Généralités. Équations du premier ordre
Exercice 1
Montrer que chacune des fonctions $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$:
1) $f(x)=\cos(2x+3)\quad(E)\ :\ y''=16y$
2) $f(x)=\sin(2x)\quad(E)\ :\ y''+3y=-2\sin x\cos x$
3) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}\quad(E)\ :\ y'-y=\mathrm{e}^{x}$
4) $f(x)=\mathrm{e}^{x}\ln x\quad(E)\ :\ y''-2y'+y=\dfrac{-1}{x^{2}}\mathrm{e}^{x}.$
Exercice 2
Déterminer la solution $f$ de chacune des équations différentielles $(E)$ suivantes vérifiant la condition $f(x_{0})=y_{0}.$
1) $(E)\ :\ -3y'+2y=0\;,\text{ avec }x_{0}=3\text{ et }y_{0}=1.$
2) $(E)\ :\ 3y+6y=0\;,\text{ avec }x_{0}=-4\text{ et }y_{0}=2$
3) $(E)\ :\ 5y'+y=0\;,\text{ avec }x_{0}=-5\text{ et }y_{0}=1.$
4) $(E)\ :\ 2y-5y'=0\;,\text{ avec }x_{0}=1\text{ et }y_{0}=-3$
Équations du second ordre
Exercice 3
Déterminer la solution $f$ de chacune des équations différentielles $(E)$ suivantes vérifiant les conditions $f(x_{0})=y_{0}\text{ et }f'(x_{0})=y'.$
1) $2y''-3y'-2y=0\;,\ f(0)=2\text{ et }f'(0)=3$
2) $y''+y'+y=0\;,\ f(0)=1\text{ et }f'(0)=-1$
3) $4y''-4y'+y=0\;,\ f(0)=-3\text{ et }f'(0)=2$
4) $y''-5y'+6y=0\;,\ f(0)=0\text{ et }f'(0)=6$
5) $9y''+6y'+y=0\;,\ f(0)=1\text{ et }f'(0)=2$
6) $y''-4y'+5y=0\;,\ f(0)=-1\text{ et }f'(0)=3$
Exercice 4
Soit $(E)$ l'équation différentielle du second ordre :
$y''-3y'+2y=0.$
1) a) Quelles sont les solutions de $(E)$ ?
b) Quelle est la solution de $(E)$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ admet au point d'abscisse $x=0$ la même tangente que la courbe $\mathcal{C'}$ représentative de $y=x$ ?
On dit que $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont tangentes.
2) Représenter dans un même repère les courbes $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ dont on précisera les positions relatives.
3) $\lambda$ étant un réel strictement positif, soit $h_{\lambda}$ la fonction définie par $h_{\lambda}(x)=-\lambda^{2}\mathrm{e}^{x}+2\lambda\mathrm{e}^{x}.$
a) Montrer que $h_{\lambda}$ est solution de $(E).$
b) Soit $\mathcal{C}_{\lambda}$ la courbe représentative de $h_{\lambda}.$
Après avoir calculé en fonction de $\lambda$ les coordonnées du point commun à $\mathcal{C}_{\lambda}\text{ et }\mathcal{C'}_{\lambda}$, montrer que ces courbes sont tangentes en ce point.
c) Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{\lambda}\text{ et }\mathcal{C'}_{\lambda}.$
Exercice 5
1) Résoudre l'équation différentielle :
$y''+16y=0.$
2) Trouver la solution $f$ de cette équation vérifiant :
$f(0)=1\text{ et }f'(0)=4.$
3) Trouver deux réels positifs $\omega\text{ et }\varphi$ tels que pour tout réel $t\;,\ f(t)=\sqrt{2} \cos(\omega t-\varphi).$
4) Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0\;,\ \dfrac{\pi}{8}\right].$
Travaux dirigés : Équations différentielles linéaires du second ordre avec un second membre non nul
Exercice 6
On considère l'équation $(E)\ :\ y''+m y'+p y =g(x)\text{ où }m\text{ et }p$ sont deux réels et $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}.$
I. Étude générale
On suppose qu'il existe une solution $f_{1}\text{ de }(E).$
1) Prouver que si $f$ est solution de $(E)\;,\text{ alors }f-f_{1}$ est solution de l'équation différentielle
$$(E_{0})\ :\ y''+m y'+p y=0.$$
2) Prouver que si $h$ est solution de $(E_{0})\;,\text{ alors }h+f_{1}$ est solution de $(E).$
3) En déduire toutes les solutions de $(E)$ si on connaît une solution de $(E).$
II. Cas où $g$ est un polynôme
1) On considère l'équation $(E)\ :\ y''-3y'+2y=x+1.$
a) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto ax+b$ soit solution de $(E).$
b) Résoudre $(E).$
2) On considère l'équation $(E)\ :\ y''-3y'+2y=x^{2}+2x+3.$
a) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto ax^{2}+bx+c$ soit solution de $(E).$
b) Résoudre $(E).$
Soit $P$ une fonction polynômiale du second degré.
