Résoudre dans l'intervalle; $]-\pi\;;\ \pi]$ les équations trigonométriques suivantes :

 

$1)\ \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\quad 2)\ \cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

 

$3)\ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad 4)\ \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

 

$5)\ \tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\quad 6)\ \tan\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}$

 

$7)\ \cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\quad 8)\ \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

 

$9)\ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\quad 10)\ \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

 

$11)\ \tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\quad 12)\ \tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-co\tan\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

Résoudre dans l'intervalle; $]-\pi\;;\ \pi]$ les équations suivantes :

 

$1)\ 4\cos^{2}x-1=0\quad 2)\ 4\cos^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-3=0\quad 3)\ 2\sin^{2}\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)-1=0$

 

$4)\ 2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos2x=0\quad 5)\ \tan^{2}\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)-1=0$

$ 6)\ \tan^{2}\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-3=0$
 

$7)\ \tan^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan^{2}2x\quad 8)\ \tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

Résoudre dans l'intervalle $[0\;;\ 2\pi[$ les équations suivantes :

 

$1)\ 2\cos^{2}x+\left(\sqrt{3}+2\right)\cos x+\sqrt{3}=0\quad 2)\ \cos2x=3\cos x-2$

 

$3)\ 1+\cos2x+\cos4x=0\quad 4)\ 2\cos x+\cos3x+\cos5x=0$

 

$5)\ \cos x-\cos3x+\cos5x=0\quad 6)\ 4\sin^{2}x+2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}=0$

 

$7)\ \sin x+\sin2x+\sin 3x=0\quad 8)\ \sin2x+\sin4x=0$

 

$9)\ \cos^{2}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin x\cos x-\sin^{2}x=0\quad\ 10)\ \sin^{6}x+\cos^{6}x=\dfrac{1}{4}$

 

$11\ \sqrt{3}\tan^{2}x+\left(1+\sqrt{3}\right)\tan x+1=0\quad 12)\ \ \tan^{2}x+\left(\sqrt{3}-1\right)\tan x-\sqrt{3}=0$

Calculer $\sin x\text{ et }\tan x$ dans chacun des cas suivants :

 

$1)\ \cos x=-\dfrac{3}{5}\text{ et }x\;\in\;\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[$

$2)\ \cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\text{ et }x\;\in\;\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right[$

 

$3)\ \cos x=-\dfrac{12}{13}\text{ et }x\;\in\;\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[$

Calculer $\sin x\text{ et }\cos x$ dans chacun des cas suivants :

 

$1)\ \tan x=-2\text{ et }x\;\in\;]0\;;\ \pi[$

$2)\ \tan x=\dfrac{11}{60}\text{ et }x\;\in\;\left[\pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

 

$3)\ \tan x=-\dfrac{8}{15}\text{ et }x\;\in\;\left]\dfrac{3\pi}{2}\;;\ 2\pi\right[$ 

Calculer $\cos x\text{ et }\tan x$ dans chacun des cas suivants :

 

$1)\sin x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\text{ et }x\in\;\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ 2\pi\right[$

$2)\ \sin x=-0.8\text{ et }x\in\;\left]\pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

 

$3)\ \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\text{ et }x\;\in\;\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right[$

On considère le réel $x$ tel que :

 

$\tan x=\sqrt{3}-2\text{ et }x\in\;\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right[.$

 

Calculer $\tan 2x$ et en déduire le réel $x.$

On considère le réel $x$ tel que :

 

$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\text{ et }x\in\;\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

 

Calculer $\cos 2x$ et en déduire le réel $x.$

Résoudre dans l'intervalle $\left[0\;;\ 2\pi\right[$, puis dans l'intervalle $\left]-\pi\;;\ \pi\right]$ les inéquations suivantes :

 

$1)\ 2\cos x+1>0\quad 2)\ 2\cos x-1\leq 0\quad 3)\ 1-2\sin x\leq 0\quad 4)\ 2\sin x-3<0$

 

$5)\ \tan x>1\quad 6)\ \sqrt{3}\tan x-3\leq 0\quad 7)\ 4\cos^{2}x-2(\sqrt{2} -1)\cos x-\sqrt{2}>0.$

 

$8)\ 4\sin^{2}x-2(1+\sqrt{3})\sin x+\sqrt{3}\leq 0\quad 9)\ -4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}+1)\sin x+4+\sqrt{2}\leq 0$

 

$10)\ 4\sin^{2}x+2(1-\sqrt{3})\cos x-4+\sqrt{3}>0\quad 11)\ \tan^{2}x-3\leq 0$

 

$12)\ \sqrt{3}\tan^{2}x-(1+\sqrt{3})\tan x+1> 0\quad 13)\ -3\tan^{2}+4\tan^{2}x-1 \geq 0$

 

$14)\ \dfrac{2\cos2x-1}{1+2\cos2x}<0\quad 15)\ (\tan x-1)(2\cos x-1)< 0\quad 16)\ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}+2x\right)>\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+2x\right)$

Calculer en fonction des lignes trigonométriques de $\alpha$ les lignes trigonométriques des réels suivants :

 

$\text{a) }\alpha-5\pi\quad \text{b) }-\alpha-\pi\quad \text{c) }-\alpha-2\pi\quad \text{d) }-\alpha-\dfrac{\pi}{2}\quad \text{e) }\alpha-\dfrac{9\pi}{2}\quad \text{f) }-\alpha+\dfrac{5\pi}{2}$

Calculer les lignes trigonométriques des angles suivants :

 

$\text{a) }3\pi\;;\ -5\pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\quad \text{b) }\dfrac{3\pi}{4}\;;\ -\dfrac{7\pi}{4}\;;\ \dfrac{15\pi}{4}\quad \text{c) }-\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\;;\ \dfrac{8\pi}{3}\quad \text{d) }\dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{13\pi}{6}\;;\ \dfrac{31\pi}{6}$

Simplifier les expressions suivantes :

 

A=$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos(-\alpha+2k\pi)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin\left(\alpha-\dfrac{7\pi}{2}\right)$

 

B=$2\tan\left(\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\tan\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{2}\right)+3\cot(\alpha+k\pi)-\cot\left[(2h+1)\pi-\alpha\right]$

 

C=$\dfrac{\cos\left(3\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}-3\alpha\right)+\sin(3\alpha+k\pi)}{\cos(3\alpha-\pi)+\cos(k\pi+3\alpha)+3\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-3\alpha\right)}$

Montrer que chacune des fonctions suivantes est constante :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto\sin 2x+(\sin x-\cos x)^{2}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\cos^{2}x+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)$

 

$3)\ f\ :\ x\mapsto\sin^{2}x+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)$

Montrer que, pour tout réel $x$, on a les égalités suivantes :

 

$1)\ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)\quad 2)\ \cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$

 

$3)\ \cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x=4\cos\dfrac{x}{2}\cos x\cos\dfrac{5\pi}{2}$

 

$4)\ \sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x=4\cos\dfrac{x}{2}\cos x\sin\dfrac{5\pi}{2}$

 

$5)\ 4\sin x\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)=\sin3x$