Pour chacun des nombres suivants, trouver le plus petit ensemble de nombres $\mathbb{N}\;,\ \mathbb{Z}\;,\ \mathbb{D}\;,\ \mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$,

auquel il appartient :

 

$\text{a)}\ -18\;;\ 1.25\;;\ \sqrt{7}\;;\ 2\pi\;;\ -0.666\overline{6}\ldots\;;\ 0$ 

 

$\text{b)}\ -\dfrac{28}{25}\;;\ \dfrac{3.1416}{\pi}\;;\ \dfrac{901}{53}\;;\ \dfrac{\sqrt{676}}{2}\;;\ \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{27}}$ 

 

$\text{c)}\ 1.234567891011\ldots\;;\ 246.81012\ldots$
$\quad$
d) $-4.7\;10^{3}\;;\ \dfrac{3}{\sqrt{2}}\;;\ \dfrac{1.11111111}{9}$ 

 

$\text{e)}\ 1357.\overline{91357}\ldots\;;\ \dfrac{21}{560}\;;\ \dfrac{2\pi}{5}\;;\ \dfrac{(\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-5)}{3}\;;\ \dfrac{\pi+3}{\pi+1}$

 

$\centerdot\ $ On pourra présenter les résultats de cet exercice sous la forme de tableaux tel que ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline 3/4&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline -1.65&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 78&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline \sqrt{7}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline -3&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

$\centerdot\ $ Les groupes de chiffres surmontés d'une barre sont supposés être répétés jusqu'à l'infini.

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels. Montrer les propriétés suivantes :

 

1) Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b$ est pair.

 

2) Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a+b$ est pair.

 

3) Si $a$ est pair et $b$ impair, alors $a+b$ est impair.

 

4) Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $ab$ est pair.

 

5) Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $ab$ est impair.

 

6) Si $a$ est pair et $b$ impair, alors $ab$ est pair.

 

7) Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs, alors l'un d'eux est pair, l'autre impair.

$a$ étant un entier naturel,

 

1) Montrer que si $a$ est pair, alors $a^{2}$ est pair.

 

2) Montrer que si $a$ est impair, alors $a^{2}$ est impair.

 

3) En déduire que si $a^{2}$ est pair, alors $a$ est pair et que si $a^{2}$ est impair, alors $a$ est impair.

 

4) On veut maintenant prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel c'est-à-dire qu'il s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{p}{q}\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels non nuls.

 

a) Justifier que : $p^{2}=2q^{2}.$ Quelle est alors la parité de $p^{2}\;$ ?

 

b) D'après 3), on sait que $p$ et $p^{2}$ ont même parité. En déduire la parité de $p.$

 

c) Montrer que si $p$ est pair, on peut écrire $p$ sous la forme $p=2p'$ et qu'alors $q^{2}=2p'^{2}.$

 

d) Par un raisonnement analogue à la question 1), en déduire la parité de $q.$

 

e) Comme $pq$ est irréductible, que penser des réponses aux questions b) et d) ? 

Développer et réduire les expressions suivantes : 

 

$A=5(6x-2)+x(5x-2)$
$\quad$
$B=5(1-5x)-(-8x-3)$

 

$C=(-x+3)(x+8)$
$\quad$
$D=4(2x-5)(1-x)+(8x+1)(x-1)$

 

$E=(x^{2}+x-3)(x-2)$
$\quad$
$F=(x+1)(x+2)(x+3)$

Effectuer les calculs suivants : 

 

$(1)\ :\ (a+b)(x-y)-(a-b)(x+y)-b(x-y)$

 

$(2)\ :\ x(a-by)-y(b-ax)-xy(x-y)$

 

$(3)\ :\ 3[5(x-a)-2(b-y)]-6(a-b)+15(x+y)$

 

$(4)\ :\ x-y-[z-y-(t-x)]-[y+t-(x+z)]-[x-(y-z+t)]$

Montrer les égalités suivantes : 

 

a) $1-(x+1)(x-3)=5-(x-1)^{2}$ 

 

Indication : Soit $A$ le premier membre de cette égalité et $B$ le second membre. On pourra transformer séparément $A$ et $B$ pour obtenir le même résultat $C.$  $$A=\ldots=\ldots=C\quad\text{et}\quad B=\ldots=\ldots=C$$  

 

b) $\dfrac{x+4}{3}-\dfrac{x}{2}=1+\dfrac{2-x}{6}$

 

Indication : Soit $A$ le premier membre de cette égalité et $B$ le second membre. On pourra transformer la différence $A-B$ jusqu'à obtenir la valeur 0. 

