Solution des exercices : Calcul algébrique 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1 "Identités remarquables"
1) Nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
Soit : $A=(2x+3)^{2}$
$A$ est de la forme $(a+b)^{2}$ avec ; $a=2x\ $ et $\ b=3$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A&=&(2x+3)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 2x\times 3+3^{2}\\\\&=&4x^{2}+12x+9\end{array}$
D'où, $\boxed{A=4x^{2}+12x+9}$
Soit : $B=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}.$
Alors, $B$ est de la forme $(a+b)^{2}$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=\dfrac{3}{4}.$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}+2\times\dfrac{2}{3}x\times\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{12}{12}x+\dfrac{9}{16}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}}$
Soit : $C=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}$
On remarque que $C$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec ; $a=x\ $ et $\ b=\dfrac{1}{3}.$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-2\times x\times\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}\end{array}$
D'où, $\boxed{C=x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}}$
Soit : $D=\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
Alors, $D$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec ; $a=7x\ $ et $\ b=\dfrac{1}{2}$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&(7x)^{2}-2\times 7x\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&49x^{2}-\dfrac{14}{2}x+\dfrac{1}{4}\\\\&=&49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}\end{array}$
D'où, $\boxed{D=49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}}$
Soit : $E=(3x-4)(3x+4)$
On remarque alors que $E$ est de la forme $(a-b)(a+b)$ avec ; $a=3x\ $ et $\ b=4$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E&=&(3x-4)(3x+4)\\\\&=&(3x)^{2}-(4)^{2}\\\\&=&9x^{2}-16\end{array}$
Ainsi, $\boxed{E=9x^{2}-16}$
Soit : $F=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)$
$F$ est de la forme $(a+b)(a-b)$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=1$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}-1^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\end{array}$
D'où, $\boxed{F=\dfrac{4}{9}x^{2}-1}$
2) Factorisons les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
Soit : $A=9x^{2}+6x+1$
On remarque que $A$ est de la forme $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ; $a=3x\ $ et $\ b=1$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl}A&=&9x^{2}+6x+1\\\\&=&(3x+1)^{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{A=(3x+1)^{2}}$
Soit : $B=16x^{2}+9+24x$
Alors, $B$ peut encore s'écrire : $B=16x^{2}+24x+9$
On remarque que $B$ est de la forme $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ; $a=4x\ $ et $\ b=3$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&16x^{2}+24x+9\\\\&=&(4x+3)^{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=(4x+3)^{2}}$
Soit : $C=\dfrac{4}{9}x^{2}-1$
On remarque alors que $A$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=1$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\end{array}$
D'où, $\boxed{C=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)}$
Soit : $D=25x^{2}-10x+1$
On remarque alors que $D$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ; $a=5x\ $ et $\ b=1$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&25x^{2}-10x+1\\\\&=&(5x-1)^{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{D=(5x-1)^{2}}$
Soit : $E=36-12x+x^{2}$
$E$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ; $a=6\ $ et $\ b=x$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E&=&36-12x+x^{2}\\\\&=&(6-x)^{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{E=(6-x)^{2}}$
Soit : $F=4x^{2}-9$
On remarque que $F$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$ avec ; $a=2x\ $ et $\ b=3$
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} F&=&4x^{2}-9\\\\&=&(2x+3)(2x-3)\end{array}$
D'où, $\boxed{F=(2x-3)(2x+3)}$
Exercice 2
Nous allons développer, réduire puis ordonner chacune des expressions suivantes :
Soit : $a(x)=(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}.$
