Solution des exercices : Les angles - 6e
Classe:
Sixième
Exercice 1
On considère la figure ci-dessous.
1) Colorions en rouge l'angle ^DBx
2) Colorions en vert l'angle ^DEB
3) Colorions en Jaune l'angle ^AFE
4) Colorions en noir l'angle ^AEF
Exercice 2
On considère la figure ci-dessous.
1) Donnons quatre autres façons de noter l'angle ^AOP.
^POA, ^MOB, ^AOB, ^MOP
2) Colorions en vert l'angle ^ANM.
3) Donner cinq autres façons de noter l'angle ^ANM.
^MNA, ^ANB, ^PNM, ^PNB, ^BNP
Exercice 3
1) Construisons un angle ^ABC tel que : mes^ABC=50∘.
2) Donnons la nature de l'angle ^ABC.
On a : mes^ABC=50∘.
Or, 50∘ est inférieur à 90∘
Donc, ^ABC est un angle aigu.
Exercice 4 : "Construction et calcul d'angle"
1) Construisons un angle ^MNP tel que : mes^MNP=120∘.
2) Donnons la nature de l'angle ^MNP.
On a : mes^MNP=120∘.
Alors, ^MNP est un angle dont la mesure est supérieure à 90∘.
Donc, ^MNP est un angle obtus.
Exercice 5 : "Angle droit et angle plat"
1) Construisons un angle droit ^IJK.
On construit donc un angle ^IJK dont la mesure est égale à 90∘.
2) Construisons un angle plat ^LMN.
On construit alors un angle ^LMN dont la mesure est égale à 180∘.
Exercice 6
1) a) Traçons une demi-droite [SU).
b) Construisons une demi-droite [SV) telle que mes^USV=40∘.
2) Il y a deux possibilités pour construire la demi-droite [SV).
La demi-droite [SV) peut être placée au dessus ou en dessous de la demi-droite [SU) telle que mes^USV=40∘.
Donc, il y a deux possibilités.
Exercice 7
1) Traçons un angle ^ABC de 50∘. Traçons une demi-droite [BI) opposée à la demi-droite [BA).
2) Calculons mes^CBI en degré puis en grade.
Comme la demi-droite [BI) est opposée à la demi-droite [BA) alors, l'angle ^ABI est un angle plat.
Donc, les angles ^ABC et ^CBI sont adjacents supplémentaires.
Ce qui signifie que la somme de leur mesure est égale à 180∘.
Ainsi,
mes^ABC+mes^CBI=180∘
Ce qui entraine alors,
mes^CBI=180∘−mes^ABC
En remplaçant mes^ABC par sa valeur 50∘, on obtient :
mes^CBI=180∘−mes^ABC=180∘−50∘=130∘
D'où, mes^CBI=130∘
Pour convertir en grades, on utilise la relation suivante : 90∘=100grades
Ainsi, on a :
130∘=100×13090=144.44grades
Donc, mes^CBI=144.44gr
Exercice 8 : "Angle complémentaire"
1) Construisons deux angles adjacents complémentaires ^xOy et ^xOt tels que : mes^xOy=30∘.
2) Calculons mes^xOt en degré puis en grade.
Comme ^xOy et ^xOt sont deux angles adjacents complémentaires alors, cela signifie que la somme de leur mesure est égale à 90∘.
Donc,
mes^xOy+mes^xOt=90∘
Ce qui entraine alors,
mes^xOt=90∘−mes^xOy
En remplaçant mes^xOy par sa valeur 30∘, on obtient :
mes^xOt=90∘−mes^xOy=90∘−30∘=60∘
D'où, mes^xOt=60∘
Pour convertir en grades, on utilise la relation suivante : 90∘=100grades
Donc, on a :
60∘=100×6090=66.66grades
Ainsi, mes^xOt=66.66gr
Exercice 9 : "Bissectrice d'un angle"
1) Construisons un angle ^ABC tel que : mes^ABC=30∘.
2) Construisons la demi-droite [BJ) bissectrice de l'angle ^ABC.
Calculons mes^JBA.
On sait que la bissectrice d'un angle partage l'angle en deux angles de même mesure.
