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Solution des exercices : Calcul algébrique 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1 "Identités remarquables"

1) Nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

Soit :

$A=(2x+3)^{2}$

$A$ est de la forme

$(a+b)^{2}$ avec ;

$a=2x\$ et

$\ b=3$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&(2x+3)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 2x\times 3+3^{2}\\\\&=&4x^{2}+12x+9\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=4x^{2}+12x+9}$

Soit :

$B=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}.$

Alors,

$B$ est de la forme

$(a+b)^{2}$ avec ;

$a=\dfrac{2}{3}x\$ et

$\ b=\dfrac{3}{4}.$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}+2\times\dfrac{2}{3}x\times\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{12}{12}x+\dfrac{9}{16}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}}$

Soit :

$C=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}$

On remarque que

$C$ est de la forme

$(a-b)^{2}$ avec ;

$a=x\$ et

$\ b=\dfrac{1}{3}.$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-2\times x\times\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}}$

Soit :

$D=\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

Alors,

$D$ est de la forme

$(a-b)^{2}$ avec ;

$a=7x\$ et

$\ b=\dfrac{1}{2}$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&(7x)^{2}-2\times 7x\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&49x^{2}-\dfrac{14}{2}x+\dfrac{1}{4}\\\\&=&49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}}$

Soit :

$E=(3x-4)(3x+4)$

On remarque alors que

$E$ est de la forme

$(a-b)(a+b)$ avec ;

$a=3x\$ et

$\ b=4$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&(3x-4)(3x+4)\\\\&=&(3x)^{2}-(4)^{2}\\\\&=&9x^{2}-16\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{E=9x^{2}-16}$

Soit :

$F=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)$

$F$ est de la forme

$(a+b)(a-b)$ avec ;

$a=\dfrac{2}{3}x\$ et

$\ b=1$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}-1^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{F=\dfrac{4}{9}x^{2}-1}$

2) Factorisons les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

Soit :

$A=9x^{2}+6x+1$

On remarque que

$A$ est de la forme

$a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ;

$a=3x\$ et

$\ b=1$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl}A&=&9x^{2}+6x+1\\\\&=&(3x+1)^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=(3x+1)^{2}}$

Soit :

$B=16x^{2}+9+24x$

Alors,

$B$ peut encore s'écrire :

$B=16x^{2}+24x+9$

On remarque que

$B$ est de la forme

$a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ;

$a=4x\$ et

$\ b=3$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&16x^{2}+24x+9\\\\&=&(4x+3)^{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=(4x+3)^{2}}$

Soit :

$C=\dfrac{4}{9}x^{2}-1$

On remarque alors que

$A$ est de la forme

$a^{2}-b^{2}$ avec ;

$a=\dfrac{2}{3}x\$ et

$\ b=1$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)}$

Soit :

$D=25x^{2}-10x+1$

On remarque alors que

$D$ est de la forme

$a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ;

$a=5x\$ et

$\ b=1$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&25x^{2}-10x+1\\\\&=&(5x-1)^{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{D=(5x-1)^{2}}$

Soit :

$E=36-12x+x^{2}$

$E$ est de la forme

$a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ;

$a=6\$ et

$\ b=x$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&36-12x+x^{2}\\\\&=&(6-x)^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=(6-x)^{2}}$

Soit :

$F=4x^{2}-9$

On remarque que

$F$ est de la forme

$a^{2}-b^{2}$ avec ;

$a=2x\$ et

$\ b=3$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=&4x^{2}-9\\\\&=&(2x+3)(2x-3)\end{array}$

D'où,

$\boxed{F=(2x-3)(2x+3)}$

Exercice 2

Nous allons développer, réduire puis ordonner chacune des expressions suivantes :

Soit :

$a(x)=(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}.$

Alors, en développant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} a(x)&=&(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}+2\times 3x\times 1+1^{2}-(x^{2}-2\times x\times 5+5^{2})\\\\&=&9x^{2}+6x+1-(x^{2}-10x+25)\\\\&=&9x^{2}+6x+1-x^{2}+10x-25\\\\&=&8x^{2}+16x-24\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a(x)=8x^{2}+16x-24}$

Soit :

$b(x)=(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}.$

Alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} b(x)&=&(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}\\\\&=&(4x-3)^{2}+(6x-5)^{2}\\\\ &=&(4x)^{2}-2\times 4x\times 3+3^{2}+[(6x)^{2}-2\times 6x\times 5+5^{2}]\\\\&=&16x^{2}-24x+9+(36x^{2}-60x+25)\\\\&=&16x^{2}-24x+9+36x^{2}-60x+25\\\\&=&52x^{2}-84x+34\end{array}$