Alors, en développant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} a(x)&=&(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}+2\times 3x\times 1+1^{2}-(x^{2}-2\times x\times 5+5^{2})\\\\&=&9x^{2}+6x+1-(x^{2}-10x+25)\\\\&=&9x^{2}+6x+1-x^{2}+10x-25\\\\&=&8x^{2}+16x-24\end{array}$
Ainsi, $\boxed{a(x)=8x^{2}+16x-24}$
Soit : $b(x)=(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}.$
Alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} b(x)&=&(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}\\\\&=&(4x-3)^{2}+(6x-5)^{2}\\\\ &=&(4x)^{2}-2\times 4x\times 3+3^{2}+[(6x)^{2}-2\times 6x\times 5+5^{2}]\\\\&=&16x^{2}-24x+9+(36x^{2}-60x+25)\\\\&=&16x^{2}-24x+9+36x^{2}-60x+25\\\\&=&52x^{2}-84x+34\end{array}$
D'où, $\boxed{b(x)=52x^{2}-84x+34}$
Soit : $c(x)=(x-9)(3x+5)^{2}.$
Alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} c(x)&=&(x-9)(3x+5)^{2}\\\\&=&(x-9)[(3x)^{2}+2\times 3x\times 5+5^{2}]\\\\ &=&(x-9)(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&x(9x^{2}+30x+25)-9(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-(81x^{2}+270x+225)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-81x^{2}-270x-225\\\\&=&9x^{3}-51x^{2}-245x-225\end{array}$
Donc, $\boxed{c(x)=9x^{3}-51x^{2}-245x-225}$
Soit : $d(x)=(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}).$
Alors, en développant, on trouve :
$\begin{array}{rcl} d(x)&=&(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})\\\\&=&(2x)^{2}-(\sqrt{7})^{2}-(3x\times x+3x\times 2\sqrt{5}+\sqrt{5}\times x+\sqrt{5}\times 2\sqrt{5})\\\\&=&4x^{2}-7-(3x^{2}+6x\sqrt{5}+x\sqrt{5}+10)\\\\&=&4x^{2}-7-3x^{2}-6x\sqrt{5}-x\sqrt{5}-10\\\\&=&x^{2}-7x\sqrt{5}-17\end{array}$
D'où, $\boxed{d(x)=x^{2}-7x\sqrt{5}-17}$
Soit : $e(x)=7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}.$
En développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} e(x)&=&7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x[(2x\sqrt{3})^{2}-2\times 2x\sqrt{3}\times 3+3^{2}]+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x(4x^{2}\times 3-12x\sqrt{3}+9)+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&84x^{3}-84x^{2}\sqrt{3}+63x+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x\end{array}$
Ainsi, $\boxed{e(x)=92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x}$
Exercice 3
Factorisons chacune des expressions suivantes :
Soit : $f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)$
On a alors un facteur commun $(3x+1)$ donc,
$\begin{array}{rcl} f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)&=&(3x+1)[(3x+1)-15]\\\\&=&(3x+1)(3x-14)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=(3x+1)(3x-14)}$
Soit : $g(x)=2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1).$
Dans l'expression de $g$ s'il y a un facteur commun, ça ne peut être que $(\sqrt{2}-x)$ alors, regardons si on peut avoir ce facteur dans $(\sqrt{8}-2x).$
On a :
$\begin{array}{rcl}(\sqrt{8}-2x)&=&(\sqrt{4\times 2}-2x)\\\\&=&(\sqrt{4}\times\sqrt{2}-2x)\\\\&=&(2\sqrt{2}-2x)\\\\&=&2(\sqrt{2}-x)\end{array}$
Donc, $\boxed{(\sqrt{8}-2x)=2(\sqrt{2}-x)}$
Ainsi, dans l'expression de $g(x)$, en remplaçant $(\sqrt{8}-2x)$ par $2(\sqrt{2}-x)$, on obtient :
$$g(x)=4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)$$
On a alors un facteur commun $(\sqrt{2}-x).$
Donc,
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)[4x-(x-1)]\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(4x-x+1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(3x+1)\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=(\sqrt{2}-x)(3x+1)}$
Soit : $h(x)=x^{3}-x-(x+1)(2x+10).$
Dans l'expression de $h$ on factorise $x^{3}-x$
On a alors : $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)$
$\begin{array}{rcl} x^{3}-x&=&x(x^{2}-1)\\\\&=&x(x-1)(x+1)\end{array}$
Donc, $\boxed{x^{3}-x=x(x-1)(x+1)}$
Ainsi, dans l'expression de $h(x)$, en remplaçant $x^{3}-x$ par $x(x-1)(x+1)$, on obtient :
$$h(x)=x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)$$
On reconnait alors un facteur commun $(x+1)$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} h(x)&=&x^{3}-x-(x+1)(2x+10)\\\\&=&x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)\\\\&=&(x+1)[x(x-1)-(2x+10)]\\\\&=&(x+1)(x^{2}-x-2x-10)\\\\&=&(x+1)(x^{2}-3x-10)\end{array}$
Donc, $h(x)=(x+1)(x^{2}-3x-10)$
Par ailleurs, on remarque dans cette dernière expression de $h(x)$ que le terme $(x^{2}-3x-10)$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun.
