Serie d'exercices : Fonction exponentielle- TL
Exercice 1
Simplifie l’expression suivante :
\[ A = \dfrac{e^{5x} \times e^{-2x}}{e^{-x+2}} \]
Exercice 2
Résoudre dans \( \mathbb{R} \):
1. \( (E) : \dfrac{x(e^x-1)}{x^2+1} = 0 \)
2. \( (I) : \dfrac{x^2+x-2}{e^{2x}-1} \geq 0 \)
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$..
Calculer la fonction dérivée de \( f \) dans chaque cas :
a) \( f(x) = e^{-2x+1} \)
b) \( f(x) = x + 2 - e^x \)
c) \( f(x) = (1 - x)e^x \)
Exercice 4
Déterminer la limite des fonctions suivantes en \( a \):
a) \( f(x) = (2x + 1)e^x + \dfrac{1}{x} \), \( a = +\infty \)
b) \( f(x) = 2 \times \dfrac{e^x-1}{x} + x^2 \), \( a = 0 \)
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive de \( f \) sur $\mathbb{R}$:
a) \( f(x) = e^{4x} \)
b) \( f(x) = e^{3x} - e^{-\dfrac{1}{2}x} + 5 \)
c) \( f(x) = x - \dfrac{3}{4} + 3e^{-2x+1} \)
Exercice 6
Choisir la réponse juste pour chaque affirmation :
\begin{array}{|c|l|c|c|c|}
\hline
N° & Affirmations & A & B & C \\
\hline
1 & \text{Pour tout } x \neq 0 , \dfrac{e^{2x} - e^x}{e^x + 1} \text{ est égale à } & \dfrac{e^x - 1}{1-e^x} & \dfrac{e^x - 1}{1+e^x} & \dfrac{e^x - e^{-x}}{1-e^x} \\
\hline
2 & \text{Solution de } e^{x^2 - x - 1} = e^{3x - 4} & x = 1 \text{ et } x = -3 & x = -1 \text{ et } x = 3 & x = 1 \text{ et } x = 3 \\
\hline
3 & \text{Limite de } e^x - 2x \text{ en } +\infty & +\infty & -\infty & 0 \\
\hline
4 & \text{Dérivée de } f(x) = xe^{-2x} & f'(x) = 2xe^{2x} & f'(x) = (2x-1)e^{2x} & f'(x) = (1-2x)e^{2x} \\
\hline
\end{array}
Exercice 7
Simplifier les expressions suivantes :
a) \( (e^{2x})^2 \times (e^{-x})^2 \)
b) \( (e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2 \)
Exercice 8
Etudier le signe de chacune des expressions suivantes :
1. \( B = e^{2x} + e^x - 2 \) .
2. \( C = e^x - 2e^{-x} + 1 \) .
Exercice 9
Déterminer la limite en \( +\infty \) et en \( -\infty \) des fonctions suivantes :
a) \( f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{e^x + 2} \)
b) \( f(x) = \dfrac{x e^x}{x + 1} \)
c) \( f(x) = \dfrac{e^{x}+1}{e^x + 2} \)
Exercice 10
Dans chacun des cas suivants,trouver une primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) :
a) \( f(x) = e^{3x} - e^{-\dfrac{1}{2}x} + 5 \)
b) \( f(x) = \dfrac{e^{2x}}{1 + e^{2x}} \)
c) \( f(x) = (2x - 3) e^{-x^2 + 3x + 1} \)
Exercice 11
Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par: $f(x) = 1 - x + e^{x}$. On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$.
1. Préciser l'ensemble de définition de $f$, noté $D_f$.
2. Calculer la limite de $f$ en $-\infty$.
3. a) Vérifie que pour tout nombre réel $x \neq 0$, $f(x) = x \left( \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{e^x}{x} \right)$.
b) En Déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
4. a) Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = -x + 1$ est asymptote oblique à $(C)$ en $-\infty$.
b) Préciser la position relative de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$.
5. a) On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $f'(x)$.
b)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) = 0$.
c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x) > 0$.
d) En Déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Reproduire et complèter le tableau suivant :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}
Tracer $(C)$ et $(\Delta)$ sur $[-3 ; 2]$.
