Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - TL
Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1. $\ln(3-2x)+\ln(1-x)=\ln 2+\ln 3$
2. $\ln(x+3)+\ln(x+5)=\ln 15$
3. $\ln(x+4)+\ln(x+3)=\ln(2x+18)$
4. $\ln(x+2)=\ln(-x+11)-\ln(x+3)$
5. $2\ln(3x-1)+\ln(5x+2)=\ln 2$
6. $\ln(3-x)+\ln 2-\ln(2x+1)=0$
7. $\ln(x-1)+\ln(3x+4)-2\ln\sqrt{6}=0$
8. $\lnx+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)$
Exercice 2
a. $\ln(2x+6)+\ln(3x-5)\leq\ln 10$
b. $\ln(2x-5)+\ln(x+1)\leq 2\ln 2$
c. $\ln(x+5)+\ln(x+4)\leq\ln(x+13)$
d. $\ln(x+1)>\ln(4x-1)-\ln(x-1)$
e. $\ln(3x^{2}-x)\leq\ln x+\ln 2$
f. $2\ln(1-x)-\ln(x+5)\leq 0$
g. $\ln(3-x)+\ln 24<\ln(x+1)+\ln(25x-49)$
h. $\ln x+\ln(2-x)+\ln(x+4)\geq\ln 5$
Exercice 3
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(\ln x)^{2}+2\ln x-3=0.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $[\ln(2-x)]^{2}+2\ln(2-x)-3=0$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(\ln x)^{2}+2\ln x-3\leq 0$
Exercice 4
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ou inéquations suivantes :
a. $3(\ln x)^{2}-2\ln x-1=0$
b. $[\ln(x+1)]^{2}-\ln(x-1)-2=0$
c. $(\ln x)^{2}+\dfrac{5}{2}\ln x-\dfrac{3}{2}=0$
d. $2[\ln(2x)]^{2}-6\ln(2x)+3\leq 0$
e. $(\ln x)^{2}+\ln x-6\geq 0$
f. $\ln x-\dfrac{1}{\ln x}>\dfrac{3}{2}$
Exercice 5
1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$ le polynôme $(x)=(x^{2}-4)(4x^{2}-1)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4=0.$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4\leq 0$
Exercice 6
1. S&oit $P(x)=2x^{3}-7x^{2}+2x+3$
Calculer $P(1)$ puis factoriser $P(x)$ en un produit de facteurs du $1^{er}$ degré.
2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction:
$f : x-\longrightarrow\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. l'équation $2(\lnx)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3=0$
b. L'inéquation $2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3\leq 0$
Exercice 7
1. Soit $P(X)P(x)=2x^{2}-x^{2}13x-6.$
a. Calculer $P(-2.)$
En déduire que $(X)$ peut s'écrire sous la forme
$P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels à déterminer.
b. Résoudre l'équation $P(x)=0.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $\2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6=0.$
b. $\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x+1)=2\ln 3.$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes
a. $2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6<0$
b. $2\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x-+1)\geq\2ln 3$
Exercice 8
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes suivantes :
$$a\left\rbrace\begin{array}{lcl} \ln x&-4\ln y&=6\\ \ln\left(x^{2}\right)&+\ln y&=7\\ \end{array}\right.$$
$$b\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln\left(xy^{2}\right)&=&1\\ \ln\dfrac{x}{y}&=&4 \end{array}\right.$$
$$c\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&+y=\dfrac{3}{2}\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln\left(y^{2}\right)&=-\ln 4 \end{array}\right.$$
$$\text{d }\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2x&+y&=5\\ \ln(-x)&+\ln\left(y^{2}\right)&=\ln 3\\ \end{array}$$
$$\text{e }\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\ln(x+7)&-\ln(y+4)&=\\ln 2 -5\ln(x+7)&+3\ln(y+4)&=\ln 4 \end{array}$$
$$\text{e }\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln(x-2)&+3\ln(y-1)&=9\\ 2\ln(x-2)&-\ln(y-1)&=4 \end{array}$$
Exercice 9
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes de ce domaine et les asymptotes de la courbes représentative :
1. $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$ ;
2. $f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$ ;
3. $f(x)=x-\ln x$ ;
4. $f(x)=x-2-\ln x$ ;
5. $f(x)=\ln(\dfrac{2-x}{2+x})$ ;
6. $f(x)=\ln(\dfrac{2x+2}{x-3}$ ;
7. $f(x)=\ln(x+4)-\ln(5-x)$ ;
8. $f(x)=2x+\ln(\dfrac{x-1}{x+1})$
(N.B : pour la fonction 8), on montrera que la droite d'équation $y=2x$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ et en $-\infty$
Exercice 10
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $-2+\ln x=0$ puis l'inéquation $-2+\ln x>0$
2. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{3-3\ln x}{x}$ et $\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan
$\left(O\;,\ \vec{i}\;, \vec{j}\right)$
Unité graphique : $1\,cm$
a. Déterminer $D_{f}$ puis les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble.
