Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - Ts
Classe:
Terminale
Simplification d'écriture
Exercice 1
1) Simplifier ln(n7)−12ln√n+ln(2n) pour n∈N∗.
2) Montrer que ln(5000)3=12ln5+9ln2.
3) Simplifier l'expression suivante après avoir déterminé pour quelles valeurs elle est définie :
lnx+5x+3−ln(x+5)+ln(x+3).
4) Montrer que, pour tout x>0 :
ln(2ex)ln2=1+1−lnxln2
5) Simplifier lne4+ln1e4+ln√e−ln1√e
6) Calculer y sachant que :
lny=ln(7+5√2)+8ln(√2+1)+7ln(√2−1)
7) Démontrer l'égalité :
716ln(3+2√2)−4ln[√2+1)=258ln(√2−1).
Équations et Inéquations
Exercice 2
Résoudre dans R :
1) lnx=−42) ln(x+2)+ln(x−2)=ln(2x+11)
3) ln(x+4)+lnx=04) ln(2x+1)−ln(x+2)=ln(2−x)
5) 2lnx=ln(2x−1)6) 2lnx=ln2.
7) ln(x2−4)=ln(2x+11)8) lnx(x+4)=0
9) lnx+lnx2=ln810) 2lnx=ln(−2x−11)
11) ln|x−3|ln|2x+1|=ln|2x+1|ln|x−3|12) ln(x2+2x−3)−2ln(x−1)=2
13) ln(x+3)+ln(x+2)=ln(x+11)14) ln(x2+5x+6)=ln(x+11)
15) ln(−x−2)=(−x−11x+3)16) ln(x+2)=ln(−x−11)ln(x+3)
17) ln2x+lnx−6=018) 2ln2−3lnx−2=0
19) ln2x−3lnx=020) ln3x−2ln2x−lnx+2=0
21) ln[ln(x−1)(x2−x−1)]=ln[ln(8x+1)]22) ln4x−34ln2x+225=0.
Exercice 3
Résoudre dans R :
1) lnx<−22) 2lnx≤ln33) lnx2≤ln3
4) ln(x+3)+ln(x−4)<2ln(x−1)5) ln[(x+3)(x−4)]<ln(x−1)2
6) 1+ln(x+3)>ln(x2+2x−3)7) ln(ln(x2+1)>0
8) ln(3x+1x+2)<09) ln2x+lnx−2>010) ln2x−3lnx≤0.
Calculs de limites
Exercice 4
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition :
1) f : x↦x−lnx2) f : x↦(lnx)2−x3) f : x↦lnx+1lnx−1
4) f : x↦ln(x+1)−ln(x−1)5) f : x↦1+lnx(lnx)
6) f : x↦(1−x)2−lnx7) f : x↦ln√x−x
8) f : x↦ln√x+1−x9) f : x↦ln[2x+1)lnx
10) f : x↦ln(x+1)x11) f : x↦ln(x+1)x2
12) f : x↦ln(x+1)2−x13) f : xln(x2+1)x
14) f : x↦ln(x2−x−2)15) f : x↦x2−1xlnx
16) f : x↦ln(3x+1x−1)17) f : x↦2xlnx−x2
18) f : x↦1x−1+ln(x−1)19) f : x↦ln|1−x|
20) f : x↦2lnx+12x21) f : x↦ln(x+1x)
22) f : x↦(x+1)ln(xx+1)23) f : x↦(x−2)ln(x+1x2−4x+4)
24) f : x↦ln(x2−4xx2−4x+3)
Exercice 5
a) Déterminer, lorsque x tend vers zéro, la limite de f(x) dans chacun des cas suivants :
1) f(x)=ln(1+2x)x2) f(x)=ln(1+sinxx
3) f(x)=x+2xln(1+xx+2)
b) Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués :
1) f(x)=ln(tanx)sinx−cosx; x0=π42) f(x)=ln(1+cosxcosx; x0=π2
3) f(x)=ln(1+sinxsinx; x0=04) f(x)=x+1x+lnx−ln(x+1); x0=0, puis x0=+∞
5) f(x)=x2√|lnx|x−1; x0=16) f(x)=lnx−1x−e; x0=e
7) f(x)=sinxlnx; x0=08) f : x↦xln(x+1x); x0=+∞
9) f : x↦xx−2ln(x−1); x0=2
Dérivées
Exercice 6
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminé l'ensemble de dérivabilité.
