Généralités. Équations du premier ordre
Exercice 1
Montrer que chacune des fonctions f est solution de l'équation différentielle (E):
1) f(x)=cos(2x+3)(E) : y″=16y
2) f(x)=sin(2x)(E) : y″+3y=−2sinxcosx
3) f(x)=xex(E) : y′−y=ex
4) f(x)=exlnx(E) : y″−2y′+y=−1x2ex.
Exercice 2
Déterminer la solution f de chacune des équations différentielles (E) suivantes vérifiant la condition f(x0)=y0.
1) (E) : −3y′+2y=0, avec x0=3 et y0=1.
2) (E) : 3y+6y=0, avec x0=−4 et y0=2
3) (E) : 5y′+y=0, avec x0=−5 et y0=1.
4) (E) : 2y−5y′=0, avec x0=1 et y0=−3
Équations du second ordre
Exercice 3
Déterminer la solution f de chacune des équations différentielles (E) suivantes vérifiant les conditions f(x0)=y0 et f′(x0)=y′.
1) 2y″−3y′−2y=0, f(0)=2 et f′(0)=3
2) y″+y′+y=0, f(0)=1 et f′(0)=−1
3) 4y″−4y′+y=0, f(0)=−3 et f′(0)=2
4) y″−5y′+6y=0, f(0)=0 et f′(0)=6
5) 9y″+6y′+y=0, f(0)=1 et f′(0)=2
6) y″−4y′+5y=0, f(0)=−1 et f′(0)=3
Exercice 4
Soit (E) l'équation différentielle du second ordre :
y″−3y′+2y=0.
1) a) Quelles sont les solutions de (E) ?
b) Quelle est la solution de (E) dont la courbe représentative C admet au point d'abscisse x=0 la même tangente que la courbe C′ représentative de y=x ?
On dit que C et C′ sont tangentes.
2) Représenter dans un même repère les courbes C et C′ dont on précisera les positions relatives.
3) λ étant un réel strictement positif, soit hλ la fonction définie par hλ(x)=−λ2ex+2λex.
a) Montrer que hλ est solution de (E).
b) Soit Cλ la courbe représentative de hλ.
Après avoir calculé en fonction de λ les coordonnées du point commun à Cλ et C′λ, montrer que ces courbes sont tangentes en ce point.
c) Préciser les positions relatives de Cλ et C′λ.
Exercice 5
1) Résoudre l'équation différentielle :
y″+16y=0.
2) Trouver la solution f de cette équation vérifiant :
f(0)=1 et f′(0)=4.
3) Trouver deux réels positifs ω et φ tels que pour tout réel t, f(t)=√2cos(ωt−φ).
4) Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0, π8].
Travaux dirigés : Équations différentielles linéaires du second ordre avec un second membre non nul
Exercice 6
On considère l'équation (E) : y″+my′+py=g(x) où m et p sont deux réels et g une fonction continue sur R.
I. Étude générale
On suppose qu'il existe une solution
f1 de (E).
1) Prouver que si f est solution de (E), alors f−f1 est solution de l'équation différentielle
(E0) : y″+my′+py=0.
2) Prouver que si h est solution de (E0), alors h+f1 est solution de (E).
3) En déduire toutes les solutions de (E) si on connaît une solution de (E).
II. Cas où g est un polynôme
1) On considère l'équation
(E) : y″−3y′+2y=x+1.
a) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦ax+b soit solution de (E).
b) Résoudre (E).
2) On considère l'équation (E) : y″−3y′+2y=x2+2x+3.
a) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦ax2+bx+c soit solution de (E).
b) Résoudre (E).
Soit P une fonction polynômiale du second degré.
On montre qu'une solution particulière de y″+my′+py=P(x) est une fonction polynômiale du second degré.
3) Résoudre :
a) y″−8y′+17y=x2−x+2.
b) y″+4y′+4y=x2+1.
III. Cas où g(x)=αcos(ωx)+βsin(ωx)
1) On considère l'équation
(E) : y″+4y′+5y=2cos3x−sin3x.
a) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦acos3x+bsin3x soit solution de (E).
b) Résoudre (E).
2) On considère l'équation (E) : y″+4y′+5y=αcos3x+βsin3x.
a) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦acos3x+bsin3x soit solution de (E).
b) Résoudre (E).
3) Résoudre :
a) y″−6y′+8y=cosx+2sinx.
b) y″+4y′+4y=sin5x.
IV. Cas où g(x)=eax
1) On considère l'équation
(E) : y″−4y′+4y=e−2x.
a) Déterminer a réel tels que :
f1 : x↦aa−2x soit solution de (E).
b) Résoudre (E).
2) On considère l'équation (E) : y″−5y′+6y=e2x.
a) Peut-on déterminer une solution particulière de (E) sous la forme x↦ae2x ?
b) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦(ax+b)e2x soit solution de (E).
c) Résoudre (E).
3) On considère l'équation (E) : y″−4y′+4y=e2x.
a) Peut-on déterminer une solution particulière de (E) sous la forme x↦ae2x ?
sous la forme x↦(ax+b)e2x ?
b) Déterminer a et b réels tels que :
f1 : x↦(ax2+bx+c)e2x soit solution de (E).
c) Résoudre (E).