Mais, on constate que $2\times(-5)=-10\ $ et $\ 2x-5x=-3x$
Ainsi, pour factoriser $(x^{2}-3x-10)$, on adopte la démarche suivante :
$\begin{array}{rcl} x^{2}-3x-10&=&x^{2}+2x-5x-10\\\\&=&x(x+2)-5(x+2)\\\\&=&(x+2)(x-5)\end{array}$
Donc, $(x^{2}-3x-10)=(x+2)(x-5)$
D'où, $\boxed{h(x)=(x+1)(x+2)(x-5)}$
Soit : $j(x)=x^{2}+6x+8.$
On constate que l'expression de $j$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun. Donc, $j(x)$ n'est pas factorisable à travers ces deux méthodes.
Par contre, on a : $4\times 2=8\ $ et $\ 4x+2x=6x$
Ainsi, pour factoriser $j(x)$, on adopte d'abord la démarche suivante :
$\begin{array}{rcl} j(x)&=&x^{2}+6x+8\\\\&=&x^{2}+4x+2x+4+4\\\\&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\end{array}$
On voit alors apparaitre une identité remarquable.
Donc,
$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\\\\&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\end{array}$
Ensuite, en identifiant un facteur commun $(x+2)$, on a :
$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\\\\&=&(x+2)[(x+2)+2]\\\\&=&(x+2)(x+2+2)\\\\&=&(x+2)(x+4)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{j(x)=(x+2)(x+4)}$
Soit : $k(x)=(2x+1)^{2}-4+8x+12.$
En utilisant les identités remarquables on a :
$\begin{array}{rcl}(2x+1)^{2}-4&=&(2x+1-2)(2x+1+2)\\\\&=&(2x-1)(2x+3)\end{array}$
Or, la factorisation par $4$ de $8x+12$ donne : $8x+12=4(2x+3).$
Par suite, $k(x)=(2x-1)(2x+3)+4(2x+3).$
On reconnait alors un facteur commun $(2x+3).$
Donc,
$\begin{array}{rcl} k(x)&=&(2x+1)^{2}-4+8x+12\\\\&=&(2x-1)(2x+3)+4(2x+3)\\\\&=&(2x+3)[(2x-1)+4]\\\\&=&(2x+3)(2x+3)\\\\&=&(2x+3)^{2}\end{array}$
Ainsi, l'expression finale nous renvoie à une identité remarquable.
D'où, $\boxed{k(x)=(2x+3)^{2}}$
Soit : $l(x)=3x^{2}+18x+27.$
En factorisant par $3$ on obtient :
$\begin{array}{rcl}l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\end{array}$
Or, $(x^{2}+6x+9)$ renvoie à une identité remarquable $(x+3)^{2}.$
Par conséquent,
$\begin{array}{rcl} l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\\\\&=&3(x+3)^{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{l(x)=3(x+3)^{2}}$
Soit : $m(x)=9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2.$
On remarque que $9x^{2}-6x\sqrt{2}+2=(3x-\sqrt{2})^{2}.$
Donc, en prenant $(3x-\sqrt{2})$ comme facteur commun on obtient :
$\begin{array}{rcl} m(x)&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2\\\\&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})^{2}+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})[(3x-\sqrt{2})+2x]\\\\&=&(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})\end{array}$
Ainsi, $\boxed{m(x)=(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})}$
Soit : $n(x)=16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}.$
En remarquant que $16(x-3)^{2}=[4(x-3)]^{2}$ et que $49(2x+1)^{2}=[7(2x+1)]^{2}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} n(x)&=&16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}\\\\&=&[4(x-3)]^{2}-[7(2x+1)]^{2}\\\\&=&[4(x-3)-7(2x+1)][4(x-3)+7(2x+1)]\\\\&=&(4x-12-14x-7)(4x-12+14x+7)\\\\&=&(-10x-19)(18x-5)\\\\&=&-(10x+19)(18x-5)\end{array}$
Donc, $\boxed{n(x)=-(10x+19)(18x-5)}$
Soit : $p(x)=(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}.$
Il suffit de remarquer que l'expression de $p(x)$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec, $a=(4x-\sqrt{3})\ $ et $\ b=x.$
Or, d'après une propriété sur la forme factorisée des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
