Série d'exercices : Rotations et polygones réguliers 4e

Classe: 
Quatrième

Exercice 1

1) Définir un angle au centre.
 
2) En utilisant la figure ci-dessous ; nommer les angles au centre. 

 
 
 

Exercice 2 

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $3\;cm.\ \widehat{ENS}$ est un angle au centre. Compléter le tableau suivant : On donne $\pi=3.$
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline Mes\ \widehat{ENS}&30^{\circ}&\:\:\ &126^{\circ}& \\ \hline\text{Longueur de l'arc}& & & & \\ \text{intercepté par}& &\dfrac{2\pi}{3}& &\dfrac{\pi}{3} \\ \widehat{ENS}\text{ en }cm& & & & \\ \hline\end{array}$$

Exercice 3 

Soient $[MN]$ et $[M'N']$ deux segments de même longueur dont les supports ne sont pas parallèles.
 
1) Faire une figure.
 
2) Par une certaine rotation, l'image de $M$ est $M'$ et l'image de $N$ est $N'.$
 
3) Construire le centre $O$ de cette rotation.

Exercice 4

$A$ et $B$ sont deux points du plan tel que : $AB=4\;cm$
 
1) Construire le point $C$ image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $45^{\circ}$ dans le sens positif.
 
2) Construire le point $D$ image $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $45^{\circ}$ dans le sens négatif.
 
3) Quelle est la nature du triangle $CAD$ ? Justifier la réponse.

Exercice 5 

Soit un triangle équilatérale $ABC$ et la rotation de centre $A$ et d'angle $60^{\circ}.$
 
1) Construire l'image $D$ de $C$ et l'image $E$ de $D$ par cette rotation.
 
2) Montrer que $BA=CD$ et $AE=CD.$
 
3) Quelle est la nature du quadrilatère $EBCD$ ? Justifier.

Exercice 6

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O.\ A$ et $B$ sont deux points de $\mathcal{C}$ tels que la longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est de $3,14.$ Cette longueur est égale à $\dfrac{1}{8}$ du périmètre de $\mathcal{C}.$
 
1) Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}.$
 
2) Calculer la mesure de l'angle au centre.

Exercice 7

1) Soit $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $4\;cm.$
 
2) Placer deux points $A$ et $B$ sur ce cercle tel que : $mes \;AOB = 80^{\circ}.$
 
3) Calculer la longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}\quad (\pi=3).$

Exercice 8

1) Construire un triangle équilatéral $ABC$ inscrit dans un cercle $(c)$ de centre $O$ et de rayon $4\;cm.$
 
2) Quelle est la longueur de chacun des arcs $\overset{\displaystyle\frown}{AB}\;,\ \overset{\displaystyle\frown}{AC}$ et $\overset{\displaystyle\frown}{BC}\ ?$

Exercice 9

1) Construire un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon $3,5\;cm.$
 
2) Déterminer trois rotations différentes qui laissent globalement invariant un triangle équilatéral.

Exercice 10

1) Trace le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $4\;cm$ puis marque $4$ points $A$, $B$, $C$ et $D$ du cercle.
 
2) Cite un angle au centre qui intercepte l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ 
 
3) Cite deux angles au centre et l'arc intercepté par chacun d'eux.

Exercice 11

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R.$ 
 
$A$ et $B$ deux points de $(\mathcal{C}).$
 
Dans chacun des cas ci-dessous calcule la longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ 
 
1) $R=3\;cm\;,\ \widehat{AOB}=60^{\circ}.$
 
2) $R=3\;cm\;,\ \widehat{AOB}=45^{\circ}.$
 
3) $R=4.5\;cm\;,\ \widehat{AOB}=90^{\circ}.$

Exercice 12

1) Construis un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $\widehat{BAC}=50^{\circ}.$
 
2) Marque deux points $E$ et $F$ puis construis leurs images respectives $E'$, $F'$ par la rotation de centre $A$ qui transforme $B$ en $C.$

Exercice 13

$ABCD$ est un losange de centre $J$ tel que $\widehat{DAB}=30^{\circ}.$
 
1) Fais une figure
 
2) Quelle est l'image de $D$ par la rotation de centre $A$ de sens celui des aiguilles d'une montre et d'angle $30^{\circ}$ ?

Exercice 14

1) Trace le segment $[AO]$ de longueur $3\;cm.$
 
2) Construis le point $M$ image de $A$ dans la rotation de centre $O$ et d'angle $90^{\circ}.$ (sens direct).
 
3) Construis le point $I$, image de $M$ dans la rotation dans le sens direct de centre $O$ et d'angle $\widehat{AOM}.$
 
4) Construis le point $E$ image de $I$ dans la même rotation.
 
