Série N° 8 : Suite arithmétique et suite géométrique
Rappel du cours portant les suite
I. Suite arithmétique
1. Définition :
Une suite $\left(U_{n}\right)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$ $$\boxed{U_{n+1}=U_{n}+r.\quad\quad r\text{ est appelé raison de la suite}}$$
2. Calcul de $U_{n}$ :
Si Un est une suite arithmétique de raison, alors pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ , on a : $$\boxed{U_{n}=U_{0}+nr\text{ et }U_{n}=U_{p}+(n-p)r}$$
3. Somme de n premier termes :
Si $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $U_{0}$, alors pour tout entier $n$ : $$\boxed{S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots U_{a 1}=\dfrac{n\left(U_{0}+U_{n+1}\right)}{2}=\dfrac{\text{nombre\ldots\text{ et }\ldots\text{terme}\left(1er\text{terme } \text{dernier\ldots\text{terme}\right)}}}}{2}}$$
$S$ est appelé la somme de $n$ premiers termes de la suite $\left(U_{n}\right).$
Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi- somme des termes extrême.
II Suite géométrique :
1. Définition :
Une suite $(\left(U_{n}\right)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n.$ $$\boxed{U_{n+1}=q\cdot U_{n}\quad\quad q\text{est appelé raison de la suite}}$
2. Calcul de $U_{n}$ :
Si $U_{n}$ est une suite géométrique de raison $q$ , alors pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ , on a : $$\boxed{U_{n}=U_{0}q^{n}\text{ et }U_{n}=U_{p}q^{n-p}}$$
3. Somme de $n$ premier termes :
Si $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q(q\neq 1)$ et de premier terme $U_{0}$, alors pour tout entier $n$ : $$\boxed{S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots U_{n-1}=\dfrac{U_{0}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\dfrac{1^{er}\text{terme}\left(1-q^{\text{nombre\ldots\text{ de }\ldots\text{terme}\right)}}}{1-q}}$$
$S$ est appelé la somme de $n$ premiers termes de la suite $\left(U_{n}\right).$
Remarque :
$\text{Nombre de terme }=\text{(indice du dernier terme }-\text{ indice du }1^{er} \text{ terme }+1.$
Exercice 1
Généralité
La suite $\left(U_{n}\right)$ est définie par :
$U_{n}=3n-1$
Calcule les termes d'indice $0$ à $5.$
Exercice 2
Généralité
On donne la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par :
$U_{n}=\dfrac{2}{n+2}+\dfrac{5}{n+5}$
Calcule à $10^{-2}$ prés, les termes d'indice $0$ à $4.$
Exercice 3
Généralité
On donne la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}=7\\ U_{n+1}=U_{n}-5 \end{array}\right.$
Calculer $U_{1}$ et $U_{5}$
Exercice 4
Suite arithmétique
Soit $U_{n}$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}=10$ et de raison $-7.$
1. Exprime $U_{n}$ en fonction de $n.$
2. Calcule $U_{100}$
Exercice 5
Suite arithmétique
Soit $U_{n}$ une suite arithmétique de premier terme $U_{1}=7$ et de raison $2.5$
1. Exprime $U_{n}$ en fonction de $n.$
2. Calcule $U_{50}.$
Exercice 6
Suite arithmétique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques.
Pour les suites arithmétiques, précise la raison et la premier terme.
1.$U_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n\;,U_{n}=\dfrac{1}{n}+8$
2. Pour tout entier naturel $n\;,U_{N}\dfrac{1}{n}+8$
3. Pour tout entier naturel $n\;,U_{n}=2n^{2}+8$
Exercice 7
Suite arithmétique
On considère les suites numériques $\left(U_{n}\right)$ définie par :
a. $U_{n+1}=U_{n}-2$ ;
b. $U_{n}=U_{n}+2$ ;
c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{n}&=&4n-7\\ U_{n+1}&=&4n+2 \end{array}\right.$
d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{n}&=&-n+1\\ V_{n+1}&=&-n-5 \end{array}\right.$
Dans chacun des cas ci-dessous :
1. Démontrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique.
2. Indique la raison et le premier terme.
3. Exprime $\left(U_{n}$ en fonction de $n$
Exercice 8
Suite géométrique
Soit $U_{n}$ une suite géométrique de premier terme $U_{0}=2$ et de raison $3.$
1. Exprime $U_{n}$ en fonction de $n.$
2. Calcule $U_{7}.$
Exercice 9
Suite géométrique
Soit $V_{n}$ une suite arithmétique de premier terme $V_{1}=7$ et de raison $4.5.$
1. Exprime $U_{n}$ en fonction de $n.$
2. Calcule $U_{30}$
Exercice 10
Suite géométrique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques.