$\begin{array}{rcl} p(x)&=&(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}\\\\&=&[(4x-\sqrt{3})-x]^{2}\\\\&=&(4x-\sqrt{3}-x)^{2}\\\\&=&(3x-\sqrt{3})^{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{p(x)=(3x-\sqrt{3})^{2}}$
Exercice 4
Factorisons chacune de expressions suivantes :
Soit : $A(x)=(7x-1)(4x-2)-(1-7x)(3x-1).$
Alors, $A(x)$ peut encore s'écrire :
$$A(x)=(7x-1)(4x-2)+(7x-1)(3x-1)$$
Donc, en prenant $(7x-1)$ comme facteur commun, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(7x-1)(4x-2)+(-1+7x)(3x-1)\\\\&=&(7x-1)[(4x-2)+(3x-1)]\\\\&=&(7x-1)(4x-2+3x-1)\\\\&=&(7x-1)(7x-3)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A(x)=(7x-1)(7x-3)}$
Soit : $B(x)=9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1).$
On remarque que $9x^{2}-1=(3x-1)(3x+1).$
Par conséquent, on reconnait dans l'expression de $B(x)$ un facteur commun $(3x+1).$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1)\\\\&=&(3x-1)(3x+1)-2(3x+1)(9x-1)\\\\&=&(3x+1)[(3x-1)-2(9x-1)]\\\\&=&(3x+1)(3x-1-18x+2)\\\\&=&(3x+1)(-15x+1)\end{array}$
D'où, $\boxed{B(x)=(3x+1)(-15x+1)}$
Soit : $C(x)=4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}.$
En remarquant que $4(4x+1)^{2}=[2(4x+1)]^{2}$ et que $9(3x+2)^{2}=[3(3x+2)]^{2}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C(x)&=&4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}\\\\&=&[2(4x+1)]^{2}-[3(3x+2)]^{2}\\\\&=&[2(4x+1)-3(3x+2)][2(4x+1)+3(3x+2)]\\\\&=&(8x+2-9x-6)(8x+2+9x+6)\\\\&=&(-x-4)(17x+8)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{C(x)=-(x+4)(17x+8)}$
Soit : $D(x)=25x^{3}-9x$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl} D(x)&=&25x^{3}-9x\\\\&=&x(25x^{2}-9)\\\\&=&x(5x-3)(5x+3)\end{array}$
Donc, $\boxed{D(x)=x(5x-3)(5x+3)}$
Soit : $E(x)=(9x^{2}-24x+16)+(-4x^{2}-4x-1)+(x+3)(10x-6)+(3-5x).$
Alors, on a :
$(9x^{2}-24x+16)=(3x-4)^{2}$
$\begin{array}{rcl} (-4x^{2}-4x-1)&=&-(4x^{2}+4x+1)\\\\&=&-(2x+1)^{2}\end{array}$
$\begin{array}{rcl} (x+3)(10x-6)+(3-5x)&=&2(x+3)(5x-3)-(5x-3)\\\\&=&(5x-3)[2(x+3)-1]\\\\&=&(5x-3)(2x+6-1)\\\\&=&(5x-3)(2x+5)\end{array}$
Donc, $E(x)$ peut encore s'écrire :
$$E(x)=(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} E(x)&=&(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&[(3x-4)-(2x+1)][(3x-4)+(2x+1)]+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(3x-4-2x-1)(3x-4+2x+1)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(x-5)(5x-3)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(5x-3)[(x-5)+(2x+5)]\\\\&=&(5x-3)(x-5+2x+5)\\\\&=&(5x-3)(3x)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{E(x)=3x(5x-3)}$
Exercice 5 "BFEM 2e groupe"
Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse.
1) En développant, $5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}$ on trouve $-19x+8.\quad(\text{faux})$
En effet, le développement de $5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}$ donne :
$\begin{array}{rcl} 5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}&=&5\times 2x-5\times 3-4\times x-4\times 2-10x^{2}\\\\&=&10x-15-4x-8-10x^{2}\\\\&=&-10x^{2}+6x-23\end{array}$
Or, $-10x^{2}+6x-23$ est différent de $-19x+8$
Par conséquent, la proposition est fausse.
2) "Choisir un nombre $a$ , ajouter $2$ au triple de $a$, élevé au carré le nombre obtenu, puis retranché $7$" correspond à l'expression : $a+(2a+3)^{2}-7\quad(\text{faux})$
En effet, soit un nombre $a$ alors,
ajouter $2$ au triple de $a$ signifie : $3a+2$
élevé au carré le nombre obtenu signifie : $(3a+2)^{2}$
puis en retranchant $7$ à cette dernière expression, on obtient :
$$(3a+2)^{2}-7$$
On constate alors que l'expression $(3a+2)^{2}-7$ est différente de $a+(2a+3)^{2}-7.$
D'où, la proposition est fausse.