Rappeler les critères de divisibilité d'un nombre entier

 

a) par 2$\quad$ b) par 3$\quad$ c) par 5$\quad$ d) par 9$\quad$ e) par 10 

Effectuer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 

 

1) a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}\quad$ b) $4-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{4}\quad$ c) $2-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}$

 

2) a) $\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}$
$\quad$
b) $1-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\quad$ c) $2-\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{3}$ 

Effectuer en simplifiant au maximum, sans calculatrice :

 

a) $\dfrac{5}{4}\times 4\quad$ b) $2\times\dfrac{7}{6}\quad$ c) $\dfrac{5}{4}\times\dfrac{12}{35}\quad$ d) $\dfrac{4}{49}\times\dfrac{56}{3}\times\dfrac{1}{8}$
$\quad$
e) $\dfrac{10}{33}\times\dfrac{55}{4}\times\dfrac{1}{25}$

 

f) $-3\times\dfrac{-2}{9}\times\dfrac{1}{8}$
$\quad$
g) $4\times\dfrac{15}{8}\times\dfrac{32}{5}$
$\quad$
h) $-12\times\dfrac{-5}{3}\times\dfrac{32}{25}$
$\quad$
i) $\dfrac{875}{8}\times\dfrac{-52}{5}\times\dfrac{9}{196}$ 

Effectuer, sans distribuer, mais en calculant dans les parenthèses :

 

a) $4\times\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
b) $\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{3}\right)$
$\quad$
c) $-2\times\left(1-\dfrac{5}{4}\right)$ 

 

d) $\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}\right)$
$\quad$
e) $6\times\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$ 

Effectuer en ligne à la calculatrice, puis à la main le calcul suivant : $$-3^{2}+\left(\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{4}\right)\div\left(-\dfrac{3}{4}+1\right)^{2}$$

Exprimez chacun des rationnels suivants sous la forme d'une fraction irréductible (précédée ou non du signe —) ou d'un entier.

 

$p=\dfrac{\left(\tfrac{11}{2}\right)}{3}\;;\quad q=\dfrac{-3}{\left(\tfrac{4}{5}\right)}\;;\quad r=\dfrac{\tfrac{25}{98}}{\tfrac{-35}{22}}\ ;$
$\quad$
$s=\dfrac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{-35}{8}}\;;\quad t=\dfrac{\tfrac{72}{7}}{\tfrac{36}{49}}$

 

$u=\dfrac{\tfrac{3}{2}\times\tfrac{27}{5}}{4}\;;\quad v=\dfrac{3\times\tfrac{-8}{3}\times(-2)}{77\times\tfrac{11}{4}}\ ;$
$\quad$
$w=\dfrac{\tfrac{-7}{3}}{\tfrac{14}{5}+\tfrac{28}{11}}$

 

$x=\dfrac{1-\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}}\;;\quad y=\dfrac{1+\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{2}}{1+\tfrac{4}{5}-\tfrac{7}{2}}\ ;$
$\quad$
$\alpha=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4\times 5}$

 

$\beta=1+\dfrac{1}{2+\tfrac{1}{2+\tfrac{1}{2}}}\ ;$
$\quad$
$\gamma=\left(\dfrac{1-\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{2}}\times\dfrac{\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{5}-1}\times\dfrac{-18}{10}\right)\div\left(\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1-\tfrac{1}{7}}{1+\tfrac{1}{7}}\right)$

 

$\delta=\dfrac{\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{5}}\times\dfrac{\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{3}}{\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{3}}\times\dfrac{1-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{4}{5}-1}\ ;$
$\quad$
$\epsilon=\dfrac{1-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{3}}}{1+\tfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{3}}$

Écrire l'expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes :

 

1) La somme de $x$ et du produit de $x$ par $y$ ;

 

2) Le carré de la différence de $x$ et de 3 ;

 

3) Le quotient du carré de $x$ par le produit de 3 et du carré de $y$ ;

 

4) Le produit du quotient de $x$ par $y$ par la somme de 3 et du triple de $x.$

$a$ et $b$ étant deux réels quelconques, écrire plus simplement $$A=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$$ $$\text{ et }\quad B=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$$

Démontrer que quels que soient les réel $a\;,\ b\;,\ x$ et $y$, $$(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}=(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$$

$a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{R}^{*}\;$, donner en utilisant les identités remarquables, d'autres expressions de $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^{2}\;,\ \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^{2}$ et $\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^{2}$

Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{R}^{*}\;,\ c$ un élément de $\mathbb{R}.$ Mettre sous forme de quotients les expressions suivantes : $$a+\dfrac{1}{b}\;;\quad a+\dfrac{c}{a}\;;\quad \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\;;\quad\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$$

Soient $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ des réels non nuls. Écrire sous forme de quotients $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\quad\text{et}\quad\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$$