1) f : x↦x2lnx2) f : x↦ln(2x−3x−1)
3) f : x↦ln[(2x+1)(x−3)]4) f : x↦√1−lnx
5) f : x↦ln√2x−16) f : x↦ln|3x−1x+1|
7) f : x↦ln|lnx|8) f : x↦ln(x+√x2+1)
9) f : x↦ln(x+√x2−1)
Primitives
Exercice 7
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
1) f : x↦23−x sur ]3; +∞[2) f : x↦2x+1x2+x+1 sur ]−∞; +∞[
3) f : x↦1xlnx sur ]1; +∞[, puis sur ]0; 1[
4) f : x↦tanx sur ]−2; 0[5) f : x↦x−1x2−2x+3 sur R
6) f : x↦12x+1 sur ]−∞; −12[7) f : x↦2lnxx sur ]0; +∞[
8) f : x2x2+x−1x2 sur ]0; +∞[9) f : xsinx+cosxsinx−cosx sur [0; π4[
10) f : x↦1+tan2xtanx sur ]0; π2[11) f : x↦1(x+1)[ln(x+1)]2 sur ]0; +∞[
12) f : x↦2x1−x2+ln(1+x1−x) sur ]−1; 1[
13) f : x↦1+lnx sur ]0; +∞[.
(Indication : écrire 1=x×1x).
En déduire les primitives de ln sur ]0; +∞[.
14) f : x↦13x+1x(x+1) (on mettra d'abord f(x) sous la forme ax+bx+1 avec a et b réels)
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, déterminer les nombres réels α et β annulant le polynôme dénominateur.
Déterminer des réels a, b et c tels que, pour tout x élément de l'ensemble de définition de f, on ait :
f(x)=a+bx−α+cx−β.
En déduire une primitive de la fonction étudiée.
1) f(x)=x2−5x+6x2−x2) f(x)=11−x2
3) f(x)=2x2+4x−51−x24) f(x)=x+1x2−4x+3
5) f(x)=x2+x+1x2−2x−86) f(x)=x2x2+x−12
Exercice 9
Trouver les réels a et b tels que :
∀x∈[0; π4], 1cosx=acosx1−sinx+bcosx1+sinx
En déduire les primitives sur [0; π4] de la fonction f : x↦1cosx.
Exercice 10
Soit f : x↦cosxcosx+sinx et g : x↦sinxcosx+sinx.
1) Donner une primitive sur [0; π2] de chacune des fonctions h1 : x↦f+g et h2 : x↦f−g
2) En déduire une primitive sur [0; π2] de chacune des fonctions f et g.
Exercice 11
Soit f la fonction définie par f(x)=3x+1x2−x−6
1) a) Mettre f(x) sous la forme ax+2+bx−3, ∀x∈Df.
b) En déduire la primitive sur ]−2; 3[ de f qui s'annule en 2.
2) Soit f la fonction définie par f(x)=x2−2x−2x3−1
a) Trouver les réels a, b et c tels que :
∀x∈Df, f(x)=ax−1+bx+cx2+x+1
b) En déduire la primitive F de f sur ]−∞; 1[ de f telle que F(−1)=−ln2.
Étude de fonctions
Exercice 12
Étudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe représentative dans le plan rapporté à un repère (O, →i, →j).
1) f : x↦xlnx2) f : x↦ln2x3) f : x↦lnxx
4) f : x↦1(lnx)25) f : x↦xlnx6) f : x↦ln(x+1x−1)
7) f : x↦lnxx28) f : x↦ln|x+1x−1|
Exercice 13
Soit f l'application de R∗∖{−12} dans R définie par :
f(x)=x+12x+1+ln|x|.
1) Étudier les variations de la fonction f.
2) Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, →i, →j).
N.B.
(La construction de C n'est pas demandée).
Montrer que C coupe l'axe (O, →i) en trois points d'abscisses a, b et c tels que :
−1≤a≤−12 −14<b<−18; 38<c<12.
Exercice 14
Soit f la fonction définie par :
{f(x)=xln1|x| si x≠0f(0)=0
1) Montrer que f est continue au point x=0.
Étudier la dérivabilité de f en 0 2) Étudier les variations de f.
Donner une équation de la tangente en A d'abscisse 1.
Étudier la position relative de Cf et de la tangente en A.
