Série d'exercices : Équations différentielles - Ts

Classe: 
Terminale
 

Généralités. Équations du premier ordre

Exercice 1

Montrer que chacune des fonctions f est solution de l'équation différentielle (E):
 
1) f(x)=cos(2x+3)(E) : y=16y
 
2) f(x)=sin(2x)(E) : y+3y=2sinxcosx
 
3) f(x)=xex(E) : yy=ex
 
4) f(x)=exlnx(E) : y2y+y=1x2ex.

Exercice 2

Déterminer la solution f de chacune des équations différentielles (E) suivantes vérifiant la condition f(x0)=y0.
 
1) (E) : 3y+2y=0, avec x0=3 et y0=1.
 
2) (E) : 3y+6y=0, avec x0=4 et y0=2
 
3) (E) : 5y+y=0, avec x0=5 et y0=1.
 
4) (E) : 2y5y=0, avec x0=1 et y0=3

Équations du second ordre

Exercice 3

Déterminer la solution f de chacune des équations différentielles (E) suivantes vérifiant les conditions f(x0)=y0 et f(x0)=y.
 
1) 2y3y2y=0, f(0)=2 et f(0)=3
 
2) y+y+y=0, f(0)=1 et f(0)=1
 
3) 4y4y+y=0, f(0)=3 et f(0)=2
 
4) y5y+6y=0, f(0)=0 et f(0)=6
 
5) 9y+6y+y=0, f(0)=1 et f(0)=2
 
6) y4y+5y=0, f(0)=1 et f(0)=3

Exercice 4

Soit (E) l'équation différentielle du second ordre :
 
y3y+2y=0.
 
1) a) Quelles sont les solutions de (E) ?
 
b) Quelle est la solution de (E) dont la courbe représentative C admet au point d'abscisse x=0 la même tangente que la courbe C représentative de y=x ?
 
On dit que C et C sont tangentes.
 
2) Représenter dans un même repère les courbes C et C dont on précisera les positions relatives.
 
3) λ étant un réel strictement positif, soit hλ la fonction définie par hλ(x)=λ2ex+2λex.
 
a) Montrer que hλ est solution de (E).
 
b) Soit Cλ la courbe représentative de hλ.
 
Après avoir calculé en fonction de λ les coordonnées du point commun à Cλ et Cλ, montrer que ces courbes sont tangentes en ce point.
 
c) Préciser les positions relatives de Cλ et Cλ.

Exercice 5

1) Résoudre l'équation différentielle :
 
y+16y=0.
 
2) Trouver la solution f de cette équation vérifiant :
 
f(0)=1 et f(0)=4.
 
3) Trouver deux réels positifs ω et φ tels que pour tout réel t, f(t)=2cos(ωtφ).
 
4) Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0, π8].
 

Travaux dirigés : Équations différentielles linéaires du second ordre avec un second membre non nul

Exercice 6

On considère l'équation (E) : y+my+py=g(x) où m et p sont deux réels et g une fonction continue sur R.

I. Étude générale

On suppose qu'il existe une solution f1 de (E).

1) Prouver que si f est solution de (E), alors ff1 est solution de l'équation différentielle
(E0) : y+my+py=0.

2) Prouver que si h est solution de (E0), alors h+f1 est solution de (E).

3) En déduire toutes les solutions de (E) si on connaît une solution de (E).

II. Cas où g est un polynôme

1) On considère l'équation (E) : y3y+2y=x+1.

a) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : xax+b soit solution de (E).

b) Résoudre (E).

2) On considère l'équation (E) : y3y+2y=x2+2x+3.

a) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : xax2+bx+c soit solution de (E).

b) Résoudre (E).

Soit P une fonction polynômiale du second degré.

On montre qu'une solution particulière de y+my+py=P(x) est une fonction polynômiale du second degré.

3) Résoudre :

a) y8y+17y=x2x+2.

b) y+4y+4y=x2+1.

III. Cas où g(x)=αcos(ωx)+βsin(ωx)

1) On considère l'équation (E) : y+4y+5y=2cos3xsin3x.

a) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : xacos3x+bsin3x soit solution de (E).

b) Résoudre (E).

2) On considère l'équation (E) : y+4y+5y=αcos3x+βsin3x.

a) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : xacos3x+bsin3x soit solution de (E).

b) Résoudre (E).

3) Résoudre :

a) y6y+8y=cosx+2sinx.

b) y+4y+4y=sin5x.

IV. Cas où g(x)=eax

1) On considère l'équation (E) : y4y+4y=e2x.

a) Déterminer a réel tels que :

f1 : xaa2x soit solution de (E).

b) Résoudre (E).

2) On considère l'équation (E) : y5y+6y=e2x.

a) Peut-on déterminer une solution particulière de (E) sous la forme xae2x ?

b) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : x(ax+b)e2x soit solution de (E).

c) Résoudre (E).

3) On considère l'équation (E) : y4y+4y=e2x.

a) Peut-on déterminer une solution particulière de (E) sous la forme xae2x ?

sous la forme x(ax+b)e2x ?

b) Déterminer a et b réels tels que :

f1 : x(ax2+bx+c)e2x soit solution de (E).

c) Résoudre (E).