D'où,

$\boxed{b(x)=52x^{2}-84x+34}$

Soit :

$c(x)=(x-9)(3x+5)^{2}.$

Alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} c(x)&=&(x-9)(3x+5)^{2}\\\\&=&(x-9)[(3x)^{2}+2\times 3x\times 5+5^{2}]\\\\ &=&(x-9)(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&x(9x^{2}+30x+25)-9(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-(81x^{2}+270x+225)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-81x^{2}-270x-225\\\\&=&9x^{3}-51x^{2}-245x-225\end{array}$

Donc,

$\boxed{c(x)=9x^{3}-51x^{2}-245x-225}$

Soit :

$d(x)=(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}).$

Alors, en développant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} d(x)&=&(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})\\\\&=&(2x)^{2}-(\sqrt{7})^{2}-(3x\times x+3x\times 2\sqrt{5}+\sqrt{5}\times x+\sqrt{5}\times 2\sqrt{5})\\\\&=&4x^{2}-7-(3x^{2}+6x\sqrt{5}+x\sqrt{5}+10)\\\\&=&4x^{2}-7-3x^{2}-6x\sqrt{5}-x\sqrt{5}-10\\\\&=&x^{2}-7x\sqrt{5}-17\end{array}$

D'où,

$\boxed{d(x)=x^{2}-7x\sqrt{5}-17}$

Soit :

$e(x)=7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}.$

En développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} e(x)&=&7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x[(2x\sqrt{3})^{2}-2\times 2x\sqrt{3}\times 3+3^{2}]+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x(4x^{2}\times 3-12x\sqrt{3}+9)+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&84x^{3}-84x^{2}\sqrt{3}+63x+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{e(x)=92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x}$

Exercice 3

Factorisons chacune des expressions suivantes :

Soit :

$f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)$

On a alors un facteur commun

$(3x+1)$ donc,

$\begin{array}{rcl} f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)&=&(3x+1)[(3x+1)-15]\\\\&=&(3x+1)(3x-14)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=(3x+1)(3x-14)}$

Soit :

$g(x)=2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1).$

Dans l'expression de

$g$ s'il y a un facteur commun, ça ne peut être que

$(\sqrt{2}-x)$ alors, regardons si on peut avoir ce facteur dans

$(\sqrt{8}-2x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}(\sqrt{8}-2x)&=&(\sqrt{4\times 2}-2x)\\\\&=&(\sqrt{4}\times\sqrt{2}-2x)\\\\&=&(2\sqrt{2}-2x)\\\\&=&2(\sqrt{2}-x)\end{array}$

Donc,

$\boxed{(\sqrt{8}-2x)=2(\sqrt{2}-x)}$

Ainsi, dans l'expression de

$g(x)$ , en remplaçant

$(\sqrt{8}-2x)$ par

$2(\sqrt{2}-x)$ , on obtient :

$g(x)=4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)$

On a alors un facteur commun

$(\sqrt{2}-x).$

Donc,

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)[4x-(x-1)]\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(4x-x+1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(3x+1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{g(x)=(\sqrt{2}-x)(3x+1)}$

Soit :

$h(x)=x^{3}-x-(x+1)(2x+10).$

Dans l'expression de

$h$ on factorise

$x^{3}-x$

On a alors :

$x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)$

$\begin{array}{rcl} x^{3}-x&=&x(x^{2}-1)\\\\&=&x(x-1)(x+1)\end{array}$

Donc,

$\boxed{x^{3}-x=x(x-1)(x+1)}$

Ainsi, dans l'expression de

$h(x)$ , en remplaçant

$x^{3}-x$ par

$x(x-1)(x+1)$ , on obtient :

$h(x)=x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)$

On reconnait alors un facteur commun

$(x+1)$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&x^{3}-x-(x+1)(2x+10)\\\\&=&x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)\\\\&=&(x+1)[x(x-1)-(2x+10)]\\\\&=&(x+1)(x^{2}-x-2x-10)\\\\&=&(x+1)(x^{2}-3x-10)\end{array}$

Donc,

$h(x)=(x+1)(x^{2}-3x-10)$

Par ailleurs, on remarque dans cette dernière expression de

$h(x)$ que le terme

$(x^{2}-3x-10)$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun.