On montre qu'une solution particulière de $y''+m y'+p y=P(x)$ est une fonction polynômiale du second degré.
3) Résoudre :
a) $y''-8y'+17y=x^{2}-x+2.$
b) $y''+4y'+4y=x^{2}+1.$
III. Cas où $g(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$
1) On considère l'équation $(E)\ :\ y''+4y'+5y=2\cos 3x-\sin 3x.$
a) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto a\cos 3x+b\sin 3x$ soit solution de $(E).$
b) Résoudre $(E).$
2) On considère l'équation $(E)\ :\ y''+4y'+5y=\alpha\cos 3x+\beta\sin 3x.$
a) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto a\cos 3x+b\sin 3x$ soit solution de $(E).$
b) Résoudre $(E).$
3) Résoudre :
a) $y''-6y'+8y=\cos x+2\sin x.$
b) $y''+4y'+4y=\sin 5x.$
IV. Cas où $g(x)=\mathrm{e}^{a x}$
1) On considère l'équation $(E)\ :\ y''-4y'+4y=\mathrm{e}^{-2\,x}.$
a) Déterminer $a$ réel tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto a\mathrm{a}^{-2\,x}$ soit solution de $(E).$
b) Résoudre $(E).$
2) On considère l'équation $(E)\ :\ y''-5y'+6y=\mathrm{e}^{2\,x}.$
a) Peut-on déterminer une solution particulière de $(E)$ sous la forme $x\mapsto a\mathrm{e}^{2\,x}$ ?
b) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto(ax+b)\mathrm{e}^{2\,x}$ soit solution de $(E).$
c) Résoudre $(E).$
3) On considère l'équation $(E)\ :\ y''-4y'+4y=\mathrm{e}^{2\,x}.$
a) Peut-on déterminer une solution particulière de $(E)$ sous la forme $x\mapsto a\mathrm{e}^{2\,x}$ ?
sous la forme $x\mapsto (ax+b)\mathrm{e}^{2\,x}$ ?
b) Déterminer $a\text{ et }b$ réels tels que :
$f_{1}\ :\ x\mapsto(a\,x^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{2\,x}$ soit solution de $(E).$
c) Résoudre $(E).$
4) On considère l'équation $(E)\ :\ y''+m y'+p y=\mathrm{e}^{a\,x}.$
a) Prouver que si $a$ n'est pas solution de $r^{2}+m r+p=0$, il existe une solution du type $x\mapsto a\mathrm{e}^{a\,x}.$
b) Prouver que si $a$ est une racine simple de $r^{2}+m r+p=0$, il n'existe pas de solution du type $x\mapsto a\mathrm{e}^{a\,x}$ mais une solution du type $x\mapsto(ax+b)\mathrm{e}^{a\,x}$
c) Prouver que si $a$ est une racine double de $r^{2}+m r+p=0$, il n'existe pas de solution du type $$x\mapsto a\mathrm{e}^{a\,x}\;,\text{ ni du type }x\mapsto (ax+b)\mathrm{e}^{a\,x}\;,\text{ mais une solution du type }x\mapsto (a\,x^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{a\,x}$$
5) Résoudre :
a) $y''-2y'+2y=\mathrm{e}^{3\,x}$
b) $y''+2y'-3y=\mathrm{e}^{x}.$
Problèmes
Exercice 7
Soit $m$ la fonction définie sur $[0\;;\ +\infty[\ t\longmapsto m(t)\text{ où }m(t)$ est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau+sel) à l'instant $t$, $t$ en minutes.
Nous admettons que la fonction $m$ vérifie :
$m(0)=300\text{ et }m$ est une solution sur $[0\;;\ +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)\ :\ 5y'+y=0.$
1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) (y\text{ fonction de }t).$
1) b) Montrer que pour tout $t\text{ de }[0\;;\ +\infty[\text{ on a : }m(t)=300\mathrm{e}^{-0.2t}$
2) Déterminer le réel $t_{0}$ tel que $m(t_{0})=150.$
3) Nous admettrons qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant $t$ si, et seulement si, $m(t)\leq 10^{-2}.$
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?
Exercice 8
Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant $t$, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction $y$ à valeurs réelles de la variable $t.$
La vitesse de prolifération à l'instant $t$ du nombre des microbes est la dérivée $y'$ de cette fonction.
