Série d'exercices : Dérivabilité - Ts
Classe:
Terminale
Nombre-Dérivée. Dérivabilité. Fonction Dérivée
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, on demande de :
a) calculer le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$, en utilisant la définition.
b) déterminer une équation de la tangente $\Delta\text{ à }\mathbb{C}\text{ en }M_{0}.$
c) étudier la position de $\mathbb{C}$ par rapport à $\Delta.$
$1)\ f\ :\ x\mapsto 3x^{2}-5x+1\ x_{0}=2\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{4}\ x_{0}=1$
$3)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}+2\ x_{0}=1\quad 4)\ f\ :\ x\dfrac{x+2}{7-x}\ x_{0}=5$
Exercice 2
Étudier la dérivabilité en 0 des fonctions suivantes :
$1)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+x}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{3}+x^{2}}\quad 3\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{5}+x^{4}}$
$4)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\text{ pour }x\neq 0\text{ et }f(0)=0$
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, calculer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point $a$ (ou les nombres dérivés à gauche et à droite).
1) $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x-4}\ a=4\quad 2)\ f(x)=(x-3)\sqrt{x^{2}-3x-4}\ a=4$
3) $f(x)=\dfrac{x^{2}-1-|x+1|}{x^{2}+x+2}\ a=-1$
$$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-3x}{4x-2} & \text{ si }x & \leq & 1 \\ \\ f(x) &=& \dfrac{13x-\sqrt{100x+300}}{7} & \text{ si }x & \geq & 1 \end{array}\right.$$
Exercice 4
Soient $a\text{ et }b$ deux paramètres réels.
On définit la fonction f par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llll} ax+b & \text{ si } & \leq & 3 \\ \\ \sqrt{2x+3}-3 & \text{ si }x & > & 3 \end{array}\right.$$
Déterminer $a\text{ et }b$ pour que f soit continue et dérivable en $x_{0}=3$
Exercice 5
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x+2)=f(x)$ pour tout $x$ réel et $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx$
pour tout $x\in\;[-1\;;\ 1[\ (a\text{ et }b \text{ réels})$
1) Calculer $f(1).$
A quelle condition $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
2) On suppose la condition du 1) réalisée.
Déterminer $a\text{ et }b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$
Exercice 6
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes au point d'abscisse $x_{0}.$
$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+5x-2\;,\ x_{0}=1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x\cos x\;,\ x_{0}=\pi$
$3)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}-1}\;,\ x_{0}=1\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+3}{x+1}\;,\ x_{0}=2$
$5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\;,\ x_{0}=2$
$6)\ f\ :\ x\mapsto x\sqrt{x-1}\;,\ x_{0}=2\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{|2x-3|}{x+5}\;,\ x_{0}=1$
Exercice 7
Dans chacun des cas suivants, déterminer la tangente ou les demi-tangentes à la courbe $\mathbb{C}\text{ de }f$ au point d'abscisse (-1).
$1)\ f(x)=\sqrt{1-x+x^{2}-x^{3}}\quad 2)\ f(x)=\sqrt{1+x+x^{2}+x^{3}}$
$ 3)\ f(x)=\dfrac{3x-7|x+1|}{x^{2}+2x}$
4) $$\left\lbrace\begin{array}{llllll} \text{ si }x & \leq & -1\;, & f(x) &=& \dfrac{\sin\pi x}{x}\\ \\ \text{ si }x & > & -1\;, & f(x) &=& \dfrac{1+\cos\pi x}{x} \end{array}\right.$$
Exercice 8
Déterminer les tangentes à la courbe $\mathbb{C}$ de $f$ de coefficient directeur 1, s'il en existe :
$1)\ f(x)=\dfrac{x-4}{x+5}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x}\quad 3)\ f(x)=\sin^{3}x+\sin x+3\quad \sqrt{\sin2x}$
Exercice 9
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{4x^{2}+3x-1}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto (x^{4}-x^{2}+1)^{3}\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}$
$4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{2x^{2}-3x+1}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$
$7)\ f\ :\ x\mapsto\cos(x-1)^{2}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\sin(x^{3})\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\cos\left(\dfrac{3x-1}{3x+1}\right)$
$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 2x}{1+\cos x}\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\cos2x-\sin x}\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\tan^{4}$
Exercice 10
Dans chacun des cas suivants, déterminer les ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité et la dérivée de $f.$
Résoudre l'équation $f(x)=0.$
$1)\ f(x)=\sqrt{x^{4}-14x^{2}+24x-8}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-2|x^{2}-x-20|}{x^{2}-2|x^{2}-16|}$
$3)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{\sin x}{1-\sin x}}\quad 4)\ f(x)=\sqrt{\sin x-\tan x}$
Exercice 11
Pour chacune des fonctions suivantes, dresser le tableau de variation et préciser les extremums.