Mais, on constate que

$2\times(-5)=-10\$ et

$\ 2x-5x=-3x$

Ainsi, pour factoriser

$(x^{2}-3x-10)$ , on adopte la démarche suivante :

$\begin{array}{rcl} x^{2}-3x-10&=&x^{2}+2x-5x-10\\\\&=&x(x+2)-5(x+2)\\\\&=&(x+2)(x-5)\end{array}$

Donc,

$(x^{2}-3x-10)=(x+2)(x-5)$

D'où,

$\boxed{h(x)=(x+1)(x+2)(x-5)}$

Soit :

$j(x)=x^{2}+6x+8.$

On constate que l'expression de

$j$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun. Donc,

$j(x)$ n'est pas factorisable à travers ces deux méthodes.

Par contre, on a :

$4\times 2=8\$ et

$\ 4x+2x=6x$

Ainsi, pour factoriser

$j(x)$ , on adopte d'abord la démarche suivante :

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&x^{2}+6x+8\\\\&=&x^{2}+4x+2x+4+4\\\\&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\end{array}$

On voit alors apparaitre une identité remarquable.

Donc,

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\\\\&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\end{array}$

Ensuite, en identifiant un facteur commun

$(x+2)$ , on a :

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\\\\&=&(x+2)[(x+2)+2]\\\\&=&(x+2)(x+2+2)\\\\&=&(x+2)(x+4)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{j(x)=(x+2)(x+4)}$

Soit :

$k(x)=(2x+1)^{2}-4+8x+12.$

En utilisant les identités remarquables on a :

$\begin{array}{rcl}(2x+1)^{2}-4&=&(2x+1-2)(2x+1+2)\\\\&=&(2x-1)(2x+3)\end{array}$

Or, la factorisation par

$4$ de

$8x+12$ donne :

$8x+12=4(2x+3).$

Par suite,

$k(x)=(2x-1)(2x+3)+4(2x+3).$

On reconnait alors un facteur commun

$(2x+3).$

Donc,

$\begin{array}{rcl} k(x)&=&(2x+1)^{2}-4+8x+12\\\\&=&(2x-1)(2x+3)+4(2x+3)\\\\&=&(2x+3)[(2x-1)+4]\\\\&=&(2x+3)(2x+3)\\\\&=&(2x+3)^{2}\end{array}$

Ainsi, l'expression finale nous renvoie à une identité remarquable.

D'où,

$\boxed{k(x)=(2x+3)^{2}}$

Soit :

$l(x)=3x^{2}+18x+27.$

En factorisant par

$3$ on obtient :

$\begin{array}{rcl}l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\end{array}$

Or,

$(x^{2}+6x+9)$ renvoie à une identité remarquable

$(x+3)^{2}.$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\\\\&=&3(x+3)^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{l(x)=3(x+3)^{2}}$

Soit :

$m(x)=9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2.$

On remarque que

$9x^{2}-6x\sqrt{2}+2=(3x-\sqrt{2})^{2}.$

Donc, en prenant

$(3x-\sqrt{2})$ comme facteur commun on obtient :

$\begin{array}{rcl} m(x)&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2\\\\&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})^{2}+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})[(3x-\sqrt{2})+2x]\\\\&=&(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{m(x)=(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})}$

Soit :

$n(x)=16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}.$

En remarquant que

$16(x-3)^{2}=[4(x-3)]^{2}$ et que

$49(2x+1)^{2}=[7(2x+1)]^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} n(x)&=&16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}\\\\&=&[4(x-3)]^{2}-[7(2x+1)]^{2}\\\\&=&[4(x-3)-7(2x+1)][4(x-3)+7(2x+1)]\\\\&=&(4x-12-14x-7)(4x-12+14x+7)\\\\&=&(-10x-19)(18x-5)\\\\&=&-(10x+19)(18x-5)\end{array}$

Donc,

$\boxed{n(x)=-(10x+19)(18x-5)}$

Soit :

$p(x)=(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}.$

Il suffit de remarquer que l'expression de

$p(x)$ est de la forme

$a^{2}-2ab+b^{2}$ avec,

$a=(4x-\sqrt{3})\$ et

$\ b=x.$

Or, d'après une propriété sur la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} p(x)&=&(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}\\\\&=&[(4x-\sqrt{3})-x]^{2}\\\\&=&(4x-\sqrt{3}-x)^{2}\\\\&=&(3x-\sqrt{3})^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{p(x)=(3x-\sqrt{3})^{2}}$

Exercice 4

Factorisons chacune de expressions suivantes :

Soit :

$A(x)=(7x-1)(4x-2)-(1-7x)(3x-1).$

Alors,

$A(x)$ peut encore s'écrire :