On a constaté que : $y'(t)=k y(t)$ où $k$ est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par $N$ le nombre de microbes à l'instant $t=0.$
1) Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle $y'=k y$ telle que $y(0)=N.$
2) Sachant qu'au bout de deux heures, le nombre de microbes a quadruplé, calculer, en fonction de $N$, le nombre de microbes au bout de trois heures.
3) Quelle est la valeur de $N$ sachant que la culture contient 6.400 microbes au bout de cinq heures ?
Exercice 9
Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour résoudre cet exercice.
Un condensateur de capacité $C(C=5.10-5\,\text{farads})$ se décharge dans une résistance sans self $R$ $(R=104\,\text{ohms}).$
La différence de potentiel $u$ (exprimée en volts), l'intensité $i$ (exprimée en ampères) et la quantité de charges $q$ (exprimée en coulombs) sont des fonctions du temps $t$ (exprimé en secondes).
1) Sachant qu'à tout instant $t$ on a :
$u(t)+R i(t)=0\;,q(t)=Cu(t)\;,i(t)=q'(t)$,
établir que $u$ vérifie l'équation différentielle :
$u'+2u=0.$
2) Résoudre l'équation différentielle :
$u'+2u=0.$
Trouver la solution particulière qui vérifie :
$u(0)=30$
3) Déterminer l'instant $t_{1}$ pour lequel la différence de potentiel $u$ est égale au quart de sa valeur initiale $u(0).$
4) Calculer l'énergie $W$ (exprimée en joules) dissipée entre les instants $t=0\text{ et }t=t_{1} (t_{1}$ déterminé au 3)) sachant que :
$$W=\int_{0}^{t_{1}}R i^{2}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{t_{1}}\dfrac{u^{2}(t)}{R}\mathrm{d}t$$
Donner la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près.
Exercice 10
Un avion est en vol horizontal et, à un instant que l'on prend comme origine du temps (mesuré en secondes), on agit sur la gouverne de profondeur.
Pour $t\geq 0$ on désigne par $z(t)$ le nombre qui mesure en mètres à l'instant $t$ l'altitude relative de l'avion par rapport à l'altitude du vol horizontal antérieur.
On admet que la fonction $z$ est caractérisée par l'équation différentielle du second ordre :
$$25 z''(t)+15 z'(t)+ 2 z(t)=2t-25\quad(E)$$
et par les conditions initiales $z(0)=0\text{ et }z'(0).$
On considère la fonction $u$ définie sur $[0\;;\ +\infty[\text{ par : }u(t)=z(t)-t+20.$
1) Montrer que $u$ satisfait à vérifie l'équation différentielle :
$$(E_{1})\ :\ 25 u''(t)+15 u'(t)+2 u(t)=0$$
et aux conditions initiales $u(0)=20\text{ et }u'(0)=-1.$
2) Déterminer l'unique solution de l'équation $(E_{1})$ satisfaisant à ces conditions initiales.
En déduire l'expression de $z(t)$ en fonction de $t.$
Soit $f$ la fonction de la variable réelle définie sur $[0\;;\ +\infty[$ par
$$f(t)=35\mathrm{e}^{-\dfrac{t}{5}}-15\mathrm{e}^{-\dfrac{2\,t}{5}}+t-20$$
dont on désigne la courbe représentative par $\mathcal{C}$ dans un plan $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité graphique : $0.5\,cm.$
3) a) Expliciter la fonction dérivée $f'$, et montrer qu'elle s'annule en $0$ et en $5\ln 6$ (on pourra poser $v=\mathrm{e}^{-\dfrac{t}{5}}).$
b) Étudier les variations de $f.$
Donner des valeurs décimales à $10^{-1}$ près des coordonnées du point $M\text{ de }\mathcal{C}$ d'ordonnée minimum.
Quelle est l'interprétation de ces coordonnées pour le mouvement de l'avion que l'on considère ?
2) a) Déterminer la limite de $f\text{ en }+\infty.$
b) Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet comme asymptote la droite $D$ d'équation $z=t-20$ ;
préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D.$
c) Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$ dans le plan $\mathcal{P}.$
3) a) Montrer que l'on a pour tout $t\geq 5\ln 35$ :
$$0\leq 5\mathrm{e}^{-\dfrac{t}{5}}-15\mathrm{e}^{-\dfrac{2t}{5}}\leq 1\text{ et }t-20\leq f(t)\leq t-19.$$
b) Utiliser le tableau de variation de $f$ pour montrer que la courbe $\mathcal{C}$ rencontre l'axe des abscisses en deux points exactement, à savoir en O et en un point d'abscisse $a$ telle que $a\geq 5\ln 35.$
Quelle est l'interprétation de $a$ pour le mouvement de l'avion que l'on considère ?
c) Utiliser a) pour montrer que l'on a $19\leq a\leq 20.$
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