Pour les suites géométriques, précise la raison et la premier terme.
1. $U_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=-2U_{n}.$
2. Pour tout entier naturel $n$, $U_{n}=8\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$
3. Pour tout entier naturel $n$, $U_{n}=2n+8$
Exercice 11
Suite géométrique
On considère les suites numériques $\left(V_{n}\right)$ définie par :
a. $V_{n+1}=\dfrac{3}{4}V_{n}$ ;
b. $7v_{n}=v_{n+1}$ ;
c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} V_{n}&=&7n\\ V_{n+1}&=&2n \end{array}\right.$
d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} V_{n}&=&2n+4\\ V_{n+1}&=&3n \end{array}\right.$
Dans chacun des cas ci-dessous :
1. Démontrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique.
2. Indique la raison et le premier terme.
3. Exprime $\left(V_{n}\right)$ en fonction de $n$
Exercice 12
« suite récurrente »
On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&2\\ U_{n+1}&=&\dfrac{3}{2}U_{n}+1\end{array}\right.$
1. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$
2. On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par :
$V_{n}=U_{n}+2$ par tout n appartient à $\mathbb{N}$
a Calculer $V_{0}$ et $V_{1}$
b. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme de $\left(V_{n}\right)$
c. Exprimer $\left(V_{n}\right)$ puis Un en fonction de $n.$
3. Calculer $S_{n}=V_{0}+V_{1}+\ldots+V_{n-1}$ en fonction de $n$ puis $S_{n}^{'}$ en fonction de $n.$
Exercice 13
« Suite arithmétique dans la vie courante »
Un particulier effectue un devis auprès d'une entreprise de forage.
Le cout du forage d'un puits est calculé de la manière suivante :
$-\ $Le premier mètre coute $200\,F$
$-\ $Chaque mètre supplémentaire coute $70\,F$ de plus que le précédent.
On note $U_{n}$ le prix du nième foré.
Ainsi $U_{1}=200$
1. Calcule $U_{2}$ et $U_{3}$
2. Quelle est la nature de la suite $U_{n}$ ?
Donner l'expression de Un en fonction de $n.$
3. Déterminer le prix à payer pour forer un puits de $9$ mètres de profondeur.
Exercice 14
Une personne loue une maison à partir du $1^{er}$ janvier $2010.$
Le loyer annuel initial est $250.000^{f}$
La personne s'engage à occuper la maison pendant 10 ans complets et accepte une augmentation annuelle de $5\%$
du loyer (c'est-à-dire chaque année, il paye $\%$ de plus que l'année précédente).
On désigne par Un le loyer payé lors de la nième année.
1. Calculer le loyer $U_{2}$ payé au $^{er}$ janvier $2011$
2) a) Calculer $U_{n}+1$ en fonction de $U_{n}.$
En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$
a. donner l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n.$
Calculer $U_{10}$
3) Quel est le montant total des loyers au bout des $10$ années ?
Exercice 15
« Détermination d'une suite »
Soit $\left(U_{n}\right)n\geq 1$ une suite arithmétique telle que $U_{8}=1$ et $U_{25}=-16$
1. Déterminer la raison $r$ et le premier terme $U_{1}$ de cette suite.
2. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n.$
Exercice 16
« Détermination d'une suite »
$\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_{1}$ et de raison $q$ strictement positif.
1. Déterminer $q$ sachant que :
$625U_{12}=16U_{8}$
$\text{5On remarquera que\ :\ 625=5'4\text{ et }16=2^{4})$
2. Calculer $U_{1}$ sachant que :
$U_{3}=\dfrac{12}{125}$
3. On pose $S_{n}=U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}.$
Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n.$
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