$A(x)=(7x-1)(4x-2)+(7x-1)(3x-1)$

Donc, en prenant

$(7x-1)$ comme facteur commun, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(7x-1)(4x-2)+(-1+7x)(3x-1)\\\\&=&(7x-1)[(4x-2)+(3x-1)]\\\\&=&(7x-1)(4x-2+3x-1)\\\\&=&(7x-1)(7x-3)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{A(x)=(7x-1)(7x-3)}$

Soit :

$B(x)=9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1).$

On remarque que

$9x^{2}-1=(3x-1)(3x+1).$

Par conséquent, on reconnait dans l'expression de

$B(x)$ un facteur commun

$(3x+1).$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1)\\\\&=&(3x-1)(3x+1)-2(3x+1)(9x-1)\\\\&=&(3x+1)[(3x-1)-2(9x-1)]\\\\&=&(3x+1)(3x-1-18x+2)\\\\&=&(3x+1)(-15x+1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{B(x)=(3x+1)(-15x+1)}$

Soit :

$C(x)=4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}.$

En remarquant que

$4(4x+1)^{2}=[2(4x+1)]^{2}$ et que

$9(3x+2)^{2}=[3(3x+2)]^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} C(x)&=&4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}\\\\&=&[2(4x+1)]^{2}-[3(3x+2)]^{2}\\\\&=&[2(4x+1)-3(3x+2)][2(4x+1)+3(3x+2)]\\\\&=&(8x+2-9x-6)(8x+2+9x+6)\\\\&=&(-x-4)(17x+8)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C(x)=-(x+4)(17x+8)}$

Soit :

$D(x)=25x^{3}-9x$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} D(x)&=&25x^{3}-9x\\\\&=&x(25x^{2}-9)\\\\&=&x(5x-3)(5x+3)\end{array}$

Donc,

$\boxed{D(x)=x(5x-3)(5x+3)}$

Soit :

$E(x)=(9x^{2}-24x+16)+(-4x^{2}-4x-1)+(x+3)(10x-6)+(3-5x).$

Alors, on a :

$(9x^{2}-24x+16)=(3x-4)^{2}$

$\begin{array}{rcl} (-4x^{2}-4x-1)&=&-(4x^{2}+4x+1)\\\\&=&-(2x+1)^{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} (x+3)(10x-6)+(3-5x)&=&2(x+3)(5x-3)-(5x-3)\\\\&=&(5x-3)[2(x+3)-1]\\\\&=&(5x-3)(2x+6-1)\\\\&=&(5x-3)(2x+5)\end{array}$

Donc,

$E(x)$ peut encore s'écrire :

$E(x)=(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} E(x)&=&(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&[(3x-4)-(2x+1)][(3x-4)+(2x+1)]+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(3x-4-2x-1)(3x-4+2x+1)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(x-5)(5x-3)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(5x-3)[(x-5)+(2x+5)]\\\\&=&(5x-3)(x-5+2x+5)\\\\&=&(5x-3)(3x)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{E(x)=3x(5x-3)}$

Exercice 5 "BFEM 2e groupe"

Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse.

1) En développant,

$5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}$ on trouve

$-19x+8.\quad(\text{faux})$

En effet, le développement de

$5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}$ donne :

$\begin{array}{rcl} 5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}&=&5\times 2x-5\times 3-4\times x-4\times 2-10x^{2}\\\\&=&10x-15-4x-8-10x^{2}\\\\&=&-10x^{2}+6x-23\end{array}$

Or,

$-10x^{2}+6x-23$ est différent de

$-19x+8$

Par conséquent, la proposition est fausse.

2) "Choisir un nombre

$a$ , ajouter

$2$ au triple de

$a$ , élevé au carré le nombre obtenu, puis retranché

$7$ " correspond à l'expression :

$a+(2a+3)^{2}-7\quad(\text{faux})$

En effet, soit un nombre

$a$ alors,

ajouter

$2$ au triple de

$a$ signifie :

$3a+2$

élevé au carré le nombre obtenu signifie :

$(3a+2)^{2}$

puis en retranchant

$7$ à cette dernière expression, on obtient :

$(3a+2)^{2}-7$

On constate alors que l'expression

$(3a+2)^{2}-7$ est différente de

$a+(2a+3)^{2}-7.$

D'où, la proposition est fausse.

3) L'expression

$-9x^{2}+4=(3x-2)(3x+2).\quad(\text{faux})$

En effet,

$\begin{array}{rcl} -9x^{2}+4&=&-(9x^{2}-4)\\\\&=&-(3x-2)(3x+2)\end{array}$

Or, l'expression

$-(3x-2)(3x+2)$ n'est pas égale à

$(3x-2)(3x+2)$

Par conséquent, la proposition est fausse.