Exercice 12
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$. L'unité graphique est le centimètre.
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $]-\infty;2]$ par $f(x) = (-2x + 3)e^x$.
On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le repère $(O, I, J)$.
1. Justifier que
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0
\]
puis interprèter graphiquement ce résultat.
2. a) Vérifier que pour tout élément $x$ de $]-\infty;2]$, $f'(x) = (-2x + 1)e^x$.
b) Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ sur $]-\infty;2]$.
En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty;2]$.
d)Dresser le tableau de variation de $f$.
3. Soit A le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des ordonnées.
Déterminer les coordonnées respectives des points A et B.
4. Recopier et complèter le tableau des valeurs ci-dessous.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
\text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x) & 0,2 & 0,4 & 1,8 & 3,3 & & & & & -7,4 \\
\hline
\end{array}
5. Construire $(C)$ sur l'intervalle $]-\infty;2]$.
EXERCICE 13
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1) $e^{2x+1} = e^{3x+7}$
2) $e^{-x+17} = e^x$
3) $e^{x+3}\times e^{x-2} = e^3$
4) $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$
5)$e^{x(x+1)} - 8e^{x+2} - 9e^2 = 0$
6) $2e^{2x-4} + 5e^{x-2} - 3 = 0$
EXERCICE 14
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes
1) $e^{3x+2} \leq e$
2) $e^x - 7 < 0$
3) $e^{2x} - 9 > 0$
4) $e^x + 1 > 0$
5) $e^x(e^x - 4) < 0$
6) $e^{2x} + e^x - 6 \leq 0$
7) $e^{2x} + e^x - 2 \geq 0$
EXERCICE 15
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
1) $e^{2x} + e^x + 1 = 0$
2) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
3) $2e^{2x} + 5e^x + 8 = 0$
4) $2e^{2x} + 4e^x + 2 = 0$
5) $e^x - e^x - 6 = 0$
6) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
7) $e^{2x} + e^x + 1 > 0$
8) $3e^{2x} - 18e^x + 27 \leq 0$
9) $e^x - e^x - 11 > 0$
10) $e^x - 1 \geq 3e^x$
11) $e^{x+1} = e^x$
12) $e^x - e^x - 15e^x = e^x$
13) $e^{x+1} \leq e$
14) $e^{x+1} \leq e^x$
15) $3e^{2x} - e^x + 2 \leq 0$
16) $e^{x+1} - 6e^x + 8e^x \leq 0$
EXERCICE 16
Soit le polynôme $P(x)=x^3 - x^2 - 4x + 4$
1) Calculer $P(1)$. Écrire $P(x)$ sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
2) Résoudre $P(x) = 0$.
3) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de chacune des équations
a) $(\ln x)^3 - (\ln x)^2 - 4(\ln x) + 4 = 0$
b) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 = 0$
c) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 \geq 0$
EXERCICE 17
Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$h(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$
1) Calculer $h(-2)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ :
$h(x) = 0$ et $h(x) > 0$
2) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ :
a) des équations
$2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$ \\
$2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$
b) des inéquations
$2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$ \\
$2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$
EXERCICE 18
Résoudre les systèmes suivants
$\begin{cases}
3e^x - 4e^y = -6 \\
2e^x + e^y = 7
\end{cases}$
$\begin{cases}
xy = -15 \\
e^x e^y = e^{-2}
\end{cases}$
$\begin{cases}
\ln x + \ln 4 = \ln 3 + \ln y \\
e^x = e^{x-2}
\end{cases}$
EXERCICE 19
1) Développer l’expression
$A = e^{x-2} - (x + 1)(x - 2)$
2) Résoudre les équations suivantes
A) $e^{3x} - 2e^{x+1} - e^x + 2 = 0$
B) $e^{x+2} = e^{x^2 + 4x}$
EXERCICE 20
1) Déterminer les racines du polynôme
$P(x) = x^2 + 4x - 5$
2) En déduire les solutions de l’équation
$e^{2x} + 4e^x = 5$
3) Résoudre les équations suivantes
A) $e^{2x} + e^x - 2 = 0$
B) $e^{2x+1} + e^{x+1} - 2e = 0$
C) $e^x - 2e^{-x} + 1 = 0$
EXERCICE 21
Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes où $a$ représente un réel quelconque
\[
A = \dfrac{e^{x}}{e^{x}}, \quad B = e^x (1 + 2e^{-x}), \quad C = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad D = (e^x + e^{-x})^2
\]
\[