3) Tracer Cf.
Exercice 15
Soit f : x↦lnxx−lnx
1) Étudier les variations de g : x↦x−lnx.
En déduire l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que l'on peut prolonger f par continuité à droite au point x=0.
Soit h ce prolongement. Étudier la dérivabilité de h en 0.
3) Étudier les variations de h.
4) Donner une équation de la tangente à Ch au point d'abscisse 1 et préciser la position de Ch par rapport à cette tangente.
5) Tracer Ch dans un repère orthonormé.
Exercice 16
Soit f la fonction définie par :
{f(x)=x2√|lnx| si x≠0f(0)=0
1) Montrer que f est dérivable en 0 et préciser f′(0).
2) Étudier la dérivabilité de f en 1.
3) Étudier les variations de f.
4) Construire Cf dans un repère orthonormal.
Exercice 17
Soit la fonction f définie sur I=[e; +∞[ par : f(x)=1x+lnx.
1) Étudier les variations de f sur I.
2) Quelle est la limite en +∞ de la fonction :
x↦f(x)−lnx.
Représenter sur un même graphique la fonction ln et la fonction f (pour x∈I).
Exercice 18
Étude de la fonction f : x↦x−lnx
1) Étudier les variations de cette fonction.
2) On désigne par C la représentation graphique de f dans un repère (O, →i, →j).
Déterminer l'équation de la tangente T à C au point de C d'abscisse e.
3) Démontrer que la courbe C est entièrement située au-dessus de T.
(Pour cela, on étudiera le sens de variation d'une fonction bien choisie).
4) Déduire de la question 3) la limite de f en +∞.
5) Tracer la courbe C et la droite T.
6) La courbe C admet-elle une tangente de coefficient directeur 1 ?
Exercice 19
Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie par : f(x)=ln(5−x3+x).
1) Rechercher l'ensemble de définition de f et les limites de f aux bornes de cet ensemble.
2) Étudier les variations de f.
3) On appelle C la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère (O, →i, →j) (unité de longueur : 1cm).
Rechercher le point A d'intersection de C avec l'axe (O, →i) et former une équation de la tangente T à C en ce point.
4) Démontrer que le point A est centre de symétrie de C. Construire C et T.
Exercice 20
Soit f la fonction définie par :
f(x)=x+4+ln|x−2x+2|.
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé , le centimètre étant l'unité de longueur.
1) a) Étudier les variations de f.
b) Montrer que C admet trois asymptotes, dont l'une Δ d'équation y=x+4 ; préciser la position de C par rapport à Δ.
3) Montrer que l'intersection de C et de l'axe des ordonnées est un centre de symétrie pour C.
d) Construire la courbe C;
On placera en particulier les points d'abscisses −3; −1; 0; 1; 3.
2) Soit k un nombre réel.
Étudier suivant les valeurs de k le nombre de points d'intersection de la courbe C et de la droite D d'équation y=x+k.
Montrer que lorsque D coupe C en deux points distincts, d'abscisses x′ et x″, le produit x′x″ est indépendant de k.
Exercice 21
Soit la fonction f : x↦ln(1−lnx).
1) Étudier les variations de f.Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de f, Df.
2) Montrer que f est une bijection de Df sur un ensemble I que l'on précisera.
3) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) (unité : 1cm).
Exercice 22
Soit la fonction définie par :
f(x)=(ln|x|)2x
1) Démontrer que f est une fonction impaire.
Étudier les variations de f.
Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i, →j).
2) Montrer que f définit une bijection de ]0; 1] sur un intervalle à préciser.
Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l'équation :
[ln(x)]2=m
Exercice 23
Soit C la courbe représentative dans le repère (O, →i, →j) de la fonction numérique fg définie sur R∗+ par : g(x)=x2+2lnxx.
1) On considère la fonction h : R→Rx↦x2−2lnx+2
Étudier les variations de h et préciser le signe de h(x).
(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de h.)
2) Étudier les variations de la fonction g.
Montrer que la courbe C a deux asymptotes que l'on déterminera.
Montrer que C coupe l'une de ces asymptotes en un point que l'on précisera.
Tracer la courbe C.
Problèmes
Exercice 24
Dans ce problème, on étudie la famille de fonctions fλ définies par :
fλ(x)=1+ln(1+λx) où λ est un nombre réel non nul.