Exercice 6 "BFEM 2009"

On donne :

$f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)\$ et

$\ g(x)=(x-2)(1-7x).$

1) Développons, réduisons et ordonnons chacune des expressions suivantes

$f(x)\$ et

$\ g(x)$

Soit :

$f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)\\\\&=&5x^{2}-20-3x\times 4x-3x\times 3+6\times 4x+6\times 3\\\\&=&5x^{2}-20-12x^{2}-9x+24x+18\\\\&=&-7x^{2}+15x-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(x)=-7x^{2}+15x-2}$

Soit :

$g(x)=(x-2)(1-7x).$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(x-2)(1-7x)\\\\&=&x\times 1-x\times 7x-2\times 1+2\times 7x\\\\&=&x-7x^{2}-2+14x\\\\&=&-7x^{2}+15x-2\end{array}$

D'où,

$\boxed{g(x)=-7x^{2}+15x-2}$

2) En déduisons une factorisation de

$f(x).$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on constate que

$f(x)\$ et

$\ g(x)$ ont la même forme développée.

Donc,

$f(x)=g(x)$

D'où, une factorisation de

$f(x)$ est donnée par :

$\boxed{f(x)=(x-2)(1-7x)}$

Exercice 7

On pose :

$f(x)=4x^{2}-12x–7\$ et

$\ g(x)=4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)$

1) Factorisons

$g(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x+1)[(2x-1)+(2-3x)]\\\\&=&(2x+1)(2x-1+2-3x)\\\\&=&(2x+1)(-x+1)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=(2x+1)(-x+1)}$

2) Soit

$a$ un nombre réel tel que

$f(x)=(2x-3)^{2}-a.$

Montrons que

$a=16$ et factorisons

$f(x).$

En développant cette expression de

$f(x)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-a\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 3\times 2x+3^{2}-a\\\\&=&4x^{2}-12x+9-a\end{array}$

Donc,

$f(x)=4x^{2}-12x+9-a$

Or, d'après la question

$1)$ , on a :

$f(x)=4x^{2}-12x-7$

Donc, par identification, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 4x^{2}-12x+9-a=4x^{2}-12x-7&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-12x-7-4x^{2}+12x-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-4x^{2}-12x+12x-7-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=-16\\\\&\Leftrightarrow&a=16\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a=16}$

Dans l'expression de

$f(x)$ , en remplaçant

$a$ par sa valeur

$16$ , on obtient :

$f(x)=(2x-3)^{2}-16$

Par suite, une factorisation de

$f(x)$ est donnée par :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-16\\\\&=&[(2x-3)-4][(2x-3)+4]\\\\&=&(2x-3-4)(2x-3+4)\\\\&=&(2x-7)(2x+1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=(2x-7)(2x+1)}$

3) Soit

$q(x)=\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}$

a) Trouvons la condition d'existence de

$q(x).$

$q(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de

$0.$

Cela signifie :

$\begin{array}{rcl} q(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ -2x\neq -1\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-1}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc,

$x$ doit être différent de

$1\$ et

$\ \dfrac{1}{2}$ pour que

$q(x)$ existe.

b) Simplifions

$q(x).$

Pour tout

$x$ différent de

$1\$ et

$\ \dfrac{1}{2}$ , on a :

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(-2x+1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(1-2x)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)}{(x-1)}\end{array}$

D'où,

$\boxed{q(x)=-\dfrac{2x+7}{x-1}}$

c) Calculons

$q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

Pour cela, on remplace

$x$ par

$\sqrt{3}$ , dans l'expression simplifiée de

$q(x).$

Ce qui donne :

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{2\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}-1}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3}+7)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}+7\sqrt{3}+7}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&-\dfrac{2\times 3+9\sqrt{3}+7}{3-1}\\\\&=&-\dfrac{6+9\sqrt{3}+7}{2}\\\\&=&-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{q(\sqrt{3})=-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}}$

d) Encadrons

$q(\sqrt{3})$ d'amplitude

$0.1$ près sachant que

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

Soit :

$1.732<\sqrt{3}<1.733$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre

$9$ , on obtient :

$1.732\times 9<9\sqrt{3}<1.733\times 9$

Ce qui donne :

$15.588<9\sqrt{3}<15.597$

Ajoutons alors

$13$ à chaque membre de l'inégalité.

On trouve :

$15.588+13<13+9\sqrt{3}<15.597+13$

C'est-à-dire ;

$28.588<13+9\sqrt{3}<28.597$

En divisant chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$2$ , on obtient :

$\dfrac{28.588}{2}<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<\dfrac{28.597}{2}$

Ce qui donne :

$14.294<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<14.298$

Enfin, on multiplie par

$-1$ chaque membre de l'inégalité en changeant le sens de chaque inégalité.

