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Série d'exercices : Dérivabilité - Ts

Classe:

Terminale

Nombre-Dérivée. Dérivabilité. Fonction Dérivée

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, on demande de :

a) calculer le nombre dérivé de

$f$ en

$x_{0}$ , en utilisant la définition.

b) déterminer une équation de la tangente

$\Delta\text{ à }\mathbb{C}\text{ en }M_{0}.$

c) étudier la position de

$\mathbb{C}$ par rapport à

$\Delta.$

$1)\ f\ :\ x\mapsto 3x^{2}-5x+1\ x_{0}=2\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{4}\ x_{0}=1$

$3)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}+2\ x_{0}=1\quad 4)\ f\ :\ x\dfrac{x+2}{7-x}\ x_{0}=5$

Exercice 2

Étudier la dérivabilité en 0 des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+x}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{3}+x^{2}}\quad 3\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{5}+x^{4}}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\text{ pour }x\neq 0\text{ et }f(0)=0$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, calculer le nombre dérivé de la fonction

$f$ au point

$a$ (ou les nombres dérivés à gauche et à droite).

$f(x)=\sqrt{x^{2}-3x-4}\ a=4\quad 2)\ f(x)=(x-3)\sqrt{x^{2}-3x-4}\ a=4$

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1-|x+1|}{x^{2}+x+2}\ a=-1$

$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-3x}{4x-2} & \text{ si }x & \leq & 1 \\ \\ f(x) &=& \dfrac{13x-\sqrt{100x+300}}{7} & \text{ si }x & \geq & 1 \end{array}\right.$

Exercice 4

Soient

$a\text{ et }b$ deux paramètres réels.

On définit la fonction f par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llll} ax+b & \text{ si } & \leq & 3 \\ \\ \sqrt{2x+3}-3 & \text{ si }x & > & 3 \end{array}\right.$

Déterminer

$a\text{ et }b$ pour que f soit continue et dérivable en

$x_{0}=3$

Exercice 5

Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x+2)=f(x)$ pour tout

$x$ réel et

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx$

pour tout

$x\in\;[-1\;;\ 1[\ (a\text{ et }b \text{ réels})$

1) Calculer

$f(1).$

A quelle condition

$f$ est-elle continue sur

$\mathbb{R}$ ?

2) On suppose la condition du 1) réalisée.

Déterminer

$a\text{ et }b$ pour que

$f$ soit dérivable sur

$\mathbb{R}$

Exercice 6

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes au point d'abscisse

$x_{0}.$

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+5x-2\;,\ x_{0}=1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x\cos x\;,\ x_{0}=\pi$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}-1}\;,\ x_{0}=1\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+3}{x+1}\;,\ x_{0}=2$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\;,\ x_{0}=2$

$6)\ f\ :\ x\mapsto x\sqrt{x-1}\;,\ x_{0}=2\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{|2x-3|}{x+5}\;,\ x_{0}=1$

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, déterminer la tangente ou les demi-tangentes à la courbe

$\mathbb{C}\text{ de }f$ au point d'abscisse (-1).

$1)\ f(x)=\sqrt{1-x+x^{2}-x^{3}}\quad 2)\ f(x)=\sqrt{1+x+x^{2}+x^{3}}$

$3)\ f(x)=\dfrac{3x-7|x+1|}{x^{2}+2x}$

$\left\lbrace\begin{array}{llllll} \text{ si }x & \leq & -1\;, & f(x) &=& \dfrac{\sin\pi x}{x}\\ \\ \text{ si }x & > & -1\;, & f(x) &=& \dfrac{1+\cos\pi x}{x} \end{array}\right.$

Exercice 8

Déterminer les tangentes à la courbe

$\mathbb{C}$ de

$f$ de coefficient directeur 1, s'il en existe :

$1)\ f(x)=\dfrac{x-4}{x+5}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x}\quad 3)\ f(x)=\sin^{3}x+\sin x+3\quad \sqrt{\sin2x}$

Exercice 9

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{4x^{2}+3x-1}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto (x^{4}-x^{2}+1)^{3}\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{2x^{2}-3x+1}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\cos(x-1)^{2}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\sin(x^{3})\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\cos\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)$