$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{4}-2x^{3}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x-1\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}}{x^{3}-1}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x^{2}-4}$
$5)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\quad 7)\ f\ :\ \mapsto\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$8\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{x^{2}-3x+1}{x^{2}+x-1}}\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{4-\cos^{2}x}{1-\sin x}\quad 10)\ f\ :\ x\mapsto\sin x\cos^{3}x$
$11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}-|x+3|}{2x^{2}-|x^{2}-9|}$
Exercice 12
Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\text{ si }\neq -1 \\ \\ f(-1) &=& \dfrac{1}{3} \end{array}\right.$$
1) Cette fonction est-elle continue pour $x=-1$ ? pour $x=0$ ?
2) Est-elle dérivable pour $x=0$ ? pour $x=-1$ ?
Exercice 13
Pour quelles valeurs réelles de $x$ la fonction dérivée de $\text{ f: }x\mapsto\cos(2\pi\cos x)$ s'annule-t-elle ?
Exercice 14
1) Démontrer que la dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire et que la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
2) Démontrer que la dérivée d'une fonction périodique est une fonction périodique de même période.
Exercice 15
En utilisant la définition de la dérivée d'une fonction, calculer limite, quand $x$ est arbitrairement voisin de $a$, de la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\dfrac{\tan x-\sin x+\sin a-\tan a}{x-\sin x+\sin a-a}$
Exercice 16
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}.$
1) Déterminer la limite éventuelle en $x_{0}$ de la fonction :
$x\mapsto\dfrac{xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}.$
2) En déduire les limites suivantes :
$\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{x^{3}a-a^{3}x}{x-a}\text{ et }\lim_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\cos x}{x-\dfrac{\pi}{3}}$
Dérivées successives
Exercice 17
Déterminer les fonctions dérivées jusqu'à l'ordre 5 des fonctions suivantes :
$1)\ f\ :\ x\mapsto(3x+1)^{5}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\cos(3x+1)\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{3x+1}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{3x+1}$
Exercice 18
Soit la fonction $f$ définie par $f\ :\ x\mapsto x\sin x+\cos x.$
Trouver une relation algébrique liant $x\;,\ f\;,\ f'\text{ et }f''.$
Exercice 19
Soit la fonction $f$ définie par $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}.$
1) Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation :
$2f'(x)\sqrt{1+x^{2}}=f(x).$
2) En déduire que la dérivée seconde vérifie la relation :
$$4f''(x)(1+x^{2})+4x f'(x)-f(x)=0.$$
Exercice 20
On pose :
$f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}$
1) Calculer $f'(x)\text{ et }f''(x).$
2) Étudier le signe de $f''(x).$
En déduire le sens de variation de $f'.$
3) Calculer $f'(0).$
En déduire le signe de $f'(x).$
4) En déduire le sens de variation de $f$, puis le signe de $f(x).$
5) On pose :
$g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{4}}{24}.$
S'inspirer de ce qui précède pour étudier le signe de $g'(x)$, puis celui de $g(x).$
6) Utiliser ce qui précède pour encadrer $\cos x$ par des fonctions paires.
7) Déduire du 6) la limite en 0 de $\dfrac{\cos x-1}{x^{2}}.$
Dérivée de la réciproque d'une bijection
Exercice 21
1) La fonction sinus admet une fonction réciproque, notée $\text{Arc}\sin$, définie sur l'intervalle
$\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
Déterminer la fonction dérivée de cette fonction réciproque.
2) Même question pour la fonction cosinus et l'intervalle $[0\;;\ \pi].$
3) Même question pour la fonction tangente et l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
Exercice 22
Soit f la fonction définie sur $\left[\dfrac{\pi}{3}\;;\ \pi\right]$ par :
$f(x)=2\cos x-\cos 2x.$
1) Montrer que f admet une fonction réciproque, $g$, dont on précisera l'ensemble de définition et les propriétés.
2) Calculer les valeurs de $g$ et de sa fonction dérivée, pour les valeurs $-\sqrt{2}\;,\ -\dfrac{1}{2}\;,\text{et }+1$ de la variable.
Exercice 23
Soit f la fonction définie par :
$f(x)=2x^{2}+2x-3\text{ et }\mathbb{C}$ sa représentation graphique.
1) Étudier $f$ et en faire la représentation graphique.