(O, →i, →j) est un repère orthonormé, (Cλ) est la courbe représentative de f et D est la droite d'équation y=x.
1) Donner l'ensemble de définition de fλ.
(On distinguera les cas λ>0 et λ<0.)
2) a) Existe-t-il un lien entre les deux courbes (Cλ) et (C−λ) ?
b) Soit (Γ) la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.
Trouver, lorsque λ>0, une translation qui transforme (Γ) en (Cλ).
3) On pose φ(x)=fλ(x)−x.
a) On suppose λ<0.
Étudier les variations de φλ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition.
En déduire le nombre de points d'intersection de (Cλ) et D.
b) On suppose λ>0.
Étudier les variations de φλ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition (on pourra par exemple mettre x en facteur dans l'expression de φλ(x) pour déterminer la limite à l'infini).
Établir que la plus grande valeur prise par φλ(x) , quand x décrit le domaine de définition de φλ est m(λ)=1λ+lnλ.
c) Étudier, quand λ décrit ]0; +∞[, les variations de m ; en déduire son signe.
d) Combien, lorsque λ est positif, (Cλ) et D ont-elles de points communs ?
Exercice 25
f est la fonction numérique définie sur R+ par :
pour tout x∈R∗+ :
{f(x)=xln(x+1x)f(0)=0
(C) est sa courbe représentative
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
2) On considère la fonction g définie pour x∈[1; +∞[ par g(x)=xlnx et on appelle
(Γ) sa courbe représentative dans le même repère (O, →i, →j).
Étudier g et tracer (Γ).
3) Étudier la limite de f quand x tend vers +∞.
Montrer que les courbes (Γ) et (C) sont asymptotes et préciser leurs positions relatives.
4) Déterminer f′ et f″ , puis étudier le sens de variation de f′ et montrer que f′ est positive.
Achever l'étude de la fonction f.
Tracer la courbe (C) sur la même figure que (Γ).
Exercice 26
1) Soit f : x↦xx−1+ln|x−1|
a) Étudier f et dresser son tableau de variation.
b) Calculer f(0) ; en déduire le signe de f.
2) Soit g : x↦xln|x−1|.
a) Étudier g et tracer (Cg).
b) Soit A le point d'intersection de (Cg) avec l'axe (Ox) , d'abscisse non nulle.
Démontrer que A est un point d'inflexion de (Cg) et écrire une équation de la tangente
(T) à (Cg) en A.
3) Soit h=g|]1; +∞[ (c'est-à-dire la restriction de g à ]1; +∞[).
Démontrer que h est une bijection de ]1; +∞[ sur un intervalle à préciser et construire sur un autre graphique les courbes (Ch) et (C−1h).
Exercice 27
Soit f : x↦x+√x2+1
1) a) Déterminer Df et démontrer que :
∀x∈Df, f(x)>x+|x|.
b) En déduire le signe de f(x) sur Df.
2) Étudier f et tracer (Cf).
3) Soit g : x↦ln(x+√x2+1).
a) Résoudre l'équation : g(x)=−ln(3−2√2).
b) Démontrer que g est impaire.
c) Étudier g et tracer (Cg).
d) Démontrer que g est une bijection de R vers R et que : ∀m∈Z, g(em+e−m2)=m.
Exercice 28
Soit f : x↦1+(lnx)2x−x+2.
1) Montrer, en posant y=√x,[quelim
2) Étudier le signe de-(\ln x)^{2}+2\ln x-1 suivant les valeurs de x.
3) En utilisant les résultats précédents, étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
4) Soit (\mathcal{C}_{f}) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) (unité : 1\;cm).
a) Montrer que (\mathcal{C}_{f}) admet une asymptote oblique \mathcal{D} d'équation y=-x+2.
Préciser la position de \mathcal{D} par rapport à la courbe (\mathcal{C}).
b) Déterminer une équation de la tangente T\text{ à }(\mathcal{C}_{f}) parallèle à la droite d'équation y+x=0
c) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique \alpha comprise entre 2 et 3.
Calculer f(2.7)\text{ et }f(2.8).
En déduire que \mathrm{e} est une valeur approchée de \alpha\text{ à }10^{-1} près.
d) Construire \mathcal{D}\;,\ T\text{ puis }(\mathcal{C}_{f}).