$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 2x}{1+\cos x}\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\cos2x-\sin x}\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\tan^{4}$

Exercice 10

Dans chacun des cas suivants, déterminer les ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité et la dérivée de

$f.$

Résoudre l'équation

$f(x)=0.$

$1)\ f(x)=\sqrt{x^{4}-14x^{2}+24x-8}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-2|x^{2}-x-20|}{x^{2}-2|x^{2}-16|}$

$3)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{\sin x}{1-\sin x}}\quad 4)\ f(x)=\sqrt{\sin x-\tan x}$

Exercice 11

Pour chacune des fonctions suivantes, dresser le tableau de variation et préciser les extremums.

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{4}-2x^{3}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x-1\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}}{x^{3}-1}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x^{2}-4}$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\quad 7)\ f\ :\ \mapsto\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$8\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x^{2}-3x+1}{x^{2}+x-1}}\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{4-\cos^{2}x}{1-\sin x}\quad 10)\ f\ :\ x\mapsto\sin x\cos^{3}x$

$11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}-|x+3|}{2x^{2}-|x^{2}-9|}$

Exercice 12

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\text{ si }\neq -1 \\ \\ f(-1) &=& \dfrac{1}{3} \end{array}\right.$

1) Cette fonction est-elle continue pour

$x=-1$ ? pour

$x=0$ ?

2) Est-elle dérivable pour

$x=0$ ? pour

$x=-1$ ?

Exercice 13

Pour quelles valeurs réelles de

$x$ la fonction dérivée de

$\text{ f: }x\mapsto\cos(2\pi\cos x)$ s'annule-t-elle ?

Exercice 14

1) Démontrer que la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire et que la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.

2) Démontrer que la dérivée d'une fonction périodique est une fonction périodique de même période.

Exercice 15

En utilisant la définition de la dérivée d'une fonction, calculer limite, quand

$x$ est arbitrairement voisin de

$a$ , de la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{\tan x-\sin x+\sin a-\tan a}{x-\sin x+\sin a-a}$

Exercice 16

Soit

$f$ une fonction dérivable en

$x_{0}.$

1) Déterminer la limite éventuelle en

$x_{0}$ de la fonction :

$x\mapsto\dfrac{xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}.$

2) En déduire les limites suivantes :

$\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{x^{3}a-a^{3}x}{x-a}\text{ et }\lim_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\cos x}{x-\dfrac{\pi}{3}}$

Dérivées successives

Exercice 17

Déterminer les fonctions dérivées jusqu'à l'ordre 5 des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto(3x+1)^{5}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\cos(3x+1)\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{3x+1}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{3x+1}$

Exercice 18

Soit la fonction

$f$ définie par

$f\ :\ x\mapsto x\sin x+\cos x.$

Trouver une relation algébrique liant

$x\;,\ f\;,\ f'\text{ et }f''.$

Exercice 19

Soit la fonction

$f$ définie par

$f\ :\ x\mapsto\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}.$

1) Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation :

$2f'(x)\sqrt{1+x^{2}}=f(x).$

2) En déduire que la dérivée seconde vérifie la relation :

$4f''(x)(1+x^{2})+4x f'(x)-f(x)=0.$

Exercice 20

On pose :

$f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}$

1) Calculer

$f'(x)\text{ et }f''(x).$

2) Étudier le signe de

$f''(x).$

En déduire le sens de variation de

$f'.$

3) Calculer

$f'(0).$

En déduire le signe de

$f'(x).$

4) En déduire le sens de variation de

$f$ , puis le signe de

$f(x).$

5) On pose :

$g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{4}}{24}.$

S'inspirer de ce qui précède pour étudier le signe de

$g'(x)$ , puis celui de

$g(x).$

6) Utiliser ce qui précède pour encadrer

$\cos x$ par des fonctions paires.

7) Déduire du 6) la limite en 0 de

$\dfrac{\cos x-1}{x^{2}}.$

Dérivée de la réciproque d'une bijection

Exercice 21

1) La fonction sinus admet une fonction réciproque, notée

$\text{Arc}\sin$ , définie sur l'intervalle

$\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

Déterminer la fonction dérivée de cette fonction réciproque.