2) On désigne par $g$ la restriction de $f$ à $\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[.$
Montrer que $g$ est une bijection de $\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty\right[\text{ vers }\left[-\dfrac{7}{2}\;,\ +\infty\right[.$
3) Soit $g^{-1}$ la bijection réciproque et $\mathbb{C}^{-1}$ sa représentation graphique.
a) Tracer $\mathbb{C}^{-1}$ sans déterminer $\mathbb{C}^{-1}.$
b) Déterminer une équation de la tangente à $\mathbb{C}^{-1}$ au point $A$ d'abscisse 9.
c) Déterminer $g^{-1}$ en donnant l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image d'un élément $x.$
d) Déterminer $(g^{-1})'$ et retrouver une équation de la tangente à $\mathbb{C}^{-1}$ au point d'abscisse 9.
Exercice 24
Soit $f$ l'application de $[0\;;\ 2]\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :
$f(y)=y^{2}+2y-3.$
1) Montrer que $f$ définit une bijection de $[0\;;\ 2]\text{ vers }[-3\;;\ 5]$ et préciser l'application réciproque de cette bijection ; on la notera $\varphi.$
2) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $[-3\;;\ 5]$ et déterminer sa fonction dérivée.
Exercice 25
On considère l'application $f$ :
$]0\;;\ 2[\rightarrow \mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}(x-1)\right).$
1) Montrer que $f$ est une bijection de $]0\;,\ 2[$ sur un intervalle que l'on précisera.
2) Soit $h$ la bijection réciproque de $f.$
Montrer que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que l'on a :
$$h'(x)=\dfrac{2}{\pi(x^{2}+1)}$$
3) Pour tout $x$ non nul, on pose :
$\varphi(x)=h(x)+h\left(\dfrac{1}{x}\right).$
Calculer $\varphi'(x)$ et en déduire que $\varphi$ est constante sur chacun des intervalles $]-\infty\;;\ 0[\text{ et }]0\;;\ +\infty[.$Déterminer chacune de ces constantes.
Exercice 26
Soit $f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x\text{ et }g$ la restriction de $f\text{ à }[0\;;\ 2].$
1) Montrer que $g$ définit une bijection de $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle $J$ à préciser.
2) Déterminer l'ensemble sur lequel la bijection réciproque $g^{-1}$ est dérivable et démontrer que sa dérivée est la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}.$
Exercice 27
Soit $f$ l'application définie sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\cos x}.$
1) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition.
2) Déterminer l'ensemble sur lequel $f^{-1}$ est dérivable et déterminer sa dérivée.
Pourquoi $f^{-1}$ n'est-elle pas dérivable à droite en 1 ?
Inégalité des accroissements finis
Exercice 28
En appliquant l'inégalité des accroissements finis sur $[0\;,\ x]\text{ avec }x\in\;\left[0\;,\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ donner un encadrement de la fonction sinus par deux fonctions affines.
En déduire une majoration de l'erreur commise en posant $\sin x=x\text{ pour }0\leq x\leq\dfrac{\pi}{18}.$
Exercice 29
En utilisant l'inégalité des accroissements finis, encadrer les réels suivants :
$1)\ \dfrac{1}{\sqrt{10003}}\quad 2)\ \dfrac{1}{9975}\quad 2)\ \cos 44^{\circ}\quad 4)\sin 33^{\circ}$
$5)\ \cos 1.02\quad 6)\ \sin 0.8\quad 7)\ \sin 31^{\circ}30'\quad 8)\ \cos 43^{\circ}30'$
Exercice 30
Montrer, en appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ sur l'intervalle $[a\;;\ a+1]$ que pour tout réel strictement positif $a$, on a :
$$\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}\leq\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$$
En déduire un encadrement de $\sqrt{10001}.$
Exercice 31
Soit $f\text{ et }g$ deux fonctions dérivable sur un intervalle $[a\;,\ b].$
1) Montrer que si pour tout $x\text{ de }[a\;,\ b]\;,\ f'(x)\leq g'(x)$ alors pour tout $x\text{ de }[a\;,\ b]$ :
$$f(x)-f(a)\leq g(x)-g(a).$$
2) En déduire que pour tout $x\text{ de }\mathbb{R}_{+}\ :\ -x< \sin x<x\text{ et }1\dfrac{x^{2}}{2}\leq \cos x\leq 1.$
3) Réitérer le procédé pour avoir un encadrement plus précis.
Exercice 32
1) Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=2x^{3}+3x^{2}+1.$
Montrer qu'il existe un réel unique $a$ tel que $g(a)=0\text{ et que }a\in\;[-1.68\;;\ 1.67].$
Déterminer le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$
2) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus {-1}\text{ par }f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x+1}.$
a) Étudier les variations de $f.$
b) Montrer que, si $x\in\;[-1.68\;;\ -1.67]$ : $|f'(x)|\leq 0.116.$
c) Montrer que $|f(a)-f(-1.67)|\leq 0.00116.$
En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $f(a).$
Problèmes d'optimisation
Exercice 33
Dans chacun des angles d'un carré de coté $a$ on découpe un carré de coté $x$ et on construit ainsi une boite de forme parallélépipédique.