On obtient :

$-14.298<-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<-14.294$

D'où, un encadrement de

$q(\sqrt{3})$ d'amplitude

$0.1$ près est donné par :

$\boxed{-14.3<q(\sqrt{3})<-14.2}$

Exercice 8

On donne :

$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}\ \text{ et }\ F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$

1) Donnons les valeurs de

$a$ pour lesquelles les expressions

$E\$ et

$\ F$ n'ont pas de sens.

En effet, l'expression de

$E$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

Ce qui signifie :

$a+1=0$

C'est-à-dire ;

$a=-1$

Donc, si

$a=-1$ alors, l'expression de

$E$ n'a pas de sens.

Soit :

$F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$ alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}\\\\&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{1(a-1)}{(a+1)(a-1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a-1+2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}\end{array}$

Donc,

$\boxed{F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}}$

L'expression de

$F$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

Ce qui signifie :

$(a+1)(a-1)=0$

Or, on a :

$\begin{array}{rcl} (a+1)(a-1)=0&\Leftrightarrow&a+1=0\ \text{ ou }\ a-1=0\\\\&\Leftrightarrow&a=-1\ \text{ ou }\ a=1\end{array}$

Donc, si

$a=-1\$ ou

$\ 1$ alors, l'expression de

$F$ n'a pas de sens.

2) Retrouver les expressions simplifiées de

$E\$ et

$\ F.$

Lorsque

$a$ est différent de

$-1$ alors, l'expression simplifiée de

$E$ est donnée par :

$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}$

Soit :

$F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}.$

Alors, lorsque

$a$ est différent de

$-1\$ et

$\ 1$ , l'expression simplifiée de

$F$ est donnée par :

$F=\dfrac{1}{a-1}$

Exercice 9

On donne les expressions suivantes :

$f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$

$g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$

1) Factorisons

$f(x)\$ et

$\ g(x).$

Soit :

$f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}\\\\&=&x^{2}+x\sqrt{3}-(2x+\sqrt{4\times 3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+\sqrt{4}\times\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+2\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-2(x+\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&(x+\sqrt{3})[x-2(x+3)]\\\\&=&(x+\sqrt{3})(x-2x-6)\\\\&=&(x+\sqrt{3})(-x-6)\\\\&=&-(x+\sqrt{3})(x+6)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=-(x+\sqrt{3})(x+6)}$

Soit :

$g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)\\\\&=&2(x-6)(x+6)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(x+6)\times 2\\\\&=&(x+6)[2(x-6)+(3x-1)+2(2x-4)]\\\\&=&(x+6)(2x-12+3x-1+4x-8)\\\\&=&(x+6)(9x-21)\\\\&=&3(x+6)(3x-7)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=3(x+6)(3x-7)}$

2) On pose

$q(x)=\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}.$

a) Déterminons les valeurs de

$x$ pour lesquelles

$q(x)$ n'a pas de sens.

En effet,

$q(x)$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

Ce qui signifie :

$3(x+6)(3x-7)=0$

Or,

$3$ est différent de

$0$ donc, on a :

$\begin{array}{rcl} 3(x+6)(3x-7)=0&\Leftrightarrow&(x+6)(3x-7)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+6=0\ \text{ ou }\ 3x-7=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ 3x=7\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ x=\dfrac{7}{3}\end{array}$

Donc, si

$x=-6\$ ou

$\ \dfrac{7}{3}$ alors,

$q(x)$ n'a pas de sens.

b) Simplifions

$q(x)$ puis calculons

$q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

Pour tout

$x$ différent de

$-6\$ et

$\ \dfrac{7}{3}$ , on a :

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}\\\\&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}\end{array}$

D'où,

$\boxed{q(x)=-\dfrac{(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}}$

Calculons

$q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

Pour cela, on remplace

$x$ par

$\sqrt{3}$ , dans l'expression simplifiée de

$q(x).$

Ce qui donne :

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{3})}{3(3\sqrt{3}-7)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}(3\sqrt{3}+7)}{3(3\sqrt{3}-7)(3\sqrt{3}+7)}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{3})+7\times 2\sqrt{3}}{3((3\sqrt{3})^{2}-(7)^{2})}\\\\&=&-\dfrac{6\times 3+14\sqrt{3}}{3(27-49)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{3(-22)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{-66}\\\\&=&\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{q(\sqrt{3})=\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}}$