E = e^{2x} \cdot e^{-2x}, \quad F = e^{2x+1} \cdot e^{-2x}, \quad G = \dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}}, \quad H = \dfrac{e^{x+1}}{(e^x)^2}
\]
EXERCICE 22
Démontrer que pour tout réel $x$, on a :
1) $\dfrac{e^x-1}{e^{x+1}} = \dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
2) $\dfrac{e^x-1}{e^{2x}} = e^{-x} - e^{-2x}$
3) $\dfrac{e^{-x}+1}{1+e^x} = e^{-x}$
EXERCICE 23
Calculer la dérivée de la fonction $f$
1) $f(x) = e^{x^2 - x}$
2) $f(x) = e^{x^3 - 2x}$
3) $f(x) = \dfrac{1-e^{-x}}{1-2e^x}$
4) $f(x) = \dfrac{2e^x}{e^{x-1}}$
EXERCICE 24
Déterminer les limites suivantes
1) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} + 1$
2) $\lim\limits_{x \to 0} e^{-x} + 1$
3) $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} + 1$
4) $\lim\limits_{x \to +\infty} xe^{x}$
5) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-x}$
6) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}$
7) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{x}+1}$
8) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1+e^x}$
9) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x +\dfrac{1}{x}$
10) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+e^{-2x}}$
11) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x}+e^x + 1$
12) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+1}{2x}$
13) $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 1)e^x$
14) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x - x^2 - x$
EXERCICE 25
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = (1 - x)e^x + 1$
1) Déterminer le domaine de définition de $f$ puis les limites aux bornes. Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
2) Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
3) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
4) Déterminer la nature de la branche infinie de $C_f$ en $-\infty$.
5) Tracer la courbe.
EXERCICE 26
On considère la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = e^{x^2 - 2x} \).
1)Déterminer le domaine de définition de \( f \) et les limites aux bornes.
2)Calculer la fonction dérivée de \( f \), étudier son signe puis dresser le tableau de variations de \( f \).
3)Déterminer l’équation de la tangente aux points d’abscisse \( 0 \) et \( 2 \).
4)Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \( f(x) = 1 \).
EXERCICE 27
Soit la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \).
1)Déterminer le domaine de définition de \( f \).
a) Calculer la limite de \( f \) en \(-\infty\). En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe en \(-\infty\).
b) Calculer la limite de \( f \) en \(+\infty\). En déduire l’équation d’une deuxième asymptote à la courbe en \(+\infty\).
c) Calculer la fonction dérivée de \( f \), étudier son signe puis dresser le tableau de variations de \( f \).
2) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
3) Montrer que pour tout \( x \) réel, \( f(-x) = -f(x) \). Que peut-on en déduire pour la fonction \( f \) et pour sa courbe représentative ?
EXERCICE 28
Soit la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \frac{2e^x - 1}{e^x - 1} \).
1) Déterminer les réels \( a \) et \( b \) tels que \( f(x) = a + \frac{b}{e^x - 1} \).
2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \( f \) et étudier les limites aux bornes de cet ensemble de définition.
a) Déterminer la dérivée \( f' \) de la fonction \( f \).
b) Étudier le sens de variation de la fonction \( f \).
c) Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \).
4)On appelle \( C \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) (unité 2 cm).
a) Montrer que le point \( A(0, 2) \) est un centre de symétrie pour \( C \).
b) Tracer \( C \).
EXERCICE 29
Soit \( f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \).
Déterminer l’ensemble de définition de \( f \).
Montrer que \( f(x) + f(-x) = 0 \). Conclure.
Montrer que l’on peut écrire, pour \( x \in D_f \), \( f(x) = 1 + \frac{2}{e^x - 1} \).
Dresser le tableau de variation et construire \( C_f \) dans un repère orthonormé (unité 2 cm).