Déterminer $x$ pour que le volume de cette boite soit maximal.
Exercice 34
Soit un triangle $SAB\;(SA=SB)$ et son cercle inscrit de rayon $R$ et de centre $O.$
On pose $OS=x.$
1) Calculer $AB$ en fonction de $x\text{ et }R.$
2) On considère le cone de révolution de sommet $S$, d'axe $(OS)$ et dont la base est le cercle de diamètre $[AB]$ situé dans le plan perpendiculaire à $(OS).$
Calculer le volume de ce cone en fonction de $x\text{ et }R.$
3) $R$ étant donné, le volume du cone est fonction de $x.$
Déterminer $x$ pour que ce volume soit minimal.
Exercice 35
Soit un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires de ce cercle.
Un point $M$ variable du cercle se projette en $H\text{ et }K$ sur ces deux diamètres.
On pose $OH=x.$
Calculer, en fonction de $x\text{ et }R$, le périmètre du rectangle $OHMK.$
Déterminer $x$ pour que ce périmètre soit maximal.
Exercice 36
On veut réaliser une boîte cylindrique avec couvercle de contenance donnée et de surface minimale.
Montrer que sa hauteur est égale à son diamètre.
Exercice 37
Pour la fabrication d'un livre, on doit respecter sur chaque page des marges de $2\;cm$ à droite et à gauche, de $3\;cm$ en haut et en bas.
Soit $x\text{ et }y$ les deux dimensions d'une page.
On désire que l'aire de la partie disponible pour l'impression soit de $600\;cm^{2}.$
1) Déterminer $y$ en fonction de $x.$
Calculer l'aire totale de la page.
2) Déterminer $x\text{ et }y$ pour que la consommation de papier soit minimale.
Exercice 38
Un commerçant vend, chaque jour, 30 articles sur chacun desquels il fait un bénéfice de 2000 F.
Toute baisse de 200 F sur chacun des articles provoque 5 ventes supplémentaires.
Quel bénéfice doit-il faire à l'unité pour avoir un profit maximal ?
Primitives
Exercice 39
Déterminer les primitives, en précisant sur quel(s) intervalle(s) elles sont définies, des fonctions suivantes :
$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-2x+1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto \sin 2x-2\cos 2x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}$
$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{4x+3}{(2x^{2}+3x+1)^{3}}\quad 6)\text{ f: }x\mapsto\dfrac{1-x}{(x^{2}-2x+3)^{2}}$
$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2X+3}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto \sin x \cos x^{3}x$
$10)\ f\ :\ x\mapsto \sin 3x\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\cos^{2}x}\quad 13)\ f\ :\ x\mapsto\left(\dfrac{x}{x^{4}+1}\right)^{3}$
$14)\ f\ :\ x\mapsto x\cos x^{2}\quad 15)\ f\ :\ x\mapsto 2x(x^{2}-1)^{5}\quad 16)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
$17)\ f\ :\ x\mapsto\tan^{2}x\quad 18)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}\sin\dfrac{1}{x}\quad 19)\ f\ :\ x\mapsto\tan x+\tan^{3}x$
$20)\ f\ :\ x\mapsto 1+\dfrac{1}{\tan^{2}x}\quad 21)\ f\ :\ x\mapsto\cos^{3}x$
Exercice 40
Condition initiale
Déterminer la primitive $F$ vérifiant $F(x_{0})=y_{0}$ pour chacune des fonctions $f$ définies par :
1) $f(x)=(2x-1)^{3}\text{ et }F(0)=0\quad 2)\ f(x)=(2x-1)(x^{2}-x+1)^{4}\text{ et }F(1)=1.$
3) $f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}-1)^{2}}\text{ et }F(2)=0\quad 4)\ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4x+8}}\text{ et }F(2)=4$
5) $f(x)=3 \sin\dfrac{x}{2}-2 \cos\dfrac{x}{2}\text{ et }F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\quad 6)\ f(x)=x+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\text{ et }F(1)=1$
Exercice 41
Soit la fonction $f$ définie par :
$f(x)= \sin x+x \cos x.$
En posant $u(x)= \sin x\text{ et }v(x)= \cos x$, montrer que $f(x)$ se met sous l'une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours.