3) Calculons

$g(\sqrt{3})$ puis l'encadrons à

$10^{-2}$ près sachant que

$1.73<\sqrt{3}<1.74$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$g(x)=3(x+6)(3x-7)$

Donc, en remplaçant

$x$ par

$\sqrt{3}$ , dans l'expression factorisée de

$g(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} g(\sqrt{3})&=&3(\sqrt{3}+6)(3\sqrt{3}-7)\\\\&=&3(3\sqrt{3}\times\sqrt{3}+6\times 3\sqrt{3}-7\sqrt{3}-7\times 6)\\\\&=&3(3\times 3+18\sqrt{3}-7\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(9+11\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(-33+11\sqrt{3})\\\\&=&-99+33\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{g(\sqrt{3})=-99+33\sqrt{3}}$

Encadrons

$g(\sqrt{3})$ à

$10^{-2}$ près sachant que

$1.73<\sqrt{3}<1.74$

Soit :

$1.73<\sqrt{3}<1.74$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre

$33$ , on obtient :

$1.73\times 33<33\sqrt{3}<1.74\times 33$

Ce qui donne :

$57.09<33\sqrt{3}<57.42$

Ajoutons alors

$-99$ à chaque membre de l'inégalité.

On trouve :

$57.09-99<-99+33\sqrt{3}<57.42-99$

C'est-à-dire ;

$-41.91<-99+33\sqrt{3}<-41.58$

D'où, un encadrement de

$g(\sqrt{3})$ à

$10^{-2}$ près est donné par :

$\boxed{-41.91<g(\sqrt{3})<-41.58}$

Exercice 10 "BFEM 2007"

On considère les expressions

$f(x)$ et

$g(x)$ suivantes :

$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2\ \text{ et }\ g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$

1) Développons, réduisons et ordonnons

$f(x)\$ et

$\ g(x).$

Soit :

$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 2\times 3x+(2)^{2}-3x+2\\\\&=&9x^{2}-12x+4-3x+2\\\\&=&9x^{2}-15x+6\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=9x^{2}-15x+6}$

Soit :

$g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 3\times 2x+(3)^{2}-((x)^{2}+2\times 4\times x+(4)^{2})\\\\&=&4x^{2}+12x+9-(x^{2}+8x+16)\\\\&=&4x^{2}+12x+9-x^{2}-8x-16\\\\&=&3x^{2}+4x-7\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=3x^{2}+4x-7}$

2) Factorisons

$f(x)\$ et

$\ g(x).$

Soit :

$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en factorisant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x-2)(3x-2)-(3x-2)\\\\&=&(3x-2)[(3x-2)-1]\\\\&=&(3x-2)(3x-2-1)\\\\&=&(3x-2)(3x-3)\\\\&=&3(3x-2)(x-1)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=3(3x-2)(x-1)}$

Soit :

$g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&[(2x+3)-(x+4)][(2x+3)+(x+4)]\\\\&=&(2x+3-x-4)(2x+3+x+4)\\\\&=&(x-1)(3x+7)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=(x-1)(3x+7)}$

3) On pose

$h(x)=\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}$

a) On ne peut pas calculer

$h(1).$

En effet, pour calculer

$h(1)$ , on doit remplacer

$x$ par

$1.$

Et cela va annuler le dénominateur.

Or, le dénominateur de

$h$ doit être toujours différent de

$0.$

Par conséquent, on ne peut pas calculer

$h(1).$

b) Donnons la condition d'existence de

$h(x)$ puis simplifions

$h(x).$

$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de

$0.$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ 3x\neq -7\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-7}{3}\end{array}$

Donc,

$x$ doit être différent de

$1\$ et

$\ -\dfrac{7}{3}$ pour que

$h(x)$ existe.

Simplifions

$h(x).$

Pour tout

$x$ différent de

$1\$ et

$\ -\dfrac{7}{3}$ , on a :

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(x-1)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(3x-2)}{(3x+7)}\end{array}$

D'où,

$\boxed{h(x)=\dfrac{3(3x-2)}{3x+7}}$

c) Calculer

$h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ puis donnons sa valeur approchée à

$10^{-1}$ prés par défaut.

En remplaçant

$x$ par

$\dfrac{1}{3}$ , dans l'expression simplifiée de

$h(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} h\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&\dfrac{3\left(3\times\dfrac{1}{3}-2\right)}{3\times\dfrac{1}{3}+7}\\\\&=&\dfrac{3(1-2)}{1+7}\\\\&=&\dfrac{3(-1)}{8}\\\\&=&-\dfrac{3}{8}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{h\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{3}{8}}$

Donnons sa valeur approchée à

$10^{-1}$ prés par défaut.