Cela signifie que :
mes^JBA=mes^JBC=mes^ABC2
En remplaçant mes^ABC par sa valeur 30∘, on obtient :
mes^JBA=mes^ABC2=30∘2=15∘
D'où, mes^JBA=15∘
Exercice 10 : "Symétrique d'un angle"
1) Deux angles superposables sont deux angles égaux.
2) Construisons deux angles adjacents et superposables dont chacun mesure 30∘.
^ABC et ^CBD sont deux angles adjacents et superposables de même mesure 30∘.
3) Construisons le symétrique de ces deux angles par rapport à une droite (d).
Alors, les angles ^A′B′C′ et ^C′B′D′ sont les symétriques respectifs des angles ^ABC et ^CBD par rapport à la droite (d).
Exercice 11 : "Angle supplémentaire"
1) Construisons deux angles adjacents supplémentaires ^ABC et ^CBN tels que : mes^ABC=30∘.
2) Calculons mes^CBN.
Comme ^ABC et ^CBN sont deux angles adjacents supplémentaires alors, cela signifie que la somme de leur mesure est égale à 180∘.
Donc,
mes^ABC+mes^CBN=180∘
Ce qui entraine alors,
mes^CBN=180∘−mes^ABC
En remplaçant mes^ABC par sa valeur 30∘, on obtient :
mes^CBN=180∘−mes^ABC=180∘−30∘=150∘
D'où, mes^CBN=150∘
Exercice 12 : "Approfondissement"
On considère la figure ci-dessous.
On donne mes^CAB=59∘ et mes^HAD=30∘.
1) Reproduisons la figure ci-dessous.
2) Calculons la mesure des angles : mes^DAC; mes^GAH; mes^GAC; mes^FAD et mes^FAB
− Calcul de mes^DAC
Les angles ^DAC et ^CAB sont adjacents supplémentaires donc, on a :
mes^DAC+mes^CAB=180∘
Ce qui entraine :
mes^DAC=180∘−mes^CAB
En remplaçant mes^CAB par sa valeur 59∘, on obtient :
mes^DAC=180∘−mes^CAB=180∘−59∘=121∘
D'où, mes^DAC=121∘
− Calcul de mes^GAH
Les angles ^GAH et ^HAD sont adjacents complémentaires. Ce qui signifie alors :
mes^GAH+mes^HAD=90∘
Ce qui entraine :
mes^GAH=90∘−mes^HAD
En remplaçant mes^HAD par sa valeur 30∘, on obtient :
mes^GAH=90∘−mes^HAD=90∘−30∘=60∘
D'où, mes^GAH=60∘
− Calcul de mes^GAC
Les angles ^GAC et ^CAB sont adjacents complémentaires donc, on a :
mes^GAC+mes^CAB=90∘
Ce qui entraine :
mes^GAC=90∘−mes^CAB
En remplaçant mes^CAB par sa valeur 59∘, on obtient :
mes^GAC=90∘−mes^CAB=90∘−59∘=31∘
D'où, mes^GAC=31∘
− Calcul de mes^FAD
Les angles ^FAD et ^HAD sont adjacents supplémentaires. Ce qui signifie alors :
mes^FAD+mes^HAD=180∘
Ce qui entraine :
mes^FAD=180∘−mes^HAD
En remplaçant mes^HAD par sa valeur 30∘, on obtient :
mes^FAD=180∘−mes^HAD=180∘−30∘=150∘
D'où, mes^FAD=150∘
− Calcul de mes^FAB
On remarque que ^FAB et ^HAD sont deux angles superposables.
Ils ont alors la même mesure.
mes^FAB=mes^HAD
Or, mes^HAD=30∘
D'où, mes^FAB=30∘
Exercice 13 : "Approfondissement"
1) Construire deux angles adjacents ^xOy et ^yOz de côté commun [Oy) tels que : mes^xOy=40∘ et mes^yOz=140∘
2) Calculons mes^xOz puis donnons sa nature.