En déduire une primitive de $f\text{ sur }\mathbb{R}.$
2) Soit $g(x)=\dfrac{1}{\sin^{2}x}.$
On pose :
$u(x)=\ cos x\text{ et }v(x)= \sin x.$
Montrer que $g(x)$ se met sous l'une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours.
En déduire une primitive de $g\text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
3) S'inspirer de ce qui précède pour déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l'on précisera.
$\text{ h: }x\mapsto\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}\quad \text{ k: }x\mapsto\tan x+\dfrac{x}{\cos^{2}x}\quad \text{ m: }x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}+\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$
Exercice 42
On considère la fonction f telle que :
$f(x)=a \cos x+b \cos^{3} x.$
1) Calculer $f'(x)\text{ et }f''(x).$
2) Comparer $f(x)\text{ et }f''(x).$
3) En déduire les primitives de f.
Exercice 43
La forme $u'\sqrt{u}$
1) Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I.$
Montrer que la fonction $\dfrac{2}{3}u\sqrt{u}$ est une primitive sur $I$ de la fonction $u'\sqrt{u}.$
2) Application :
Déterminer dans chacun des cas suivants une primitive de $f\text{ sur }I.$
a) $f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}\ I=\mathbb{R}\qquad \text{b) }f(x)=x\sqrt{1-x^{2}}\ I=]-1\;;\ 1[.$
Exercice 44
Une primitive de $x^{n}\sqrt{x}$
On considère la fonction $f_{n}$ :
$x\mapsto x^{n}\sqrt{x}\;,\text{ pour }n\text{ entier }n\geq 1.$
1) Montrer que $f_{n}$ est dérivable sur $]0\;;\ +\infty[$, et calculer $f_{n}'(x).$
2) En déduire une primitive sur $]0\;;\ +\infty[\text{ de }x\mapsto x^{n}\sqrt{x}\;,\text{ pour }n\geq 0.$
3) Application Déterminer une primitive sur $]0\;;\ +\infty[$ des fonctions :
$$x\mapsto\sqrt{x}\;,\ x\mapsto x\sqrt{x}\;,\ x\mapsto x^{2}\sqrt{x}$$
Exercice 45
1) Déterminer une primitive sur $[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}]$ de la fonction :
$x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{2}x}.$
2) On considère la fonction $G$, définie sur $[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}]$ par :
$G(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}.$
Montrer que $G$ est dérivable sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et que :
$G'(x)=\dfrac{3}{\cos^{4}x}-\dfrac{2}{\cos^{2}x}.$
3) En déduire une primitive sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$, de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{4}x}.$
Exercice 46
Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F\text{ de }f\text{ sur }I$ après avoir effectuée la
transformation d'écriture indiquée.
$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\ I=]1\;;\ +\infty[$
Indication :
Mettre $f(x)\text{ sous la forme }a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}$
2) $f(x)=\dfrac{3x^{2}+12x-1}{(x-1)^{2}}\;,\ I=]-2\;;\ +\infty[$
Indication :
Mettre $f(x)\text{ sous la forme }a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}.$
3) $f(x)=\dfrac{2x^{3}+13x^{2}+24x+2}{(x+3)^{2}}\;,\ I=]-3\;;\ +\infty[$
Indication :
Mettre $f(x)\text{ sous la forme }ax+b+\dfrac{c}{(x+3)^{2}}.$
4) $f(x)=\dfrac{x(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}\;,\ I=]-1\;;\ 1[$
Indication :
Mettre $f(x)\text{ sous la forme }\dfrac{a}{(x-1)^{3}}+\dfrac{b}{(x+1)^{3}}.$
Exercice 47
On se propose de calculer une primitive sur $I\text{ de }f$, définie par :
$f(x)=x^{2}(x-1)^{2005}$
1) Montrer qu'il existe trois réels $a\;,\ b\;,\ c$ tels que :
$x^{2}=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c.$
2) En déduire une primitive de $f.$
Exercice 48
Soient $f\;,\ g\text{ et }h$ les fonctions définies par :
$f(x)=x^{2} \cos x\;;\ g(x)=x^{2} \sin x\;;\ h(x)=-2x \cos x.$
1) On pose $U=g-h.$
Calculer les dérivées de $g\;,\ h\;,\ U.$
2) En déduire une primitive $F\text{ de }f\text{ sur }\mathbb{R}.$
Exercice 49
Les fonctions $F\text{ et }G$ suivantes sont-elles des primitives de la même fonction sur l'intervalle
$I=]1\;;\ +\infty[$ ?
$F(x)=\dfrac{5x^{2}-7x+9}{3x-1}\qquad G(x)=\dfrac{5x^{2}-16x+12}{3x-1}$
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