On a :

$-\dfrac{3}{8}=-0.375$

Donc, en encadrant

$h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à

$10^{-1}$ prés, on obtient :

$-0.4<h\left(\dfrac{1}{3}\right)<-0.3$

D'où, la valeur approchée de

$h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à

$10^{-1}$ prés par défaut est égale à :

$-0.4$

Exercice 11 "BFEM 2005"

On donne les expressions suivantes :

$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$

1) Développons, réduisons et ordonnons

$f(x)\$ et

$\ g(x).$

Soit :

$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 5\times 3x+(5)^{2}-((2x)^{2}-2\times 1\times 2x+(1)^{2})\\\\&=&9x^{2}-30x+25-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&9x^{2}-30x+25-4x^{2}+4x-1\\\\&=&5x^{2}-26x+24\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=5x^{2}-26x+24}$

Soit :

$g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}+2x\times 5-2x\times x+5\times 1-x\times 1-25\\\\&=&x^{2}+10x-2x^{2}+5-x-25\\\\&=&-x^{2}+9x-20\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=-x^{2}+9x-20}$

2) Factorisons

$f(x)\$ et

$\ g(x).$

Soit :

$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&[(3x-5)-(2x-1)][(3x-5)+(2x-1)]\\\\&=&(3x-5-2x+1)(3x-5+2x-1)\\\\&=&(x-4)(5x-6)\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(x)=(x-4)(5x-6)}$

Soit :

$g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en factorisant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}-25+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)-(2x+1)(x-5)\\\\&=&(x-5)[(x+5)-(2x+1)]\\\\&=&(x-5)(x+5-2x-1)\\\\&=&(x-5)(-x+4)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(x)=(x-5)(-x+4)}$

3) Soit

$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

a) Donnons la condition d'existence de

$h(x).$

$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur

$g(x)$ est différent de

$0.$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&g(x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)(-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)\neq 0\ \text{ et }\ (-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ -x\neq -4\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-4}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq 4\end{array}$

Donc,

$x$ doit être différent de

$5\$ et

$\ 4$ pour que

$h(x)$ existe.

b) Simplifions

$h(x).$

Pour tout

$x$ différent de

$5\$ et

$\ 4$ , on a :

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{f(x)}{g(x)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{(x-5)(-x+4)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{-(x-5)(x-4)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{-(x-5)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{(-x+5)}\end{array}$

D'où,

$\boxed{h(x)=\dfrac{5x-6}{-x+5}}$

4) Comparons :

$h(0)\$ et

$\ h\left(-\dfrac{1}{2}\right).$

Calculons

$h(0)$

En remplaçant

$x$ par

$0$ , dans l'expression simplifiée de

$h(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} h\left(0\right)&=&\dfrac{5\times 0-6}{-0+5}\\\\&=&\dfrac{-6}{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{h\left(0\right)=-\dfrac{6}{5}}$

Calculons

$h\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

En remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{1}{2}$ , dans l'expression simplifiée de

$h(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} h\left(-\dfrac{1}{2}\right)&=&\dfrac{5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-6}{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+5}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-6}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{2}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{12}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{-17}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{-17}{2}\times\dfrac{2}{11}\\\\&=&\dfrac{-17}{11}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{17}{11}}$

Comparons ensuite

$-\dfrac{6}{5}\$ et

$\ -\dfrac{17}{11}$

En effet, ces deux nombres étant tous négatifs alors, le plus grand est celui avec la plus petite valeur absolue.

Soit :

$\left|-\dfrac{6}{5}\right|=\dfrac{6}{5}\$ et

$\ \left|-\dfrac{17}{11}\right|=\dfrac{17}{11}$

Alors, en calculant la différence entre ces valeurs absolues, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}&=&\dfrac{6\times 11}{5\times 11}-\dfrac{17\times 5}{11\times 5}\\\\&=&\dfrac{66}{55}-\dfrac{85}{55}\\\\&=&\dfrac{66-85}{55}\\\\&=&\dfrac{-19}{55}\end{array}$

Donc,

$\boxed{\dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}=-\dfrac{19}{55}}$

On remarque alors que cette différence est négative.

Ce qui signifie que

$\dfrac{6}{5}<\dfrac{17}{11}.$

Par conséquent,

$-\dfrac{6}{5}>-\dfrac{17}{11}.$

D'où,

$\boxed{h(0)>h\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$

Auteur:

Diny Faye

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Solution des exercices : Calcul algébrique 3e

Formulaire de recherche

Exercice 1 "Identités remarquables"

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5 "BFEM 2e groupe"

Exercice 6 "BFEM 2009"

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

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