2) Même question pour la fonction cosinus et l'intervalle

$[0\;;\ \pi].$

3) Même question pour la fonction tangente et l'intervalle

$\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

Exercice 22

Soit f la fonction définie sur

$\left[\dfrac{\pi}{3}\;;\ \pi\right]$ par :

$f(x)=2\cos x-\cos 2x.$

1) Montrer que f admet une fonction réciproque,

$g$ , dont on précisera l'ensemble de définition et les propriétés.

2) Calculer les valeurs de

$g$ et de sa fonction dérivée, pour les valeurs

$-\sqrt{2}\;,\ -\dfrac{1}{2}\;,\text{et }+1$ de la variable.

Exercice 23

Soit f la fonction définie par :

$f(x)=2x^{2}+2x-3\text{ et }\mathbb{C}$ sa représentation graphique.

1) Étudier

$f$ et en faire la représentation graphique.

2) On désigne par

$g$ la restriction de

$f$ à

$\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[.$

Montrer que

$g$ est une bijection de

$\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[\text{ vers }\left[-\dfrac{7}{2}\;,\ +\infty\right[.$

3) Soit

$g^{-1}$ la bijection réciproque et

$\mathbb{C}^{-1}$ sa représentation graphique.

a) Tracer

$\mathbb{C}^{-1}$ sans déterminer

$\mathbb{C}^{-1}.$

b) Déterminer une équation de la tangente à

$\mathbb{C}^{-1}$ au point

$A$ d'abscisse 9.

c) Déterminer

$g^{-1}$ en donnant l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image d'un élément

$x.$

d) Déterminer

$(g^{-1})'$ et retrouver une équation de la tangente à

$\mathbb{C}^{-1}$ au point d'abscisse 9.

Exercice 24

Soit

$f$ l'application de

$[0\;;\ 2]\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :

$f(y)=y^{2}+2y-3.$

1) Montrer que

$f$ définit une bijection de

$[0\;;\ 2]\text{ vers }[-3\;;\ 5]$ et préciser l'application réciproque de cette bijection ; on la notera

$\varphi.$

2) Montrer que

$\varphi$ est dérivable sur

$[-3\;;\ 5]$ et déterminer sa fonction dérivée.

Exercice 25

On considère l'application

$f$ :

$]0\;;\ 2[\rightarrow \mathbb{R}$ définie par :

$f(x)=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}(x-1)\right).$

1) Montrer que

$f$ est une bijection de

$]0\;,\ 2[$ sur un intervalle que l'on précisera.

2) Soit

$h$ la bijection réciproque de

$f.$

Montrer que

$h$ est dérivable sur

$\mathbb{R}$ et que l'on a :

$h'(x)=\dfrac{2}{\pi(x^{2}+1)}$

3) Pour tout

$x$ non nul, on pose :

$\varphi(x)=h(x)+h\left(\dfrac{1}{x}\right).$

Calculer

$\varphi'(x)$ et en déduire que

$\varphi$ est constante sur chacun des intervalles

$]-\infty\;;\ 0[\text{ et }]0\;;\ +\infty[.$ Déterminer chacune de ces constantes.

Exercice 26

Soit

$f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x\text{ et }g$ la restriction de

$f\text{ à }[0\;;\ 2].$

1) Montrer que

$g$ définit une bijection de

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle

$J$ à préciser.

2) Déterminer l'ensemble sur lequel la bijection réciproque

$g^{-1}$ est dérivable et démontrer que sa dérivée est la fonction

$x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}.$

Exercice 27

Soit

$f$ l'application définie sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

$f(x)=\dfrac{1}{\cos x}.$

1) Montrer que

$f$ admet une fonction réciproque

$f^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition.

2) Déterminer l'ensemble sur lequel

$f^{-1}$ est dérivable et déterminer sa dérivée.

Pourquoi

$f^{-1}$ n'est-elle pas dérivable à droite en 1 ?