4) On considère l'équation (E) : y″+my′+py=eax.
a) Prouver que si a n'est pas solution de r2+mr+p=0, il existe une solution du type x↦aeax.
b) Prouver que si a est une racine simple de r2+mr+p=0, il n'existe pas de solution du type x↦aeax mais une solution du type x↦(ax+b)eax
c) Prouver que si a est une racine double de r2+mr+p=0, il n'existe pas de solution du type x↦aeax, ni du type x↦(ax+b)eax, mais une solution du type x↦(ax2+bx+c)eax
5) Résoudre :
a) y″−2y′+2y=e3x
b) y″+2y′−3y=ex.
Problèmes
Exercice 7
Soit m la fonction définie sur [0; +∞[ t⟼m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau+sel) à l'instant t, t en minutes.
Nous admettons que la fonction m vérifie :
m(0)=300 et m est une solution sur [0; +∞[ de l'équation différentielle (E) : 5y′+y=0.
1) a) Résoudre l'équation différentielle (E)(y fonction de t).
1) b) Montrer que pour tout t de [0; +∞[ on a : m(t)=300e−0.2t
2) Déterminer le réel t0 tel que m(t0)=150.
3) Nous admettrons qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t)≤10−2.
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?
Exercice 8
Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t.
La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y′ de cette fonction.
On a constaté que : y′(t)=ky(t) où k est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.
1) Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y′=ky telle que y(0)=N.
2) Sachant qu'au bout de deux heures, le nombre de microbes a quadruplé, calculer, en fonction de N, le nombre de microbes au bout de trois heures.
3) Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 6.400 microbes au bout de cinq heures ?
Exercice 9
Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour résoudre cet exercice.
Un condensateur de capacité C(C=5.10−5farads) se décharge dans une résistance sans self R (R=104ohms).
La différence de potentiel u (exprimée en volts), l'intensité i (exprimée en ampères) et la quantité de charges q (exprimée en coulombs) sont des fonctions du temps t (exprimé en secondes).
1) Sachant qu'à tout instant t on a :
u(t)+Ri(t)=0,q(t)=Cu(t),i(t)=q′(t),
établir que u vérifie l'équation différentielle :
u′+2u=0.
2) Résoudre l'équation différentielle :
u′+2u=0.
Trouver la solution particulière qui vérifie :
u(0)=30
3) Déterminer l'instant t1 pour lequel la différence de potentiel u est égale au quart de sa valeur initiale u(0).
4) Calculer l'énergie W (exprimée en joules) dissipée entre les instants t=0 et t=t1(t1 déterminé au 3)) sachant que :
W=∫t10Ri2(t)dt=∫t10u2(t)Rdt
Donner la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10−2 près.
Exercice 10
Un avion est en vol horizontal et, à un instant que l'on prend comme origine du temps (mesuré en secondes), on agit sur la gouverne de profondeur.
Pour t≥0 on désigne par z(t) le nombre qui mesure en mètres à l'instant t l'altitude relative de l'avion par rapport à l'altitude du vol horizontal antérieur.
On admet que la fonction z est caractérisée par l'équation différentielle du second ordre :
25z″(t)+15z′(t)+2z(t)=2t−25(E)
et par les conditions initiales z(0)=0 et z′(0).
On considère la fonction u définie sur [0; +∞[ par : u(t)=z(t)−t+20.
1) Montrer que u satisfait à vérifie l'équation différentielle :
(E1) : 25u″(t)+15u′(t)+2u(t)=0
et aux conditions initiales u(0)=20 et u′(0)=−1.
2) Déterminer l'unique solution de l'équation (E1) satisfaisant à ces conditions initiales.
En déduire l'expression de z(t) en fonction de t.
Soit f la fonction de la variable réelle définie sur [0; +∞[ par
f(t)=35e−t5−15e−2t5+t−20
dont on désigne la courbe représentative par C dans un plan P rapporté au repère orthonormal (O, →i, →j) unité graphique : 0.5cm.
3) a) Expliciter la fonction dérivée f′, et montrer qu'elle s'annule en 0 et en 5ln6 (on pourra poser v=e−t5).
b) Étudier les variations de f.
Donner des valeurs décimales à 10−1 près des coordonnées du point M de C d'ordonnée minimum.
Quelle est l'interprétation de ces coordonnées pour le mouvement de l'avion que l'on considère ?
2) a) Déterminer la limite de f en +∞.
b) Montrer que la courbe C admet comme asymptote la droite D d'équation z=t−20 ;
préciser la position de C par rapport à D.
c) Construire la courbe C et la droite D dans le plan P.
3) a) Montrer que l'on a pour tout t≥5ln35 :
0≤5e−t5−15e−2t5≤1 et t−20≤f(t)≤t−19.
b) Utiliser le tableau de variation de f pour montrer que la courbe C rencontre l'axe des abscisses en deux points exactement, à savoir en O et en un point d'abscisse a telle que a≥5ln35.
Quelle est l'interprétation de a pour le mouvement de l'avion que l'on considère ?
c) Utiliser a) pour montrer que l'on a 19≤a≤20.
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