b. Pour tout $x$ de $D_{f}$, calculer $f^{'}(x)$ puis, en utilisant les résultats de la question n° 1
$-\ $étudier les variations de $f$ et donner sont tableau de variations.
c. Déterminer les cordonnées du point $A$ intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
avec l'axe des abscisses.
d. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point $A.$
e. Calculer, à $10^{-2}$ près. $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(6)$
f. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ \vec{j}\right)$
On donne $\mathrm{e}\approx 2.72$ ;
$\mathrm{e}^{2}\approx 7.39$ ;
$\ln 2\approx 0.69$ ;
$\ln 3\approx 1.09$
Exercice 11
Étudier et représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x)=\ln(\dfrac{2-x}{3+x})$
N.B :
on montera que $I\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 0\right)$ est un centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. $f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
N.B :
on montrera que $f$ est impaire.
3. $f(x)=\dfrac{1}{4x}+\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$
N.B
On montrera que $f$ est impaire rt que la droite d'équation $y=\dfrac{1}{4x}$ est une asymptote oblique de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.
4. $f(x)=-x+\ln(x-1)-\ln x$
N.B :
On montrera que $D\ :\ y=-x$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$
5. $(x)=-\dfrac{3}{4}x+\ln\left(\dfrac{3x-6}{x+1}\right)$
6. $f(x)=x\ln x$
7. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
Exercice 12
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
1 Déterminer $D_{f}$
2. Montrer que $f$ est impaire.
Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$?
3.On pose $\vec{u}(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ et $v(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
Calculer $\vec{u}^{'}$ et $v^{'}(x).$
En déduire $f^{'}(x)$ et donner le tableau de variations de $f.$
4.a. Déterminer les asymptotes verticales de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et montrer que la droite $D :y=x$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ et $-\infty$
b. Préciser la position relative de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $(D).$
5. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
Exercice 13
Soit $f(x)=\ln\left[\dfrac{3(x+2)}{x-2}\right]$
1. Déterminer $D_{f}$ ; les limites aux bornes de $D_{f}$ ; les asymptotes de $\left(\mathcal{C}\right)$
2.Montrer que $I(0\,;\ 3)$ est un centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}\right)$
3. Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations.
4. Montrer que $\left(\mathcal{C}\right)$ rencontre l'axe des abscisses en un pont $A$ dont on donnera les coordonnées.
5. Donner l'équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $A.$
6.0 $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre-telle l'axe des ordonnées ? justifier la réponse.
7. Construire dans le repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, les asymptotes, les points $I$ et $A$, la tangente en $A$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ (Déjà proposé au BAC)
Exercice 14
Soit $f(x)=\ln(x^{2}-5x+6)$ et $\left(\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
1. Préciser $D_{f}.$
Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$ et préciser les asymptotes de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. Résoudre l'équation $f(x)=0.$
Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?
3. Calculer $\f^{'}$ puis donner le tableau de variation de $f$
4. Calculer $f(0)$, $f(-1)$, $f(6)$ et $-\dfrac{5}{2}$
On donnera pour chacun des réels une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
5. Déterminer une équation $d$ la tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $-1$
6. Déterminer que la droite $D$ d'équation $x=\dfrac{5}{2}$ est axe de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
7. Construire $(T)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
Unité : $1\,cm$
Exercice 15
Soit $f(x)=(\ln x-2)\ln x$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
unité $1\,cm$
1. Déterminer $D_{f}$ et les limites aux bores de $D_{f}$
2. Calculer $f^{'}(x)$ et étudier le sens de variations de $f.$
3. $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $B.$
Déterminer leurs abscisses.