Inégalité des accroissements finis

Exercice 28

En appliquant l'inégalité des accroissements finis sur

$[0\;,\ x]\text{ avec }x\in\;\left[0\;,\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ donner un encadrement de la fonction sinus par deux fonctions affines.

En déduire une majoration de l'erreur commise en posant

$\sin x=x\text{ pour }0\leq x\leq\dfrac{\pi}{18}.$

Exercice 29

En utilisant l'inégalité des accroissements finis, encadrer les réels suivants :

$1)\ \dfrac{1}{\sqrt{10003}}\quad 2)\ \dfrac{1}{9975}\quad 2)\ \cos 44^{\circ}\quad 4)\sin 33^{\circ}$

$5)\ \cos 1.02\quad 6)\ \sin 0.8\quad 7)\ \sin 31^{\circ}30'\quad 8)\ \cos 43^{\circ}30'$

Exercice 30

Montrer, en appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction

$x\mapsto\sqrt{x}$ sur l'intervalle

$[a\;;\ a+1]$ que pour tout réel strictement positif

$a$ , on a :

$\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}\leq\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$

En déduire un encadrement de

$\sqrt{10001}.$

Exercice 31

Soit

$f\text{ et }g$ deux fonctions dérivable sur un intervalle

$[a\;,\ b].$

1) Montrer que si pour tout

$x\text{ de }[a\;,\ b]\;,\ f'(x)\leq g'(x)$ alors pour tout

$x\text{ de }[a\;,\ b]$ :

$f(x)-f(a)\leq g(x)-g(a).$

2) En déduire que pour tout

$x\text{ de }\mathbb{R}_{+}\ :\ -x< \sin x<x\text{ et }1\dfrac{x^{2}}{2}\leq \cos x\leq 1.$

3) Réitérer le procédé pour avoir un encadrement plus précis.

Exercice 32

1) Soit la fonction

$g$ définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$g(x)=2x^{3}+3x^{2}+1.$

Montrer qu'il existe un réel unique

$a$ tel que

$g(a)=0\text{ et que }a\in\;[-1.68\;;\ 1.67].$

Déterminer le signe de

$g$ sur

$\mathbb{R}$

2) Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}\setminus {-1}\text{ par }f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x+1}.$

a) Étudier les variations de

$f.$

b) Montrer que, si

$x\in\;[-1.68\;;\ -1.67]$ :

$|f'(x)|\leq 0.116.$

c) Montrer que

$|f(a)-f(-1.67)|\leq 0.00116.$

En déduire une valeur approchée à

$10^{-2}$ près de

$f(a).$

Problèmes d'optimisation

Exercice 33

Dans chacun des angles d'un carré de coté

$a$ on découpe un carré de coté

$x$ et on construit ainsi une boite de forme parallélépipédique.

Déterminer

$x$ pour que le volume de cette boite soit maximal.

Exercice 34

Soit un triangle

$SAB\;(SA=SB)$ et son cercle inscrit de rayon

$R$ et de centre

$O.$

On pose

$OS=x.$

1) Calculer

$AB$ en fonction de

$x\text{ et }R.$

2) On considère le cone de révolution de sommet

$S$ , d'axe

$(OS)$ et dont la base est le cercle de diamètre

$[AB]$ situé dans le plan perpendiculaire à

$(OS).$

Calculer le volume de ce cone en fonction de

$x\text{ et }R.$

$R$ étant donné, le volume du cone est fonction de

$x.$

Déterminer

$x$ pour que ce volume soit minimal.

Exercice 35

Soit un cercle de centre

$O$ et de rayon

$R$ et deux diamètres perpendiculaires de ce cercle.

Un point

$M$ variable du cercle se projette en

$H\text{ et }K$ sur ces deux diamètres.

On pose

$OH=x.$

Calculer, en fonction de

$x\text{ et }R$ , le périmètre du rectangle

$OHMK.$

Déterminer

$x$ pour que ce périmètre soit maximal.

Exercice 36

On veut réaliser une boîte cylindrique avec couvercle de contenance donnée et de surface minimale.

Montrer que sa hauteur est égale à son diamètre.