Exercice 29
1) Soit g définie sur ]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=\ln(x+1)-\ln x+\dfrac{x}{x-1}.
a) Calculer \lim _{x\rightarrow +\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ puis }\lim _{x\rightarrow +\infty}g(x).
b) Étudier le sens de variation de g. En déduire que, pour tout x>0\;,\ g(x)>1.
2) Soit f définie sur [0\;;\ +\infty[ par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(0) &=& 0\\ f(x) &=& x[\ln(x+1)-\ln x]\text{ si }x> 0 \end{array}\right.
a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
b) Calculer f'(x)\text{ pour }x>0 ; déterminer le signe de f'(x) à l'aide du 1).
c) Déterminer \lim _{x\rightarrow +\infty}f ( on pourra écrire : f(x)=x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ et poser }x=\dfrac{1}{X}.
d) Dresser le tableau de variation de f.
3) Soit (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) (unité : 4\;cm).
a) Soit T la tangente à (\mathcal{C}) au point d'abscisse 1.
Déterminer l'intersection de la droite (O\;,\ \vec{i})\text{ avec }T.
b) Construire (\mathcal{C})\text{ et }T.
(Extrait du Bac D Djibouti, 1986).
Exercice 30
On considère la fonction numérique f définie par :
f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\text{ pour }x \in]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[\;,\text{ avec }f(0)=0.
On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).
On prendra comme unité : 1.5\;cm.
1) a) Montrer que f est continue à droite en x=0.
En calculant \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)}{x}, établir que \mathcal{C} admet à l'origine une demi-tangente que l'on précisera.
b) Étudier les variations de f.
Calculer \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x} et tracer la courbe \mathcal{C}.
2) a) Discuter, suivant les valeurs du réel \alpha , le nombre de solutions réelles de l'équation
(1)\ :\ \alpha(\ln x)^{2}-\ln x+1=0.
b) Montrer que le nombre de tangentes à \mathcal{C} de coefficient directeur \alpha est égal au nombre de solutions de l'équation (1).
(On ne comptera pas la demi-tangente obtenue en 1) a)).
c) Calculer les solutions x_{1}\text{ et }x_{2} de (1) lorsque \alpha=-2.
Chercher les équations des tangentes à \mathcal{C} aux points M_{1}\text{ et }M_{2} d'abscisses respectives x_{1}\text{ et }x_{2}.
Tracer ces tangentes.
d) Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions réelles de l'équation
(2)\ :\ \dfrac{x}{\ln x}=-2x+m.
(Extrait du Bac D Lille, 1985).
Exercice 31
Le but du problème est l'étude de la fonction numérique f de variable réelle définie sur [0\;;\ 1] par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln(1-x)-x\ln x+x\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction numérique de variable réelle définie sur ]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=x+\ln x.
Étudier les variations de g ;en déduire que l'équation g(x)=0 d'inconnue réelle x admet une solution \alpha et une seule.
Vérifier que l'on a \dfrac{1}{\mathrm{e}}\leq \alpha \leq 1.
2) Étude de f.
a) La fonction f est-elle continue en 0 ?
Déterminer \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}; quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat ?
b) Expliciter la fonction dérivée f'\text{ de }f.
Montrer que, g étant la fonction considérée en 1) ,on a :
f'(x)=-g\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\text{ pour tout }x \in]0\;;\ 1[.
c) En déduire que f' s'annule en un point \beta et un seul.
Exprimer \beta en fonction de \alpha.
3) Construction de la courbe représentative de f.
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Construire la courbe représentative \mathcal{C}\text{ de }f dans un plan P rapporté à un repère orthonormal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).(unité graphique : 10\;cm).
(Extrait du Bac D, Polynésie Française, 1989).
Exercice 32
Soit la fonction numérique de la variable réelle f définie par :
\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x) &=& \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} & \text{pour }x\in\;]-\infty\;;\ 0]\\ \\ f(x) &=& \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & \text{pour }x\in\;]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[ \end{array}\right.
Soit \mathcal{C} la courbe représentative de f dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).
(On prendra 2\;cm par unité de longueur.)
1) a) Montrer que, pour 0<x<1\;,\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln(1-x)}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x}
b) Étudier la dérivabilité de f en 0.
c) En déduire que la courbe \mathcal{C} admet au point O deux demi-tangentes dont on donnera les équations.
d) Étudier le signe de f(x)-2x sur l'intervalle ]-\infty\;;\ 0[.