Comme les deux angles ^xOy et ^yOz sont adjacents de côté commun [Oy) alors, on a :
mes^xOy+mes^yOz=mes^xOz
En remplaçant mes^xOy et mes^yOz par leur valeur, on obtient :
mes^xOz=mes^xOy+mes^yOz=40∘+140∘=180∘
D'où, mes^xOz=180∘
La mesure de l'angle ^xOz étant égale à 180∘ alors, ^xOz est un angle plat.
3) a) Construisons les demi-droites [OM) et [ON) bissectrices respectives des angles ^xOy et ^yOz
b) Calculons mes^MON puis donnons sa nature.
On constate que les deux angles ^MOy et ^yON sont adjacents.
Donc, on a :
^MON=^MOy+^yON
Comme [OM) est bissectrice de l'angle ^xOy alors, on a :
^xOM=^MOy=^xOy2
Ce qui donne : ^MOy=40∘2=20∘
Comme [ON) est bissectrice de l'angle ^yOz alors, on a :
^yON=^NOz=^yOz2
Ce qui donne : ^yON=140∘2=70∘
Ainsi, en remplaçant ^MOy et ^yON par leur valeur, on obtient :
mes^MON=^MOy+^yON=20∘+70∘=90∘
D'où, mes^MON=90∘
L'angle ^MON a donc pour mesure 90∘.
C'est alors un angle droit.
Exercice 14 : "Approfondissement"
1) a) Construisons deux angles ^AOB et ^BOC de côté commun [OB) tels que : mes^AOB=40∘ et mes^BOC=50∘
b) Les angles ^AOB et ^BOC sont adjacents complémentaires.
Justifions la réponse.
On constate que les deux angles ^AOB et ^BOC ont un sommet commun ; le point O et sont situés de part et d'autre d'un bord commun ; le côté [OB).
Donc, ces deux angles sont adjacents.
De plus, on a :
mes^AOB+mes^BOC=40∘+50∘=90∘
Comme la somme de leur mesure est égale à 90∘ alors, ces deux angles sont complémentaires.
D'où, les angles ^AOB et ^BOC sont adjacents complémentaires.
c) Calculons la mesure de l'angle ^AOC en degré (∘) puis en grade (gr).
Comme les angles ^AOB et ^BOC sont adjacents complémentaires alors, on a :
mes^AOB+mes^BOC=mes^AOC
D'où, mes^AOC=90∘
On sait que : 90∘=100grades
Donc, la mesure de l'angle ^AOC en grade (gr) est égale à 100gr.
2) a) Construisons un angle droit ^EOG puis marquons le point H tel que ^EOH soit un angle plat.
b) Les angles ^EOG et ^GOH sont adjacents supplémentaires et de même mesure 90∘
c) La droite (GO) est la bissectrice de l'angle ^EOH.
On remarque que la droite (GO) passant par le sommet O, partage l'angle ^EOH en deux angles de même mesure 90∘.
Par conséquent, la droite (GO) représente la bissectrice de l'angle ^EOH.
Calculons mes^EOH.
On sait que ^EOH est un angle plat. Ce qui signifie que sa mesure est égale à 180∘.
Ainsi, mes^EOH=180∘
Exercice 15
On donne les angles de la figure ci-dessous :
1) Nommons chacun des angles de la figure.
^CAB, ^FGR, ^EOJ, ^NSM
2) Pour chaque angle précisons son sommet et ses côtés.
L'angle ^CAB a pour sommet A et pour côtés [AB) et [AC)
L'angle ^FGR a pour sommet G et pour côtés [GR) et [GF)
L'angle ^EOJ a pour sommet O et pour côtés [OJ) et [OE)
L'angle ^NSM a pour sommet S et pour côtés [SM) et [SN)
3) Mesurons chaque angle puis donnons la mesure en grade.
En mesurant chaque angle, on trouve :
^CAB=30∘
^FGR=100∘
^EOJ=45∘
^NSM=150∘
Pour convertir en grades, on utilise la relation suivante : 90∘=100grades
Ainsi,
30∘=100×3090=33grades
100∘=100×10090=111grades
45∘=100×4590=50grades
150∘=100×15090=166grades
Donc,
^CAB=33grades
^FGR=111grades
^EOJ=50grades
^NSM=166grades
4) Indiquons parmi ces angles ceux qui sont aigus, plats, obtus ou droits.
