Exercice 1  

Simplifie l’expression suivante :  
$$A={\displaystyle \frac{e^{5x}\times e^{-2x}}{e^{-x+2}}}$$  

Exercice 2  

Résoudre dans $\mathbb{R}$:
1. $(E):{\displaystyle \frac{x(e^x-1)}{x^2+1}}=0$  
2. $(I):{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{e^{2x}-1}}\ge 0$  

Exercice 3  

Dans chacun des cas suivants, on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$..
Calculer la fonction dérivée de $f$ dans chaque cas :

a) $f(x)=e^{-2x+1}$  
b) $f(x)=x+2-e^x$  
c) $f(x)=(1-x)e^x$  

Exercice 4  

Déterminer la limite des fonctions suivantes en $a$:

a) $f(x)=(2x+1)e^x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, $a=+\mathrm{\infty }$  
b) $f(x)=2\times {\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}+x^2$, $a=0$  

Exercice 5  

Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$:  
a) $f(x)=e^{4x}$  
b) $f(x)=e^{3x}-e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}x}+5$  
c) $f(x)=x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+3e^{-2x+1}$  

Exercice 6  

Choisir la réponse juste pour chaque affirmation :
$$\begin{array}{|clccc|}\hline N°& Affirmations& A& B& C\\ 1& \text{Pour tout }x\ne 0,{\displaystyle \frac{e^{2x}-e^x}{e^x+1}}\text{ est égale à }& {\displaystyle \frac{e^x-1}{1-e^x}}& {\displaystyle \frac{e^x-1}{1+e^x}}& {\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{1-e^x}}\\ 2& \text{Solution de }{e}^{x^2-x-1}=e^{3x-4}& x=1\text{ et }x=-3& x=-1\text{ et }x=3& x=1\text{ et }x=3\\ 3& \text{Limite de }{e}^x-2x\text{ en }+\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& 0\\ 4& \text{Dérivée de }f(x)=x{e}^{-2x}& f^{\prime }(x)=2x{e}^{2x}& f^{\prime }(x)=(2x-1)e^{2x}& f^{\prime }(x)=(1-2x)e^{2x}\\ \hline\end{array}$$

Exercice 7  

Simplifier les expressions suivantes :
a) $(e^{2x}{)}^2\times (e^{-x}{)}^2$  
b) $(e^x+e^{-x}{)}^2-(e^x-e^{-x}{)}^2$  

Exercice 8  

Etudier le signe de chacune des expressions suivantes :  
1. $B=e^{2x}+e^x-2$ .  
2. $C=e^x-2e^{-x}+1$ .  

Exercice 9  

Déterminer la limite en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$ des fonctions suivantes :  
a) $f(x)={\displaystyle \frac{e^{x+1}}{e^x+2}}$  
b) $f(x)={\displaystyle \frac{x{e}^x}{x+1}}$  
c) $f(x)={\displaystyle \frac{e^x+1}{e^x+2}}$ 

Exercice 10  

Dans chacun des cas suivants,trouver une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ :  
a) $f(x)=e^{3x}-e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}x}+5$  
b) $f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}}$  
c) $f(x)=(2x-3)e^{-x^2+3x+1}$

Exercice 11

Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par: $f(x) = 1 - x + e^{x}$. On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$.

     1. Préciser l'ensemble de définition de $f$, noté $D_f$.
    
     2. Calculer la limite de $f$ en $-\infty$.
    
     
      3. a) Vérifie que pour tout nombre réel $x \neq 0$, $f(x) = x \left( \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{e^x}{x} \right)$.
        
          b) En Déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    
    
      4. a) Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = -x + 1$ est asymptote oblique à $(C)$ en $-\infty$.
        
         b) Préciser la position relative de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$.
    
    
      5. a) On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $f'(x)$.
        
         b)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) = 0$.
        
         c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x) > 0$.
        
         d) En Déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
    
    
     Reproduire et complèter le tableau suivant :  

 $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline x& -3& -2& -1& 0& 1& 2\\ f(x)& & & & & & \\ \hline\end{array}$$

    
     Tracer $(C)$ et $(\Delta)$ sur $[-3 ; 2]$.

