x-1}
-\ \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\},\ \Phi(x)=x+\dfrac{4}{x-1}
3) Étudier \Phi et tracer (\Gamma).

4) Montrer que A(1;\ 1) est centre de symétrie de l'hyperbole (\Gamma).

5) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation paramétrée suivante : \Phi(x)=mm est un paramètre réel.

IX Équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

1) Résoudre dans [0;\ 2\pi]

a) \cos 2x=-\sin x

b) 1+\cos 2x+\cos 4x=0


2) Résoudre dans \mathbb{R}

a) 1-2\cos x=0

b) \cos x-\sin x=0

3) Résoudre dans \mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\ k\in\mathbb{Z}\right\rbrace 1-\tan 3x=0

4) Résoudre dans [-\pi;\ \pi] 2\cos x-1\geq 0

Exercice 2

1) a) Résoudre dans [-\pi;\ \pi]

\cos 3x=\dfrac{1}{2}

b) Exprimer \cos 3x en fonction de \cos x

2) a) démontrer que a=\cos \dfrac{\pi}{9} , \ b=\cos \dfrac{7\pi}{9} et c=\cos \dfrac{13\pi}{9} sont solutions de 8x^{2}-6x-1=0

b) Donner les valeurs exactes de A=a+b+c, \ B=abc et de C=ab+ac+bc

Exercice 3

1) Résoudre dans \mathbb{R} \cos 2x-\sin 2x=-1

2) Donner les valeurs exactes de \cos\dfrac{\pi}{12}, \ \sin\dfrac{\pi}{12} et \tan\dfrac{\pi}{12}

3) Résoudre dans \mathbb{R} 2(2+\sqrt{3})\cos^{2}x+2\sin x\cos x=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}+2+\sqrt{3}

X Fonctions trigonométriques

Exercice 1

1) Exprimer \sin 3x, \ \cos 4x en fonction de \cos x et \sin x.

2) Démontrer que

a) \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan \dfrac{x}{2}
b) \dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)

Exercice 2

1) Exprimer \dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} en fonction de \tan\dfrac{x}{2}

2) Démontrer que \sin \widehat{A}+\sin \widehat{B}+\sin \widehat{C}=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}
3) \sin \widehat{A}+\sin \widehat{B}-\sin \widehat{C}=4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}

Exercice 3

1) La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{2}-\cos x.

Étudier le sens de variation de la fonction dérivée f' de f.

Calculer f'(0), en déduire l'étude du signe de f'(x) et le sens de variation de f.

2) La fonction g est définie sur \mathbb{R} par g(x)=x+\sin 2x.

Montrer que pour tout réel m, l'équation g(x)=m admet une solution unique.

3) La fonction h est définie sur \mathbb{R} par h(x)=\sin^{2} x.

Étudier le sens de variation de la fonction h sur \left[0;\ \dfrac{\pi}{2}\right].

En déduire les variations de h sur [-2\pi;\ 2\pi].

Exercice 4

Soit f(x)=2\cos^{2}x+\sin 2x.

1) Déterminer le domaine de définition D_{f} de f ainsi que sa période T.

Montrer que x=\dfrac{\pi}{8} est axe de symétrie de C_{f}, la courbe représentative de f.

Déterminer D_{E} son domaine d'étude.

2) Montrer que f'(x)=2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right). Tracer C_{f}.

3) Montrer que \forall\;x\in\left[0;\ \dfrac{\pi}{8}\right] on a \left\lbrace\begin{array}{lll} 0\leq f(x)\leq 2+2x\\ \\ 2x-\dfrac{\pi}{4}+1\leq f(x)\leq 1+\sqrt{2} \end{array} \right.

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