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
2) Calculer les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition de f et étudier les variations de f.
3) Tracer la courbe \mathcal{C} dans le repère (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).
Exercice 33
A) On considère la fonction g définie sur \mathbb{R}_{+}^{\ast}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{1}{\ln^{2}(x)}-\dfrac{1}{\ln(x)}.
1) Montrer que l'on peut prolonger g par continuité à droite en 0 en attribuant à g(0) la valeur 0.
2) Étudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
Dresser son tableau de variation.
En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
B) On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{-x}{\ln(x)}\text{ si }x>0\text{ et }f(x)=0.
1) Montrer que f est continue à droite et dérivable à droite au point O.
En déduire l'existence d'une demi-tangente à la courbe représentative \mathcal{C} au point d'abscisse 0.
2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3) Comparer f'(x)\text{ et }g(x). En déduire les variations de f et son tableau de variations.
4) Calculer l'équation y=h(x) de la tangente \mathcal{D}\text{ à la courbe }\mathcal{C} au point d'abscisse.
5) Soit M le point de \mathcal{C} d'abscisse x\text{ et }N le point de \mathcal{D} de même abscisse.
On pose \varphi(x)=\overline{NM}.
Montrer que :
\varphi(x)=f(x)+\dfrac{x+\mathrm{e}^{2}}{4}.
Déduire de A) le tableau de variations de \varphi'(x) puis le signe de \varphi'(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.
En déduire le signe de \varphi(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[ et la position de \mathcal{C} par rapport à \mathcal{D} pour les points d'abscisse x>1.
6) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe \mathcal{C} et la droite \mathcal{D}
(unité 2\;cm).
C) On revient à la fonction g\text{ du }A).
On note \mathcal{C}_{g} la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité 2\;cm).
Sans construire \mathcal{C}_{g}, calculer en cm^{2} l'aire de la partie plane comprise entre la courbe \mathcal{C}_{g}, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives :
x=\mathrm{e}\text{ et }x=\mathrm{e}^{2}.
Exercice 34
A) Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction numérique f définie sur l'intervalle [0\;;\ 1] par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& -x\ln x-(1-x)\ln(1-x)\text{ si }x\in ]0\;;\ 1[\\ f(0) &=& f(1)=0 \end{array}\right.
On note \mathcal{C} la courbe représentative dans un plan P rapporté à un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) (unité : 10\;cm).
1) Soit g la fonction numérique définie sur ]0\;;\ 1[\text{ par : }g(x)=\ln(1-x)-\ln(x).
a) Résoudre l'équation g(x)=0 d'inconnue x.
b) Étudier le signe de g(x) en fonction de x.
2) Montrer que la courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation x=\dfrac{1}{2} comme axe de symétrie.
3) a) Montrer que f est dérivable sur ]0\;; \ 1[ et calculer sa dérivée.
b) Montrer que f est continue sur [0\;;\ 1].
Étudier la limite de \dfrac{f(x)}{x} lorsque x tend vers 0 ; interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Dresser le tableau de variation de f et construire la courbe \mathcal{C}.
4) Soit a\text{ et }b deux nombres réels strictement positifs tels que : a+b=1.
a) Utiliser les résultats de 3) pour montrer que :
a\ln\dfrac{1}{a}+b\ln\dfrac{1}{b}\leq\ln 2.\ (1)
b) Montrer que l'inégalité (1) est une égalité si et seulement si :
a=b=\dfrac{1}{2}.
B) On se propose de généraliser l'inégalité (1) obtenue ci-dessus en A) 4).
Soit p un nombre entier strictement supérieur à 1 et soit a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p}des nombres réels strictement positifs tels que a_{1}+a_{2} +\cdots+a_{p}=1.
On pose :
H=a_{1}\ln\dfrac{1}{a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{a_{p}}
1) a) Montrer que pour tout nombre réel t>0 , on a : \ln t\leq t-1\ (2).
Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction h définie par h(t)=t-1-\ln t.
b) Montrer que, si t est différent de 1, l'inégalité (2) est stricte.
c) En déduire que pour tout entier j tel que 1\leq p , on a :
a_{i}\ln\dfrac{1}{a_{i}}\leq\dfrac{1}{p}-a_{i},
avec égalité si et seulement si : a_{i}=\dfrac{1}{p}.