4. Déterminer les équations de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $A$ et $B$
5. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 16
soit $f(x)=x-2+\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$
1. Déterminer $D_{f}$ et les limites de $f$ aux bornes des intervalles de $D_{f}$
2. On pose $u(x)=\dfrac{x-2}{x+2}$ et $v(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$
Calculer
$u'(x)$
$v'(x)$
$f'(x)$
pour $x\in D_{f}$
3.Donner le tableau de variation de $f$
4. Montrer $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote à $(\mathcal{C}_{f})$ en $+\infty$ et en $-\infty$
5. Montrer que $\Omega\begin{pmatrix}0\\-2 \end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
6. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
unité =$1\,cm$
On donne $\ln 2\approx 0.7$
$\ln 3\approx 1.1$
$\ln 5\approx 1.6$
Exercice 17
Soit $f(x)=\ln\left(\dfrac{4+x}{2-x}\right)$
1. Déterminer $D_{f}$
2. Étudier les limites de faux bornes de $D_{f}$ et donner les équations des asymptotes de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}$
3.a. Montrer que $f$ est dérivable sur son domaine de définition.
b. Calculer $f'(x)$, pour $x\in\;D_{f}$ et donner le tableau de variation de $f$
4. Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}$
avec l'axe des abscisses.
5. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au $I$
6. Montrer que $I$ est centre de symétrie de la courbe $(CF).$
7. Construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère.
Exercice 18 Bac 2007 2ème groupe
le pans est muni d'un repère orthogonal $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, unités graphiques : $1\,cm$ en abscisse, $2\,cm$ en ordonnée.
On considère une fonction $F$ dont le tableau de variations est le suivant :
On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe de $f$
1. Préciser l'ensemble de définition $E_{f}$ de $f.$
justifier que $\left(\mathcal{ C}_{f}\right)$ admet deux asymptotes que l'on précisera
2. On donne : $f(\mathrm{e})=-\ln 3$
$f(3)=-\ln 2$ ;
$\ln 2\approx 0.7$ et $\ln 3\approx 1.1$
Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3. On admet que la fonction $F$ définie par : $F(x)=(x-1)\ln(x-1)-(x+1)\ln(x+1)$ est une primitive de $f$ sur $E_{f}.$
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$
Exercice 19
partie A
1. Étudier le signe de $\dfrac{x-1}{x}$ pour $x\in]10\;,\ +\infty[$
2. Donner : $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ ; en déduire $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}-\\dfrac{\ln x}{x}\right)$
3. Calculer la dérivée du produit $x.\ln x$ pour $x\in]0\,;\ +\infty[.$
4. Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sue $]0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x_{2}+2x-x\ln x.$
Partie B
Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=x+1-\ln x$
1. Déterminer le domaine de définition $D_{g}$ de $g.$
2. Déterminer les limites de $g$ aux bornes de $D_{g}$
3. Calculer $g^{'}(x)$ et en déduire le tableau de $g$ (en utilisant la question A/1)
4. Calculer $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$
Partie C
1. Tracer la courbe $(\mathcal{C}_{g})$ de la fonction $g$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\ \vec{i}\,;\ \vec{j}\right)$ d'unité : $1\,cm$
2. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ les droites d'équations $y=0\;,\ x=1$ et $x=4$
Exercice
Soit l fonction définie par $G(x)=2x+\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)$
1.a Déterminer $\mathcal{D}_{G}$ ensemble de définition de $G$
b. Calculer $G^{'}(x)$ pour tout $x\in]1\,;\ +\infty[.$
2. On pose $g(x)=2+\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{1}{x-1}$ pour tout $\in]1\,;\ +\infty$
Montrer $(x)=2-\dfrac{4}{(3x+1)(x-1)}$ pour tout $x\in]1\;,\ +\infty[$
3. Calculer : $$I+\int_{2}^{3}g(x)\mathrm{d}{x}.$$
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