Exercice 12

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$. L'unité graphique est le centimètre.  
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $]-\infty;2]$ par $f(x) = (-2x + 3)e^x$.  
On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le repère $(O, I, J)$.  

    1. Justifier que
    $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$
    puis interprèter graphiquement ce résultat.      
   
    2.  a) Vérifier que pour tout élément $x$ de $]-\infty;2]$, $f'(x) = (-2x + 1)e^x$.       
        b) Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ sur $]-\infty;2]$.  
         En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty;2]$.  
        
        d)Dresser le tableau de variation de $f$.  
 
    
    3. Soit A le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des ordonnées.  
    Déterminer les coordonnées respectives des points A et B.  
    
    4. Recopier et complèter le tableau des valeurs ci-dessous.  
    
  $$\begin{array}{|cccccccccc|}\hline x& -4& -3& -2& -1& 0& 0,5& 1& 1,5& 2\\ \text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x)& 0,2& 0,4& 1,8& 3,3& & & & & -7,4\\ \hline\end{array}$$
    
    
    5. Construire $(C)$ sur l'intervalle $]-\infty;2]$. 

EXERCICE 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes

1) $e^{2x+1} = e^{3x+7}$
2) $e^{-x+17} = e^x$
3) $e^{x+3}\times e^{x-2} = e^3$
4) $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$
5)$e^{x(x+1)} - 8e^{x+2} - 9e^2 = 0$
6) $2e^{2x-4} + 5e^{x-2} - 3 = 0$

EXERCICE 14

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

    1) $e^{3x+2} \leq e$
    2) $e^x - 7 < 0$
    3) $e^{2x} - 9 > 0$
    4) $e^x + 1 > 0$
    5) $e^x(e^x - 4) < 0$
    6) $e^{2x} + e^x - 6 \leq 0$
    7) $e^{2x} + e^x - 2 \geq 0$

EXERCICE 15

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

    1) $e^{2x} + e^x + 1 = 0$
    2) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
    3) $2e^{2x} + 5e^x + 8 = 0$
    4) $2e^{2x} + 4e^x + 2 = 0$
    5) $e^x - e^x - 6 = 0$
    6) $e^x - 13e^x - 48 = 0$
    7) $e^{2x} + e^x + 1 > 0$
    8) $3e^{2x} - 18e^x + 27 \leq 0$
    9) $e^x - e^x - 11 > 0$
   10) $e^x - 1 \geq 3e^x$
   11) $e^{x+1} = e^x$
   12) $e^x - e^x - 15e^x = e^x$
   13) $e^{x+1} \leq e$
   14) $e^{x+1} \leq e^x$
   15) $3e^{2x} - e^x + 2 \leq 0$
   16) $e^{x+1} - 6e^x + 8e^x \leq 0$

EXERCICE 16

Soit le polynôme $P(x)=x^3 - x^2 - 4x + 4$

    1) Calculer $P(1)$. Écrire $P(x)$ sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
    2) Résoudre $P(x) = 0$.
    3) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de chacune des équations
    
        a) $(\ln x)^3 - (\ln x)^2 - 4(\ln x) + 4 = 0$
        b) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 = 0$
        c) $e^{3x} - e^{2x} - 4e^x + 4 \geq 0$
    

EXERCICE 17

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$h(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$

    1) Calculer $h(-2)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ :
    $h(x) = 0$ et $h(x) > 0$
    2) En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ :
    
        a) des équations
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$ \
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 = 0$
        b) des inéquations
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$ \
        $2e^{3x} - e^{2x} - 8e^x + 4 > 0$
    

EXERCICE 18

Résoudre les systèmes suivants

     
    $$$\{\begin{array}{l}3e^x-4e^y=-6\\ 2e^x+e^y=7\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}xy=-15\\ e^x{e}^y=e^{-2}\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}\ln x+\ln 4=\ln 3+\ln y\\ e^x=e^{x-2}\end{array}$$$

EXERCICE 19

    1) Développer l’expression
    $A = e^{x-2} - (x + 1)(x - 2)$
    2) Résoudre les équations suivantes
    
