Série N°2 : Polynômes - 1er L
Exercice 1 :
Identification d'un polynôme
Parmi les fonctions numériques suivantes, reconnaître celles qui sont des polynômes et préciser le degré et le coefficient du terme de plus haut degré
1. $f(x)=10x^{2}-5x+2x^{7}$ ;
$g(x)=\sqrt{x^{2}-5x^{2}+7}$ ;
$h(x)=\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+7x}{\sqrt{2}}$ ;
$p(x)=3x^{5}+|x|-7$
2. $f(x)=\left(x\sqrt{3}-2\right)\left(x^{2}+\pi\right)$ ;
$g(x)=\left(x^{3}-2x^{2}\right)\left(x^{5}-3x\right)-x^{8}$ ;
$h(x)=\dfrac{x^{4}-81}{x^{2}+9}$ ;
$p(x)=-\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{7}{x}+x^{2}$
Exercice 2 :
Forme canonique
Mettez chacun des polynômes $P(x)$ sous la forme canonique :
a. $P(x)=x^{2}-4x+9$
b. $P(x)=x^{2}-x+6$
c. $P(x)=2x^{2}-3x+1$
d. $P(x)=2x^{2}-x-1$
e. $P(x)=x^{2}+9$
f. $P(x)=x^{2}-16$
g. $P(x)=-x^{2}-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{9}$
Exercice 3 :
Équation du second degré
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations et inéquations suivantes :
a. $x^{2}+2x-1=0$ ;
$b. -x^{2}+x-1=0$ ;
c. $-5x^{2}+x+1=0$
d. $3x^{2}+5x-1=0$ ;
e. $169x^{2}+13x-1=0$ ;
f. $\dfrac{1}{2}x^{2}+5x-1=0$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacun des systèmes d'équations suivantes :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ xy&=&3 \end{array}\right.$ ;
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&13\\ xy&=&40 \end{array}\right.$
c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&-1\\ xy&=&-1 \end{array}\right.$ ;
d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&2\\ xy&=&3 \end{array}\right.$
e. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ xy&=&-12 \end{array}\right.$
Exercice 4 :
Équation du second degré
1. Étudie le signe de chacune des trinômes
a. $x^{2}+2x-1$ ;
b. $-4x^{2}+5x-2$ ;
c. $3x^{2}-12x-9=0$
d. $-36x^{2}+64$ ;
e. $x^{2}-6x+8=0$ ;
f. $x^{2}-x=0$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacun des inéquations suivantes :
a. $x^{2}+x-2<0$ ;
b. $3x^{2}-6x+3\geq 0$ ;
c. $2x^{2}-x+9>$
d. $2x^{2}-x+1\geq 0$ ;
e. $x^{2}-\dfrac{1}{2}x-1<0$ ;
f. $x^{2}-2x+5\leq 0$
3. Factoriser si possible les polynômes du second degré :
a. $f(x)=x^{2}+6x-7$ ;
b. $f(x)=2x^{2}-x+1$ ;
c. $f(x)=x^{2}+11x-26$
Exercice 5 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.
On considère le polynôme $P$ définie par : $P(x)=x^{3}-x^{2}-5x+6$
1. Montre que $-2$ est une racine de $P(x)$
2. Factorisation $P(x)$ par la méthode de la division euclidienne.
Exercice 6 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.
On considère le polynôme h définie par : $h(x)=-2x^{3}-x^{2}+5x-2$
1. Calculer $h(1)$ Conclure.
2. Factorisation $P(x)$ par la méthode de la division euclidienne.
Exercice 7 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.
On considère le polynôme $h$ définie par : $k(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$
1. Trouve une racine évidente $k(x)$
2. Factorisation $k(x)$ par la méthode de la division euclidienne.
Exercice 8 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.
On considère le polynôme $h$ définie par : $A(x)=2x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$
1. Montre que $4$ est une racine de $A(x)$
2. Factorisation $A$ par la méthode d'identification des coefficients.
Exercice 9 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.
On considère le polynôme h définie par : $B(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$
1. Calcule $B(1)$ et $B(-2)$
2. Factorisation $B$ par la méthode d'identification des coefficients.
Exercice 10 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.
Soit $C$ le polynôme défini par : $C(x)=x^{3}-3x+2$
1. Trouve une racine évidente de $C(x)$
2. Factorise $C(x)$ par la méthode d'identification des coefficients.
Exercice 11 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode de Höner.
On considère le polynôme h définie par : $A(x)=2x^{3}-3x^{2}-23x+12.$
1. Montre que $4$ est une racine de $A(x).$
2. Factorisation $A$ par la méthode de Höner.
Exercice 12 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de Höner.
On considère le polynôme h définie par : $B(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$
1. Calcule $B(1)$ et $B(-2)$
2. Factorisation $B$ par la méthode d'identification de Honer.
Exercice 13 :
Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de Höner.
Soit $C$ le polynôme défini par : $C(x)=x^{3}-3x+2$
1. Trouve une racine évidente de $C(x)$
2. Factorise $C(x)$ par la méthode d'identification de Höner.
Exercice 14 :
Résolution d'équation et d'inéquation.
1. Développe, réduis et ordonne $p(x)=x^{3}-3x+2.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}p(x)=0$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}p(x)\leq 0$
4. Déduire les solution de l'équation : $\left(\sqrt{x}-3\right)^{3}-7\left(\sqrt{x}-3\right)-6=0$
Exercice 15:
On considère le polynôme $f$ définie par : $f(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$
1. Calculer $f(1)$ et $f(-2)$
2. En déduire une factorisation de $f(x).$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $f(x)=0$
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $f(x)\geq 0$
Exercice 16 :
Résolution d'équation et d'inéquation.
Soit le polynôme $p(x)x^{3}+ax^{2}+bx+6$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels ;
1. Déterminer $a$ et $b$ sachant que $p(-2)=0$ et $p(-1)=8$
2. On pose $p(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$
a. Factoriser $p(x)$
b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $p(x)=0$
c. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $p(x)\leq 0$
Exercice 17 :
Résolution d'équation et d'inéquation.
Soit $P$ le polynôme défini par : $P(x)=2x^{3}-5x^{2}-4x+a$
1. Détermine le réel a tel que $P(x)$ soit divisible par $2x-1$
2. Mettre $P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs binômes.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}P(x)=0$ et $P(x)\leq 0$
4. En déduire la résolution de l'équation $P\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$
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