3) L'expression $-9x^{2}+4=(3x-2)(3x+2).\quad(\text{faux})$
En effet,
$\begin{array}{rcl} -9x^{2}+4&=&-(9x^{2}-4)\\\\&=&-(3x-2)(3x+2)\end{array}$
Or, l'expression $-(3x-2)(3x+2)$ n'est pas égale à $(3x-2)(3x+2)$
Par conséquent, la proposition est fausse.
Exercice 6 "BFEM 2009"
On donne : $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)\ $ et $\ g(x)=(x-2)(1-7x).$
1) Développons, réduisons et ordonnons chacune des expressions suivantes $f(x)\ $ et $\ g(x)$
Soit : $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)\\\\&=&5x^{2}-20-3x\times 4x-3x\times 3+6\times 4x+6\times 3\\\\&=&5x^{2}-20-12x^{2}-9x+24x+18\\\\&=&-7x^{2}+15x-2\end{array}$
Donc, $\boxed{f(x)=-7x^{2}+15x-2}$
Soit : $g(x)=(x-2)(1-7x).$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(x-2)(1-7x)\\\\&=&x\times 1-x\times 7x-2\times 1+2\times 7x\\\\&=&x-7x^{2}-2+14x\\\\&=&-7x^{2}+15x-2\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=-7x^{2}+15x-2}$
2) En déduisons une factorisation de $f(x).$
D'après le résultat de la question $1)$, on constate que $f(x)\ $ et $\ g(x)$ ont la même forme développée.
Donc, $f(x)=g(x)$
D'où, une factorisation de $f(x)$ est donnée par : $\boxed{f(x)=(x-2)(1-7x)}$
Exercice 7
On pose : $f(x)=4x^{2}-12x–7\ $ et $\ g(x)=4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)$
1) Factorisons $g(x).$
On a :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x+1)[(2x-1)+(2-3x)]\\\\&=&(2x+1)(2x-1+2-3x)\\\\&=&(2x+1)(-x+1)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=(2x+1)(-x+1)}$
2) Soit $a$ un nombre réel tel que $f(x)=(2x-3)^{2}-a.$
Montrons que $a=16$ et factorisons $f(x).$
En développant cette expression de $f(x)$, on trouve :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-a\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 3\times 2x+3^{2}-a\\\\&=&4x^{2}-12x+9-a\end{array}$
Donc, $f(x)=4x^{2}-12x+9-a$
Or, d'après la question $1)$, on a : $f(x)=4x^{2}-12x-7$
Donc, par identification, on obtient :
$\begin{array}{rcl} 4x^{2}-12x+9-a=4x^{2}-12x-7&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-12x-7-4x^{2}+12x-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-4x^{2}-12x+12x-7-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=-16\\\\&\Leftrightarrow&a=16\end{array}$
Ainsi, $\boxed{a=16}$
Dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $a$ par sa valeur $16$, on obtient :
$$f(x)=(2x-3)^{2}-16$$
Par suite, une factorisation de $f(x)$ est donnée par :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-16\\\\&=&[(2x-3)-4][(2x-3)+4]\\\\&=&(2x-3-4)(2x-3+4)\\\\&=&(2x-7)(2x+1)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=(2x-7)(2x+1)}$
3) Soit $q(x)=\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}$
a) Trouvons la condition d'existence de $q(x).$
$q(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de $0.$
Cela signifie :
$\begin{array}{rcl} q(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ -2x\neq -1\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-1}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{1}{2}\end{array}$
Donc, $x$ doit être différent de $1\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$ pour que $q(x)$ existe.
b) Simplifions $q(x).$
Pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$, on a :
$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(-2x+1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(1-2x)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)}{(x-1)}\end{array}$
D'où, $\boxed{q(x)=-\dfrac{2x+7}{x-1}}$
c) Calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.
Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $q(x).$
Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{2\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}-1}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3}+7)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}+7\sqrt{3}+7}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&-\dfrac{2\times 3+9\sqrt{3}+7}{3-1}\\\\&=&-\dfrac{6+9\sqrt{3}+7}{2}\\\\&=&-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{q(\sqrt{3})=-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}}$
d) Encadrons $q(\sqrt{3})$ d'amplitude $0.1$ près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$
Soit : $1.732<\sqrt{3}<1.733$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre $9$, on obtient :
$$1.732\times 9<9\sqrt{3}<1.733\times 9$$
Ce qui donne : $15.588<9\sqrt{3}<15.597$
Ajoutons alors $13$ à chaque membre de l'inégalité.
On trouve :
$$15.588+13<13+9\sqrt{3}<15.597+13$$
C'est-à-dire ; $28.588<13+9\sqrt{3}<28.597$
En divisant chaque membre de l'inégalité par le même nombre $2$, on obtient :
$$\dfrac{28.588}{2}<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<\dfrac{28.597}{2}$$
Ce qui donne : $14.294<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<14.298$
Enfin, on multiplie par $-1$ chaque membre de l'inégalité en changeant le sens de chaque inégalité.
On obtient : $-14.298<-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<-14.294$
D'où, un encadrement de $q(\sqrt{3})$ d'amplitude $0.1$ près est donné par :
$$\boxed{-14.3<q(\sqrt{3})<-14.2}$$
Exercice 8
On donne : $$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}\ \text{ et }\ F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$$
1) Donnons les valeurs de $a$ pour lesquelles les expressions $E\ $ et $\ F$ n'ont pas de sens.
En effet, l'expression de $E$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.
Ce qui signifie : $a+1=0$
C'est-à-dire ; $a=-1$
Donc, si $a=-1$ alors, l'expression de $E$ n'a pas de sens.
Soit : $F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$ alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}\\\\&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{1(a-1)}{(a+1)(a-1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a-1+2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}\end{array}$
Donc, $\boxed{F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}}$
L'expression de $F$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.
Ce qui signifie : $(a+1)(a-1)=0$
Or, on a :
$\begin{array}{rcl} (a+1)(a-1)=0&\Leftrightarrow&a+1=0\ \text{ ou }\ a-1=0\\\\&\Leftrightarrow&a=-1\ \text{ ou }\ a=1\end{array}$
Donc, si $a=-1\ $ ou $\ 1$ alors, l'expression de $F$ n'a pas de sens.
2) Retrouver les expressions simplifiées de $E\ $ et $\ F.$
Lorsque $a$ est différent de $-1$ alors, l'expression simplifiée de $E$ est donnée par :
$$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}$$
Soit : $F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}.$
Alors, lorsque $a$ est différent de $-1\ $ et $\ 1$, l'expression simplifiée de $F$ est donnée par :
$$F=\dfrac{1}{a-1}$$
Exercice 9
On donne les expressions suivantes :
$f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$
$g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$
1) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}\\\\&=&x^{2}+x\sqrt{3}-(2x+\sqrt{4\times 3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+\sqrt{4}\times\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+2\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-2(x+\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&(x+\sqrt{3})[x-2(x+3)]\\\\&=&(x+\sqrt{3})(x-2x-6)\\\\&=&(x+\sqrt{3})(-x-6)\\\\&=&-(x+\sqrt{3})(x+6)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=-(x+\sqrt{3})(x+6)}$
Soit : $g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)\\\\&=&2(x-6)(x+6)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(x+6)\times 2\\\\&=&(x+6)[2(x-6)+(3x-1)+2(2x-4)]\\\\&=&(x+6)(2x-12+3x-1+4x-8)\\\\&=&(x+6)(9x-21)\\\\&=&3(x+6)(3x-7)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=3(x+6)(3x-7)}$
2) On pose $q(x)=\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}.$
a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles $q(x)$ n'a pas de sens.
En effet, $q(x)$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.
Ce qui signifie : $3(x+6)(3x-7)=0$
Or, $3$ est différent de $0$ donc, on a :
$\begin{array}{rcl} 3(x+6)(3x-7)=0&\Leftrightarrow&(x+6)(3x-7)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+6=0\ \text{ ou }\ 3x-7=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ 3x=7\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ x=\dfrac{7}{3}\end{array}$
Donc, si $x=-6\ $ ou $\ \dfrac{7}{3}$ alors, $q(x)$ n'a pas de sens.
b) Simplifions $q(x)$ puis calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.
Pour tout $x$ différent de $-6\ $ et $\ \dfrac{7}{3}$, on a :
$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}\\\\&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}\end{array}$
D'où, $\boxed{q(x)=-\dfrac{(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}}$
Calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.
Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $q(x).$
Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{3})}{3(3\sqrt{3}-7)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}(3\sqrt{3}+7)}{3(3\sqrt{3}-7)(3\sqrt{3}+7)}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{3})+7\times 2\sqrt{3}}{3((3\sqrt{3})^{2}-(7)^{2})}\\\\&=&-\dfrac{6\times 3+14\sqrt{3}}{3(27-49)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{3(-22)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{-66}\\\\&=&\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{q(\sqrt{3})=\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}}$
3) Calculons $g(\sqrt{3})$ puis l'encadrons à $10^{-2}$ près sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$
D'après le résultat de la question $1)$, on a : $g(x)=3(x+6)(3x-7)$
Donc, en remplaçant $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression factorisée de $g(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(\sqrt{3})&=&3(\sqrt{3}+6)(3\sqrt{3}-7)\\\\&=&3(3\sqrt{3}\times\sqrt{3}+6\times 3\sqrt{3}-7\sqrt{3}-7\times 6)\\\\&=&3(3\times 3+18\sqrt{3}-7\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(9+11\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(-33+11\sqrt{3})\\\\&=&-99+33\sqrt{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{g(\sqrt{3})=-99+33\sqrt{3}}$
Encadrons $g(\sqrt{3})$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$
Soit : $1.73<\sqrt{3}<1.74$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre $33$, on obtient :
$$1.73\times 33<33\sqrt{3}<1.74\times 33$$
Ce qui donne : $57.09<33\sqrt{3}<57.42$
Ajoutons alors $-99$ à chaque membre de l'inégalité.
On trouve :
$$57.09-99<-99+33\sqrt{3}<57.42-99$$
C'est-à-dire ; $-41.91<-99+33\sqrt{3}<-41.58$
D'où, un encadrement de $g(\sqrt{3})$ à $10^{-2}$ près est donné par :
$$\boxed{-41.91<g(\sqrt{3})<-41.58}$$
Exercice 10 "BFEM 2007"
On considère les expressions $f(x)$ et $g(x)$ suivantes :
$$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2\ \text{ et }\ g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 2\times 3x+(2)^{2}-3x+2\\\\&=&9x^{2}-12x+4-3x+2\\\\&=&9x^{2}-15x+6\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=9x^{2}-15x+6}$
Soit : $g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 3\times 2x+(3)^{2}-((x)^{2}+2\times 4\times x+(4)^{2})\\\\&=&4x^{2}+12x+9-(x^{2}+8x+16)\\\\&=&4x^{2}+12x+9-x^{2}-8x-16\\\\&=&3x^{2}+4x-7\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=3x^{2}+4x-7}$
2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en factorisant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x-2)(3x-2)-(3x-2)\\\\&=&(3x-2)[(3x-2)-1]\\\\&=&(3x-2)(3x-2-1)\\\\&=&(3x-2)(3x-3)\\\\&=&3(3x-2)(x-1)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=3(3x-2)(x-1)}$
Soit : $g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&[(2x+3)-(x+4)][(2x+3)+(x+4)]\\\\&=&(2x+3-x-4)(2x+3+x+4)\\\\&=&(x-1)(3x+7)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=(x-1)(3x+7)}$
3) On pose $h(x)=\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}$
a) On ne peut pas calculer $h(1).$
En effet, pour calculer $h(1)$, on doit remplacer $x$ par $1.$
Et cela va annuler le dénominateur.
Or, le dénominateur de $h$ doit être toujours différent de $0.$
Par conséquent, on ne peut pas calculer $h(1).$
b) Donnons la condition d'existence de $h(x)$ puis simplifions $h(x).$
$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de $0.$
Ainsi, on a :
$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ 3x\neq -7\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-7}{3}\end{array}$
Donc, $x$ doit être différent de $1\ $ et $\ -\dfrac{7}{3}$ pour que $h(x)$ existe.
Simplifions $h(x).$
Pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ -\dfrac{7}{3}$, on a :
$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(x-1)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(3x-2)}{(3x+7)}\end{array}$
D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{3(3x-2)}{3x+7}}$
c) Calculer $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ puis donnons sa valeur approchée à $10^{-1}$ prés par défaut.
En remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{3}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} h\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&\dfrac{3\left(3\times\dfrac{1}{3}-2\right)}{3\times\dfrac{1}{3}+7}\\\\&=&\dfrac{3(1-2)}{1+7}\\\\&=&\dfrac{3(-1)}{8}\\\\&=&-\dfrac{3}{8}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{h\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{3}{8}}$
Donnons sa valeur approchée à $10^{-1}$ prés par défaut.
On a : $-\dfrac{3}{8}=-0.375$
Donc, en encadrant $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à $10^{-1}$ prés, on obtient :
$$-0.4<h\left(\dfrac{1}{3}\right)<-0.3$$
D'où, la valeur approchée de $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à $10^{-1}$ prés par défaut est égale à : $-0.4$
Exercice 11 "BFEM 2005"
On donne les expressions suivantes :
$$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 5\times 3x+(5)^{2}-((2x)^{2}-2\times 1\times 2x+(1)^{2})\\\\&=&9x^{2}-30x+25-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&9x^{2}-30x+25-4x^{2}+4x-1\\\\&=&5x^{2}-26x+24\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=5x^{2}-26x+24}$
Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}+2x\times 5-2x\times x+5\times 1-x\times 1-25\\\\&=&x^{2}+10x-2x^{2}+5-x-25\\\\&=&-x^{2}+9x-20\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=-x^{2}+9x-20}$
2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&[(3x-5)-(2x-1)][(3x-5)+(2x-1)]\\\\&=&(3x-5-2x+1)(3x-5+2x-1)\\\\&=&(x-4)(5x-6)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=(x-4)(5x-6)}$
Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en factorisant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}-25+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)-(2x+1)(x-5)\\\\&=&(x-5)[(x+5)-(2x+1)]\\\\&=&(x-5)(x+5-2x-1)\\\\&=&(x-5)(-x+4)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{g(x)=(x-5)(-x+4)}$
3) Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
a) Donnons la condition d'existence de $h(x).$
$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur $g(x)$ est différent de $0.$
Ainsi, on a :
$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&g(x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)(-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)\neq 0\ \text{ et }\ (-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ -x\neq -4\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-4}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq 4\end{array}$
Donc, $x$ doit être différent de $5\ $ et $\ 4$ pour que $h(x)$ existe.
b) Simplifions $h(x).$
Pour tout $x$ différent de $5\ $ et $\ 4$, on a :
$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{f(x)}{g(x)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{(x-5)(-x+4)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{-(x-5)(x-4)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{-(x-5)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{(-x+5)}\end{array}$
D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{5x-6}{-x+5}}$
4) Comparons : $h(0)\ $ et $\ h\left(-\dfrac{1}{2}\right).$
Calculons $h(0)$
En remplaçant $x$ par $0$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} h\left(0\right)&=&\dfrac{5\times 0-6}{-0+5}\\\\&=&\dfrac{-6}{5}\end{array}$
Donc, $\boxed{h\left(0\right)=-\dfrac{6}{5}}$
Calculons $h\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
En remplaçant $x$ par $-\dfrac{1}{2}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} h\left(-\dfrac{1}{2}\right)&=&\dfrac{5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-6}{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+5}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-6}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{2}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{12}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{-17}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{-17}{2}\times\dfrac{2}{11}\\\\&=&\dfrac{-17}{11}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{17}{11}}$
Comparons ensuite $-\dfrac{6}{5}\ $ et $\ -\dfrac{17}{11}$
En effet, ces deux nombres étant tous négatifs alors, le plus grand est celui avec la plus petite valeur absolue.
Soit : $\left|-\dfrac{6}{5}\right|=\dfrac{6}{5}\ $ et $\ \left|-\dfrac{17}{11}\right|=\dfrac{17}{11}$
Alors, en calculant la différence entre ces valeurs absolues, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}&=&\dfrac{6\times 11}{5\times 11}-\dfrac{17\times 5}{11\times 5}\\\\&=&\dfrac{66}{55}-\dfrac{85}{55}\\\\&=&\dfrac{66-85}{55}\\\\&=&\dfrac{-19}{55}\end{array}$
Donc, $\boxed{\dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}=-\dfrac{19}{55}}$
On remarque alors que cette différence est négative.
Ce qui signifie que $\dfrac{6}{5}<\dfrac{17}{11}.$
Par conséquent, $-\dfrac{6}{5}>-\dfrac{17}{11}.$
D'où, $\boxed{h(0)>h\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$
Auteur:
Diny Faye
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