        A) $e^{3x} - 2e^{x+1} - e^x + 2 = 0$
        B) $e^{x+2} = e^{x^2 + 4x}$
    

EXERCICE 20

    1) Déterminer les racines du polynôme
    $P(x) = x^2 + 4x - 5$
    2) En déduire les solutions de l’équation
    $e^{2x} + 4e^x = 5$
    3) Résoudre les équations suivantes
    
        A) $e^{2x} + e^x - 2 = 0$
        B) $e^{2x+1} + e^{x+1} - 2e = 0$
        C) $e^x - 2e^{-x} + 1 = 0$
    

EXERCICE 21

Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes où $a$ représente un réel quelconque
$$A={\displaystyle \frac{e^x}{e^x}},B=e^x(1+2e^{-x}),C={\displaystyle \frac{e^{x+2}}{e^{x+1}}},D=(e^x+e^{-x}{)}^2$$
$$E=e^{2x}\cdot e^{-2x},F=e^{2x+1}\cdot e^{-2x},G={\displaystyle \frac{e^{x+2}}{e^{x+1}}},H={\displaystyle \frac{e^{x+1}}{(e^x{)}^2}}$$

EXERCICE 22

Démontrer que pour tout réel $x$, on a :

    1) $\dfrac{e^x-1}{e^{x+1}} = \dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
    2) $\dfrac{e^x-1}{e^{2x}} = e^{-x} - e^{-2x}$
    3) $\dfrac{e^{-x}+1}{1+e^x} = e^{-x}$

EXERCICE 23

Calculer la dérivée de la fonction $f$

    1) $f(x) = e^{x^2 - x}$
    2) $f(x) = e^{x^3 - 2x}$
    3) $f(x) = \dfrac{1-e^{-x}}{1-2e^x}$
    4) $f(x) = \dfrac{2e^x}{e^{x-1}}$

EXERCICE 24

Déterminer les limites suivantes

    1) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} + 1$
    2) $\lim\limits_{x \to 0} e^{-x} + 1$
    3) $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} + 1$
    4) $\lim\limits_{x \to +\infty} xe^{x}$
    5) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-x}$
    6) $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}$
    7) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{x}+1}$
    8) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1+e^x}$
    9) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x +\dfrac{1}{x}$
   10) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+e^{-2x}}$
   11) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x}+e^x + 1$
   12) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+1}{2x}$
   13) $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 1)e^x$
   14)  $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x - x^2 - x$

EXERCICE 25

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = (1 - x)e^x + 1$

    1) Déterminer le domaine de définition de $f$ puis les limites aux bornes. Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
    2) Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    3) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
    4) Déterminer la nature de la branche infinie de $C_f$ en $-\infty$.
    5) Tracer la courbe.

EXERCICE 26

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=e^{x^2-2x}$.

    1)Déterminer le domaine de définition de $f$ et les limites aux bornes.
    2)Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    3)Déterminer l’équation de la tangente aux points d’abscisse $0$ et $2$.
    4)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(x)=1$.

EXERCICE 27

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}$.

    1)Déterminer le domaine de définition de $f$.
    
        a) Calculer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$. En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe en $-\mathrm{\infty }$.
        b) Calculer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$. En déduire l’équation d’une deuxième asymptote à la courbe en $+\mathrm{\infty }$.
        c) Calculer la fonction dérivée de $f$, étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$.
    
    2) Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
    3) Montrer que pour tout $x$ réel, $f(-x)=-f(x)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ et pour sa courbe représentative ?

EXERCICE 28

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{2e^x-1}{e^x-1}$.

    1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\frac{b}{e^x-1}$.
    2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ et étudier les limites aux bornes de cet ensemble de définition.
     
    
        a) Déterminer la dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f$.
        b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
        c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    
    4)On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité 2 cm).
    
        a) Montrer que le point $A(0,2)$ est un centre de symétrie pour $C$.
        b) Tracer $C$.
    

EXERCICE 29

Soit $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}$.

     Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
     Montrer que $f(x)+f(-x)=0$. Conclure.
     Montrer que l’on peut écrire, pour $x\in D_f$, $f(x)=1+\frac{2}{e^x-1}$.
     Dresser le tableau de variation et construire $C_f$ dans un repère orthonormé (unité 2 cm).