Factoriser chacune des expressions suivantes :

 

$\text{a)}\ (2x+1)(5x+3)+(2x+1)(x+2)-(2x+1)(2x-1)$

 

$\text{b)}\ (3x+2)(x-3)+(x-3)^{2}+x^{2}-9$

 

$\text{c)}\ (2x+3)(x+7)-(2x+3)^{2}+6x+9$ 

 

$\text{d)}\ (x-5)^{2}+x^{2}-25-(5-x)(2x+1)$

 

$\text{e)}\ (2x-3)^{2}+(3-2x)(x-1)-6+4x$

 

f) $x^{2}+y^{2}+2xy-4a^{2}+12ab-9b^{2}$

 

g) $ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})$

 

h) $a^{2}-2by-y^{2}+x^{2}-2ax-b^{2}$

 

i) $9x^{2}y^{3}-3x^{4}y^{2}-6x^{3}y^{3}+18xy^{4}$ 

 

j) $(5x+y-3)^{2}-(2+5x)^{2}$

 

k) $x^{3}+2x^{2}+10+5x$

 

l) $16x^{2}+8xy-4xz-2yz$

 

m) $(xy+1)^{2}-(x+y)^{2}$  (On trouvera un produit de 4 facteurs).

 

n) $ab-a+b-1$

 

o) $a^{2}xy+aby^{2}+b^{2}xy+abx^{2}$

 

p) $x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x$

 

q) $a^{2}b^{2}-1+a^{2}-b^{2}$

 

r) $y^{2}-x^{2}+2x-1$

 

$\text{s)}\ a(x-y)+x(b+c-y)-y(b+c-x)$

Simplifier les fractions suivantes et indiquer dans quelles conditions les simplifications sont possibles : 

 

$F_{1}=\dfrac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}}\ ;$
$\quad$
$F_{2}=\dfrac{a^{2}-(b-c)^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}}\ ;$
$\quad$
$F_{3}=\dfrac{25x^{2}-20x+4}{25x^{2}-4}$

 

$F_{4}=\dfrac{\tfrac{x}{x-y}-\tfrac{y}{x+y}}{\tfrac{y}{x-y}+\tfrac{x}{x+y}}\ ;$
$\quad$
$F_{5}=2-\dfrac{4}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}}}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

1) $\dfrac{10x+3}{3}-\dfrac{3x-1}{5}=x-2$
$\quad$
2) $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=0$ 

 

3) $\dfrac{a}{3}-\dfrac{5a-1}{5}-\dfrac{a-1}{4}=0$ 

 

$4)\ 4\left(\dfrac{2x-7}{9}\right)-\dfrac{3-\tfrac{5(x-2)}{3}}{3}+\dfrac{13}{27}=\dfrac{\tfrac{3x-5}{3}-2}{4}+\dfrac{217}{108}$ 

 

5) $(3x-4)^{2}=x^{2}+2x+1$
$\quad$
6) $(x+1)(x-3)=2x^{2}-18$ 

 

7) $2x^{3}+x^{2}-2x-1=0$
$\quad$
8) $\dfrac{9}{a}=\dfrac{8}{a+1}+\dfrac{4}{4a-1}$ 

 

9) $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x^{2}-4}$
$\quad$
10) $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x(x+2)}$

 

$11)\ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=0$
$\quad$
$12)\ \dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x-5}-\dfrac{x-5}{x-6}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations (ou systèmes d'inéquations) suivantes :

 

1) $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}-6x\leq -5x$
$\quad$
2) $3-\dfrac{x-2}{2}+\dfrac{2}{3}>3x$
$\quad$
3) $x-\dfrac{3}{2}-x(x+3)\geq 1-x^{2}$

 

4) $\dfrac{4-2x}{x+3}\leq 0$
$\quad$
5) $\dfrac{2x-1}{x-3}>3$
$\quad$
6) $\dfrac{3x+1}{x+1}\geq\dfrac{1}{2}$
$\quad$
7) $\dfrac{(x^{2}-1)(x-4)}{2x-1}>0$

 

8) $\dfrac{x}{x-2}-2\geq\dfrac{-x+3}{x+1}$
$\quad$
9) $\dfrac{7x-x^{2}}{(x-1)(x^{2}+4x+4)}\leq 0$ 

 

10) $\dfrac{x-2}{2x+1}-\dfrac{2x+1}{x-2}>0$

 

11) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{x^{2}-(2x-3)^{2}}{2-x}&\leq&0 \\ \\ x^{2}&\geq&0\end{array}\right.$
$\quad$
12) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{(x+1)(x-2)}{2x-3}&>&0 \\ \\ \dfrac{(1-x)(x+2)}{x}&<&0\end{array}\right.$