Exercice 37

Pour la fabrication d'un livre, on doit respecter sur chaque page des marges de

$2\;cm$ à droite et à gauche, de

$3\;cm$ en haut et en bas.

Soit

$x\text{ et }y$ les deux dimensions d'une page.

On désire que l'aire de la partie disponible pour l'impression soit de

$600\;cm^{2}.$

1) Déterminer

$y$ en fonction de

$x.$

Calculer l'aire totale de la page.

2) Déterminer

$x\text{ et }y$ pour que la consommation de papier soit minimale.

Exercice 38

Un commerçant vend, chaque jour, 30 articles sur chacun desquels il fait un bénéfice de 2000 F.

Toute baisse de 200 F sur chacun des articles provoque 5 ventes supplémentaires.

Quel bénéfice doit-il faire à l'unité pour avoir un profit maximal ?

Primitives

Exercice 39

Déterminer les primitives, en précisant sur quel(s) intervalle(s) elles sont définies, des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-2x+1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto \sin 2x-2\cos 2x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{4x+3}{(2x^{2}+3x+1)^{3}}\quad 6)\text{ f: }x\mapsto\dfrac{1-x}{(x^{2}-2x+3)^{2}}$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2X+3}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto \sin x \cos x^{3}x$

$10)\ f\ :\ x\mapsto \sin 3x\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\cos^{2}x}\quad 13)\ f\ :\ x\mapsto\left(\dfrac{x}{x^{4}+1}\right)^{3}$

$14)\ f\ :\ x\mapsto x\cos x^{2}\quad 15)\ f\ :\ x\mapsto 2x(x^{2}-1)^{5}\quad 16)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

$17)\ f\ :\ x\mapsto\tan^{2}x\quad 18)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}\sin\dfrac{1}{x}\quad 19)\ f\ :\ x\mapsto\tan x+\tan^{3}x$

$20)\ f\ :\ x\mapsto 1+\dfrac{1}{\tan^{2}x}\quad 21)\ f\ :\ x\mapsto\cos^{3}x$

Exercice 40

Condition initiale

Déterminer la primitive

$F$ vérifiant

$F(x_{0})=y_{0}$ pour chacune des fonctions

$f$ définies par :

$f(x)=(2x-1)^{3}\text{ et }F(0)=0\quad 2)\ f(x)=(2x-1)(x^{2}-x+1)^{4}\text{ et }F(1)=1.$

$f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}-1)^{2}}\text{ et }F(2)=0\quad 4)\ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4x+8}}\text{ et }F(2)=4$

$f(x)=3 \sin\dfrac{x}{2}-2 \cos\dfrac{x}{2}\text{ et }F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\quad 6)\ f(x)=x+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\text{ et }F(1)=1$

Exercice 41

Soit la fonction

$f$ définie par :

$f(x)= \sin x+x \cos x.$

En posant

$u(x)= \sin x\text{ et }v(x)= \cos x$ , montrer que

$f(x)$ se met sous l'une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours.

En déduire une primitive de

$f\text{ sur }\mathbb{R}.$

2) Soit

$g(x)=\dfrac{1}{\sin^{2}x}.$

On pose :

$u(x)=\ cos x\text{ et }v(x)= \sin x.$

Montrer que

$g(x)$ se met sous l'une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours.

En déduire une primitive de

$g\text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

3) S'inspirer de ce qui précède pour déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l'on précisera.

$\text{ h: }x\mapsto\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}\quad \text{ k: }x\mapsto\tan x+\dfrac{x}{\cos^{2}x}\quad \text{ m: }x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}+\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Exercice 42

On considère la fonction f telle que :

$f(x)=a \cos x+b \cos^{3} x.$

1) Calculer

$f'(x)\text{ et }f''(x).$

2) Comparer

$f(x)\text{ et }f''(x).$

3) En déduire les primitives de f.