EXERCICE 30

Soit $f(x)=\frac{-1}{e^x-1}$.

    1) Dresser le tableau de variation de $f$.
    2) Donner l’équation de la tangente à $f$ en $x_0=0$.
    3) Montrer que le point $(\ln 2,-1/2)$ est un centre de symétrie pour la courbe $C_f$.
    4) Tracer la courbe $C_f$.

EXERCICE 31

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$$f(x)=x+\ln (2-e^x)$$

    1) Résoudre l’inéquation $2-e^x>0$. En déduire le domaine de définition de $f$.
    2) Étudier les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et $\ln 2$.
    3) Déterminer le tableau de variation de $f$.
    4)a)Montrer que pour tout $x$ de $D_f$,
    $$f(x)=x+\ln 2+\ln (1-e^x/2)$$.
       b) Montrer que la droite d’équation $y=x+\ln 2$ est une asymptote en $-\mathrm{\infty }$ à la courbe $C_f$. Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
    5) Tracer la courbe $C_f$ dans un plan muni d’un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité 1 cm).

EXERCICE 32 (Bac L2 1999)

On considère la fonction numérique définie par $f(x)=\frac{1-2e^x}{1+e^x}$. $C$ est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

A) Étude de la fonction $f$

    1)a) Déterminer son ensemble de définition.
      b)Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$.
      c)Calculer $f^{\prime }(x)$ et déterminer son signe.
      d)Dresser le tableau de variation.
    2)a) Démontrer que le point $(0,-1/2)$ est un centre de symétrie pour la courbe.
      b)Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $2e^{2x}-5e^x+2=0$.
      c)Déterminer l’équation de la tangente à $f$ au point d’abscisse $x_0=2$.
    3) Tracer la courbe $C$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité graphique 4 cm).

B) Calcul intégral}

    1) a) Vérifier que pour tout $x$ réel :
    $$f(x)=\frac{1-2e^x}{1+e^x}$$.
      b)En déduire les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    2) Déterminer l’aire en cm${}^2$ du domaine plan délimité par $C$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=\ln 3$.

EXERCICE 33 (Bac L2 2000)

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{e^x+2}{e^x-2}$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 2 cm).

     
    
    1) a) Quel est l’ensemble de définition de $f$ ?
        On le notera $D$.
       b)Calculer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$. En déduire une asymptote à $C_f$.
       c)Vérifier que pour tout $x$ de $D$, $f(x)=\frac{1+2e^{-x}}{1-2e^{-x}}$.
       d)Démontrer que la droite d’équation $x=\ln 2$ est une asymptote verticale à la courbe $C_f$.
    
    2) Déterminer $f^{\prime }(x)$, son signe et dresser le tableau de variation de $f$.
    3) Tracer la courbe $C_f$.
     
    
    4) a)Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x$ de $D$,
        $$f(x)=a+\frac{b}{e^x-2}$$.
        b) En déduire l’aire en cm${}^2$ de la partie du plan comprise entre $C_f$, l’axe des abscisses, et les droites d’équation $x=2$ et $x=3$.

EXERCICE 34

PROBLÈME :   

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité graphique 1cm.

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 2 + \frac{1}{e^x - 1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.

    1. Justifier que la fonction $f$ est définie sur $D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$.  (0,5 p)
    
    2. Calculer les limites de $f(x)$ aux bornes de $D_f$. Interpréter graphiquement les résultats.  (1,75 p)
    
    3. Étudier le sens de variations de $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$.  (1,75 p)
    
    4. Déterminer l'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des abscisses.  (1 p)
    
    5. Montrer que le point $I\left(\frac{0}{3/2}\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$.  (1,5 p)
    
    6. Tracer la courbe $(C_f)$.  (1,5 p)
    
    7. Soit la fonction $F$ définie dans $[0; +\infty[$ par $F(x) = x + \ln(e^x - 1)$.  (1 p)
    
        a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $]0; +\infty[$.
        
        b. Calculer en $\text{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \ln 2$ et $x = \ln 8$.  (1 p)

Correction des exercices