2) a) Montrer que :
H-\ln p=a_{1}\ln\dfrac{1}{p a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{p a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{p a_{p}}.
b) En déduire que :
H\leq\ln p\ (3)
c) Déterminer a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p} pour que l'inégalité (3) soit une égalité.
Fonction Logarithme Décimal
N.B.
Le symbole log désigne le logarithme décimal, c'est-à-dire le logarithme de base 10.
Exercice 35
On rappelle que la fonction logarithme décimal est définie par :
\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}
1) Montrer que pour tous réels a\text{ et }b strictement positifs :
\log(ab)=\log a+\log b.
2) Étudier les variations de \log et la représenter graphiquement.
3) Déterminer \log(10^{n}), pour n entier relatif.
4) Soit N un entier naturel (N\geq 1) ; montrer que le nombre de chiffres de N dans son écriture décimale est 1+E(\log N), où E(x) est la partie entière de x.
5) Application : avec combien de chiffres s'écrit 2^{2008} ? 2008^{2008} ?
Exercice 36
En utilisant les logarithmes décimaux, trouver un entier naturel n tel que :
1) 10^{n}>3548^{3}\qquad 2)\ 10^{-n}<(0.003)^{3}
Exercice 37
Simplifier :
A=\log 10^{4}+\log 10^{-4}+\log\sqrt{10}-\log\dfrac{1}{\sqrt{10}}
B=\log a^{2}b^{3}-\dfrac{1}{2}\log\sqrt{a^{2}b^{3}}+\dfrac{1}{3}\log\dfrac{a^{4}}{b^{2}}+\log\sqrt{a^{7}b^{3}}\text{ avec }a>0\text{ et }b>0.
Exercice 38
Résoudre les équations suivantes :
1)\ \log x-\log(11-x)=\log 2x^{2}\quad 2)\ 3(\log x)^{2}+14\log x-5=0
3)\ 2(\log x)^{3}-(\log x)^{2}-32\log x+16=0\text{ (après avoir développé }(X^{2}-16)(2X-1).
Exercice 39
L'acidité d'une solution est déterminée par la concentration en ions H_{3}O^{+}(hydronium) contenus dans cette solution.
On note [H_{3}O^{+}] le nombre de moles de H_{3}O^{+} par litre de solution.
on définit alors son pH par la formule pH=-\log[H_{3}O^{+}].
1) Une solution contient 10^{-4} moles de H_{3}O^{+} par litre.
Quel est son pH ?
2) Quelle est la concentration en ions H_{3}O^{+} d'une solution de pH=2 ? d'une solution neutre (pH=7) ?
3) Comment varie le pH lorsque la concentration en ions H_{3}O^{+} découple ?
Exercice 40
La magnitude m d'un séisme est mesurée sur une échelle dite de Richter par m=\log\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right) , où I est l'intensité du séisme et I_{0} une intensité de référence.
La quantité a=\dfrac{I}{I_{0}} est l'amplitude maximale du mouvement.
Elle est mesurée en microns sur un séismographe étalon à une distance de 100\;km de l'épicentre.
1) Quelle est l'amplitude maximale d'un séisme de magnitude 3 ?
2) Placer sur l'échelle de Richter les séismes :
San Francisco (1906), I=1.78\;\cdot\;10^{8}I_{0}.
Los Angeles (1971), I=5.01\;\cdot\;10^{6}I_{0}.
3) Dans quelles proportions le séisme d'Arménie en 1988 (magnitude 8.5) était-il plus important que celui de Mexico (magnitude 7.5) ?
4) Sachant que le séismographe étalon multiplie les vibrations par 2800, quelle est l'amplitude réelle du mouvement du sol lors d'un séisme de magnitude 9 ?
Exercice 41
Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossilles...) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone 14, encore présent dans l'objet.
En effet, à la mort d'un être vivant, le carbone 14 présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que si p est la proportion de C_{14} restante au bout de N années (par rapport à la quantité initiale), on ait :
N=-8310\ln p.
1) Un squelette d'« homme de Cro-Magnon » contient 5\% du carbone 14 initial.
Quel âge a-t-il ?
2) Lucy est la plus ancienne forme d'hominidé connu ; les spécialistes lui donnent 4.4 millions d'années.
A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à l'aide du carbone 14 ?
3) Découverte dans un glacier en 1991, la momie Hibernatus contenait 52.8\% (à 1\% près) du carbone 14 initial.
Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus.
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