Exercice 43

La forme

$u'\sqrt{u}$

1) Soit

$u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle

$I.$

Montrer que la fonction

$\dfrac{2}{3}u\sqrt{u}$ est une primitive sur

$I$ de la fonction

$u'\sqrt{u}.$

2) Application :

Déterminer dans chacun des cas suivants une primitive de

$f\text{ sur }I.$

$f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}\ I=\mathbb{R}\qquad \text{b) }f(x)=x\sqrt{1-x^{2}}\ I=]-1\;;\ 1[.$

Exercice 44

Une primitive de

$x^{n}\sqrt{x}$

On considère la fonction

$f_{n}$ :

$x\mapsto x^{n}\sqrt{x}\;,\text{ pour }n\text{ entier }n\geq 1.$

1) Montrer que

$f_{n}$ est dérivable sur

$]0\;;\ +\infty[$ , et calculer

$f_{n}'(x).$

2) En déduire une primitive sur

$]0\;;\ +\infty[\text{ de }x\mapsto x^{n}\sqrt{x}\;,\text{ pour }n\geq 0.$

3) Application Déterminer une primitive sur

$]0\;;\ +\infty[$ des fonctions :

$x\mapsto\sqrt{x}\;,\ x\mapsto x\sqrt{x}\;,\ x\mapsto x^{2}\sqrt{x}$

Exercice 45

1) Déterminer une primitive sur

$[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}]$ de la fonction :

$x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{2}x}.$

2) On considère la fonction

$G$ , définie sur

$[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}]$ par :

$G(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}.$

Montrer que

$G$ est dérivable sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et que :

$G'(x)=\dfrac{3}{\cos^{4}x}-\dfrac{2}{\cos^{2}x}.$

3) En déduire une primitive sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ , de la fonction

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{4}x}.$

Exercice 46

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive

$F\text{ de }f\text{ sur }I$ après avoir effectuée la

transformation d'écriture indiquée.

$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\ I=]1\;;\ +\infty[$

Indication :

Mettre

$f(x)\text{ sous la forme }a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}$

$f(x)=\dfrac{3x^{2}+12x-1}{(x-1)^{2}}\;,\ I=]-2\;;\ +\infty[$

Indication :

Mettre

$f(x)\text{ sous la forme }a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}.$

$f(x)=\dfrac{2x^{3}+13x^{2}+24x+2}{(x+3)^{2}}\;,\ I=]-3\;;\ +\infty[$

Indication :

Mettre

$f(x)\text{ sous la forme }ax+b+\dfrac{c}{(x+3)^{2}}.$

$f(x)=\dfrac{x(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}\;,\ I=]-1\;;\ 1[$

Indication :

Mettre

$f(x)\text{ sous la forme }\dfrac{a}{(x-1)^{3}}+\dfrac{b}{(x+1)^{3}}.$

Exercice 47

On se propose de calculer une primitive sur

$I\text{ de }f$ , définie par :

$f(x)=x^{2}(x-1)^{2005}$

1) Montrer qu'il existe trois réels

$a\;,\ b\;,\ c$ tels que :

$x^{2}=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c.$

2) En déduire une primitive de

$f.$

Exercice 48

Soient

$f\;,\ g\text{ et }h$ les fonctions définies par :

$f(x)=x^{2} \cos x\;;\ g(x)=x^{2} \sin x\;;\ h(x)=-2x \cos x.$

1) On pose

$U=g-h.$

Calculer les dérivées de

$g\;,\ h\;,\ U.$

2) En déduire une primitive

$F\text{ de }f\text{ sur }\mathbb{R}.$

Exercice 49

Les fonctions

$F\text{ et }G$ suivantes sont-elles des primitives de la même fonction sur l'intervalle

$I=]1\;;\ +\infty[$ ?

$F(x)=\dfrac{5x^{2}-7x+9}{3x-1}\qquad G(x)=\dfrac{5x^{2}-16x+12}{3x-1}$

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Série d'exercices : Dérivabilité - Ts

Formulaire de recherche

Nombre-Dérivée. Dérivabilité. Fonction Dérivée

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Dérivées successives

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Dérivée de la réciproque d'une bijection

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Inégalité des accroissements finis

Exercice 28

Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Problèmes d'optimisation

Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38

Primitives

Exercice 39

Exercice 40

Condition initiale

Exercice 41

Exercice 42

Exercice 43

Exercice 44

Exercice 45

Exercice 46

Exercice 47

Exercice 48

Exercice 49

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