4) On considère l'équation (E) : y+my+py=eax.

a) Prouver que si a n'est pas solution de r2+mr+p=0, il existe une solution du type xaeax.

b) Prouver que si a est une racine simple de r2+mr+p=0, il n'existe pas de solution du type xaeax mais une solution du type x(ax+b)eax

c) Prouver que si a est une racine double de r2+mr+p=0, il n'existe pas de solution du type xaeax, ni du type x(ax+b)eax, mais une solution du type x(ax2+bx+c)eax

5) Résoudre :

a) y2y+2y=e3x

b) y+2y3y=ex.

Problèmes

Exercice 7

Soit m la fonction définie sur [0; +[ tm(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau+sel) à l'instant t, t en minutes. 
 
Nous admettons que la fonction m vérifie :
 
m(0)=300 et m est une solution sur [0; +[ de l'équation différentielle (E) : 5y+y=0.
 
1) a) Résoudre l'équation différentielle (E)(y fonction de t).
 
1) b) Montrer que pour tout t de [0; +[ on a : m(t)=300e0.2t
 
2) Déterminer le réel t0 tel que m(t0)=150.
 
3) Nous admettrons qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t)102.
 
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?

Exercice 8

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. 
 
La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y de cette fonction.
 
On a constaté que : y(t)=ky(t)k est un coefficient réel strictement positif.
 
On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.
 
1) Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y=ky telle que y(0)=N.
 
2) Sachant qu'au bout de deux heures, le nombre de microbes a quadruplé, calculer, en fonction de N, le nombre de microbes au bout de trois heures.
 
3) Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 6.400 microbes au bout de cinq heures ?

Exercice 9

Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour résoudre cet exercice.
 
Un condensateur de capacité C(C=5.105farads) se décharge dans une résistance sans self R (R=104ohms).
 
La différence de potentiel u (exprimée en volts), l'intensité i (exprimée en ampères) et la quantité de charges q (exprimée en coulombs) sont des fonctions du temps t (exprimé en secondes).
 
 
1) Sachant qu'à tout instant t on a :
 
u(t)+Ri(t)=0,q(t)=Cu(t),i(t)=q(t),
 
établir que u vérifie l'équation différentielle :
 
u+2u=0.
 
2) Résoudre l'équation différentielle :
 
u+2u=0.
 
Trouver la solution particulière qui vérifie :
 
u(0)=30
 
3) Déterminer l'instant t1 pour lequel la différence de potentiel u est égale au quart de sa valeur initiale u(0).
 
4) Calculer l'énergie W (exprimée en joules) dissipée entre les instants t=0 et t=t1(t1 déterminé au 3)) sachant que :
W=t10Ri2(t)dt=t10u2(t)Rdt
 
Donner la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 102 près.
 

Exercice 10

Un avion est en vol horizontal et, à un instant que l'on prend comme origine du temps (mesuré en secondes), on agit sur la gouverne de profondeur.
 
Pour t0 on désigne par z(t) le nombre qui mesure en mètres à l'instant t l'altitude relative de l'avion par rapport à l'altitude du vol horizontal antérieur.
 
On admet que la fonction z est caractérisée par l'équation différentielle du second ordre :
25z(t)+15z(t)+2z(t)=2t25(E)
 
et par les conditions initiales z(0)=0 et z(0).
 
On considère la fonction u définie sur [0; +[ par : u(t)=z(t)t+20.
 
1) Montrer que u satisfait à vérifie l'équation différentielle :
(E1) : 25u(t)+15u(t)+2u(t)=0
 
et aux conditions initiales u(0)=20 et u(0)=1.
 
2) Déterminer l'unique solution de l'équation (E1) satisfaisant à ces conditions initiales.
 
En déduire l'expression de z(t) en fonction de t. 
 
Soit f la fonction de la variable réelle  définie sur [0; +[ par
f(t)=35et515e2t5+t20
 
dont on désigne la courbe représentative par C dans un plan P rapporté au repère orthonormal (O, i, j) unité graphique : 0.5cm.
 
3) a) Expliciter la fonction dérivée f, et montrer qu'elle s'annule en 0 et en 5ln6 (on pourra poser v=et5).
 
b) Étudier les variations de f.
 
Donner des valeurs décimales à 101 près des coordonnées du point M de C d'ordonnée minimum.
 
Quelle est l'interprétation de ces coordonnées pour le mouvement de l'avion que l'on considère ?
 
2) a) Déterminer la limite de f en +.
 
b) Montrer que la courbe C admet comme asymptote la droite D d'équation z=t20 ;
 
préciser la position de C par rapport à D.
 
c) Construire la courbe C et la droite D dans le plan P.
 
3) a) Montrer que l'on a pour tout t5ln35 :
05et515e2t51 et t20f(t)t19.
 
b) Utiliser le tableau de variation de f pour montrer que la courbe C rencontre l'axe des abscisses en deux points exactement, à savoir en O et en un point d'abscisse a telle que a5ln35.
 
Quelle est l'interprétation de a pour le  mouvement de l'avion que l'on considère ?
 
c) Utiliser a) pour montrer que l'on a 19a20.

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