EXERCICE 30
Soit \( f(x) = \frac{-1}{e^x - 1} \).
1) Dresser le tableau de variation de \( f \).
2) Donner l’équation de la tangente à \( f \) en \( x_0 = 0 \).
3) Montrer que le point \( (\ln 2, -1/2) \) est un centre de symétrie pour la courbe \( C_f \).
4) Tracer la courbe \( C_f \).
EXERCICE 31
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
\[ f(x) = x + \ln (2 - e^x) \]
1) Résoudre l’inéquation \( 2 - e^x > 0 \). En déduire le domaine de définition de \( f \).
2) Étudier les limites de \( f \) en \(-\infty\) et \( \ln 2 \).
3) Déterminer le tableau de variation de \( f \).
4)a)Montrer que pour tout \( x \) de \( D_f \),
\[ f(x) = x + \ln 2 + \ln (1 - e^x / 2) \].
b) Montrer que la droite d’équation \( y = x + \ln 2 \) est une asymptote en \(-\infty\) à la courbe \( C_f \). Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
5) Tracer la courbe \( C_f \) dans un plan muni d’un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) (unité 1 cm).
EXERCICE 32 (Bac L2 1999)
On considère la fonction numérique définie par \( f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x} \). \( C \) est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
A) Étude de la fonction \( f \)
1)a) Déterminer son ensemble de définition.
b)Déterminer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
c)Calculer \( f'(x) \) et déterminer son signe.
d)Dresser le tableau de variation.
2)a) Démontrer que le point \( (0, -1/2) \) est un centre de symétrie pour la courbe.
b)Résoudre dans \( \mathbb{R} \) : \( 2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0 \).
c)Déterminer l’équation de la tangente à \( f \) au point d’abscisse \( x_0 = 2 \).
3) Tracer la courbe \( C \) dans le plan muni d’un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) (unité graphique 4 cm).
B) Calcul intégral}
1) a) Vérifier que pour tout \( x \) réel :
\[ f(x) = \frac{1 - 2e^x}{1 + e^x} \].
b)En déduire les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
2) Déterminer l’aire en cm\(^2\) du domaine plan délimité par \( C \), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation \( x = \ln 3 \).
EXERCICE 33 (Bac L2 2000)
Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 2} \), et \( C_f \) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 2 cm).
1) a) Quel est l’ensemble de définition de \( f \) ?
On le notera \( D \).
b)Calculer la limite de \( f \) en \(-\infty\). En déduire une asymptote à \( C_f \).
c)Vérifier que pour tout \( x \) de \( D \), \( f(x) = \frac{1 + 2e^{-x}}{1 - 2e^{-x}} \).
d)Démontrer que la droite d’équation \( x = \ln 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( C_f \).
2) Déterminer \( f'(x) \), son signe et dresser le tableau de variation de \( f \).
3) Tracer la courbe \( C_f \).
4) a)Déterminer les réels \( a \) et \( b \) tels que pour tout \( x \) de \( D \),
\[ f(x) = a + \frac{b}{e^x - 2} \].
b) En déduire l’aire en cm\(^2\) de la partie du plan comprise entre \( C_f \), l’axe des abscisses, et les droites d’équation \( x = 2 \) et \( x = 3 \).
EXERCICE 34
PROBLÈME :
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité graphique 1cm.
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 2 + \frac{1}{e^x - 1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.
1. Justifier que la fonction $f$ est définie sur $D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$. (0,5 p)
2. Calculer les limites de $f(x)$ aux bornes de $D_f$. Interpréter graphiquement les résultats. (1,75 p)
3. Étudier le sens de variations de $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$. (1,75 p)
4. Déterminer l'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des abscisses. (1 p)
5. Montrer que le point $I\left(\frac{0}{3/2}\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$. (1,5 p)
6. Tracer la courbe $(C_f)$. (1,5 p)
7. Soit la fonction $F$ définie dans $[0; +\infty[$ par $F(x) = x + \ln(e^x - 1)$. (1 p)
a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $]0; +\infty[$.
b. Calculer en $\text{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \ln 2$ et $x = \ln 8$. (1 p)
Correction des exercices
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