5) Dans la rotation de centre $O$ et d'angle $90^{\circ}$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, quelle est l'image du point $I.$
 
6) Donne la nature du quadrilatère $AMIE.$

Exercice 15

$I$, $A$, $B$ sont des points du plan.
 
Construis la figure ci-dessous par la rotation de centre $I$ qui transforme $A$ en $B.$
 
 

Exercice 16

$[Ox)$, $[Oy)$ et $[Oz)$ sont trois demi-droites. 
 
$A$ un point situé sur $[Ox)$, $B$ et $D$ sur $[Oy)$ et $C$ sur $[Oz)$, avec $OC=OD=5\;cm$ et $OA=OB=4\;cm$ ; $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=40^{\circ}.$
 
1) Fais une figure.
 
2) Démontre que $AD=BC$ en utilisant une rotation à préciser.

Exercice 17

Soit $ABCD$ est un carré de centre $I$, $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AD].$
 
1) Fais une figure.
 
2) Justifie que $M$ est l'image de $N$ dans la rotation de centre $I$ qui transforme $A$ en $B.$
 
3) Justifie que $ONM$ est un triangle isocèle.
 
4) Compare en justifiant :
 
a) $CN$ et $DM.$
 
b) $\widehat{AIN}$ et $\widehat{BIN}.$
 
c) Les aires des triangles $BDM$ et $CAN.$
 
d) Les aires des triangles $AIN$ et $BIM.$
 
5) Détermine l'aire du quadrilatère $AMIN.$

Exercice 18

Reproduis le triangle $ABC$ ci-dessous.
 
 
1) Construis extérieurement à ce triangle
 
2) les carrés $ABDE$ et $ACFG.$
 
3) Démontre que $EC=BG$ et que $(EC)$ est perpendiculaire à $(BG).$
 
4) Démontrer que les droites $(EC)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires.
 
5) Comparer les distances $EC$ et $DB.$

Exercice 19

Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est l'image de $ABCD$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}.$
 
 
1) Compare en justifiant les aires et les périmètres de ces deux quadrilatères
 
2) Le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ , son image $J'$ par cette rotation est-elle le milieu du segment $[B'C']$ ?
 
Justifie ta réponse.
 
3) L'angle $\widehat{A'B'C'}$ étant l'image de l'angle $\widehat{ABC}$ par cette rotation, compare leurs mesures.
 
Justifie ta réponse.

Exercice 20

Construis un triangle $AOB$ isocèle en $O$ tel que $\widehat{AOB}=45^{\circ}.$
 
Dans la rotation de centre $O$ et d'angle $\widehat{AOB}$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, construis :
1) Le point $C$ image de $B$,
 
2) Le point $D$ image de $C$,
 
3) Le point $E$ image de $D$,
 
4) Le point $F$ image de $E.$
 
5) Quelle est l'image du point $F.$
 
6) Précise la nature du polygone $ABCDEF.$

Exercice 21

1) Construis un carré $CABE$ de centre $I.$
 
2) Par la rotation de centre $I$ et d'angle $45^{\circ}$ dans le sens direct, construis $M$, $N$, $R$ et $S$ images respectives des points $C$, $A$, $B$, et $E.$
 
3) Trace le polygone $CMANBRES$ puis donne sa nature ?
 
4) Indique le centre et le rayon du cercle circonscrit au polygone $CMANBRES.$
 
5) Trace ce cercle circonscrit à ce polygone.

Exercice 22

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3\;cm.$
 
Le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle a pour centre $I.$
 
Par la rotation de centre $I$ et d'angle $60^{\circ}$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, $A$ a pour image $D$, $B$ a pour image $E$ et $C$ a pour image $F.$
 
1) Construis le triangle $ABC$ puis trace le cercle $(\mathcal{C}).$
 
2) Justifie que les points $D$, $E$ et $F$ appartiennent au cercle.
 
3) Donne la nature du polygone $ADBECF.$
 
4) Indique le centre et le rayon du cercle inscrit au polygone $ADBECF.$

Exercice 23

1) Construis un triangle $IEF$ isocèle en $I$ dont les angles à la base mesurent $75^{\circ}.$
 
2) Dans la rotation de sens indirect de centre $I$ qui transforme $E$ en $F$, construis le point $G$ image de $F$, le point $H$ image de $G$, le point $R$ image de $H.$
 
3) Quelle est l'image de $R$ ? 
 
Précise la nature du polygone $EFGHR.$
 
4) Explique comment obtenir le cercle inscrit à ce polygone.

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Auteur: 
Diny Faye & adem

Ajouter un commentaire