Les angles ^CAB et ^EOJ ont une mesure inférieure à 90∘
Donc, ces angles sont des angles aigus.
Par contre, les angles ^FGR et ^NSM ont une mesure supérieure à 90∘ et inférieure à 180∘.
Par conséquent, ces angles sont des angles obtus.
Exercice 16
TMF est un triangle tel que ^TMF=65∘.
1) En mesurant les angles ^MTF et ^TFM, on trouve :
^MTF=45∘ et ^TFM=70∘
2) Calculons la somme des trois angles du triangle.
Soit : ^TMF+^MTF+^TFM=65∘+45∘+70∘=180∘
Exercice 17
1) Complétons les phrases par les mots ou groupe de mots ci-dessous et justifions notre réponse.
complémentaires ; supplémentaires ; correspondants ; bissectrice ; superposables ; adjacents ; angle droit ; angle obtus ; angle aigu ; angle plat.
a) Les angles ^CHF et ^FHE sont adjacents complémentaires.
On a : ^CHF+^FHE=30∘+60∘=90∘ donc, ces deux angles sont complémentaires.
De plus, ^CHF et ^FHE ont le même sommet H et sont situés de part et d'autre du côté commun [HF) donc, ils sont adjacents.
Par conséquent, les angles ^CHF et ^FHE sont adjacents complémentaires.
b) Les angles ^SAF et ^TKH sont supplémentaires
On a : ^SAF+^TKH=65∘+115∘=180∘
Donc, ^SAF et ^TKH sont supplémentaires.
c) Les angles ^SAF et ^FJU sont complémentaires
On a : ^SAF+^FJU=65∘+25∘=90∘
Ce qui montre que les angles ^SAF et ^FJU sont complémentaires.
d) Les angles ^ESN et ^FJU sont correspondants
e) ^TKH est un angle obtus
La mesure de l'angle ^TKH est supérieure à 90∘ mais inférieure à 180∘.
Donc, l'angle ^TKH est un angle obtus.
f) ^FOP est un angle aigu
Comme la mesure de l'angle ^FOP est inférieure à 90∘ alors, ^FOP est un angle aigu.
g) Les angles ^UGR et ^FGD sont supplémentaires
On a : ^UGR+^FGD=100∘+80∘=180∘.
Ce qui prouve que les angles ^UGR et ^FGD sont supplémentaires
h) Les angles ^UGT et ^TGR sont adjacents et superposables
Les angles ^UGT et ^TGR ont le même sommet G, la même mesure 50∘ et sont situés de part et d'autre du côté commun [GT) donc, ils sont adjacents et superposables.
2) Répondons par vrai ou faux aux affirmations ci-dessous :
a) [FH) est la bissectrice de l'angle ^CHE.Faux
b) [TG) est la bissectrice de l'angle ^UGR.Vrai
c) Les angles ^FJU et ^FOP sont superposables.Faux
d) Les angles ^TKH et ^FGD sont supplémentaires.Faux
Exercice 18
Les questions sont indépendantes.
1) Construisons les angles suivants.
a) ^ACF est un angle tel que ^ACF=40∘.
b) ^STM est un angle tel que ^STM=70∘.
c) ^DCV est un angle tel que ^DCV=100∘.
d) ^RGB est un angle tel que ^RGB=120∘.
e) ^PJS est un angle tel que ^PJS=80∘.
2) Construisons un angle ^MAN tel que ^MAN=55∘.
Construisons l'angle ^GEF pour que les angles ^MAN et ^GEF soient complémentaires.
Pour cela, on détermine la mesure de l'angle ^GEF.
Les angles ^MAN et ^GEF sont complémentaires donc, on a :
mes^MAN+mes^GEF=90∘
Ce qui entraine : mes^GEF=90∘−mes^MAN
En remplaçant mes^MAN par sa valeur 55∘, on obtient :
mes^GEF=90∘−mes^MAN=90∘−55∘=35∘
Donc, la mesure de l'angle ^GEF est égale à 35∘.
3) Construisons un angle ^BAC tel que ^BAC=120∘.
Construisons l'angle ^GEF pour que les angles ^FEG et ^BAC soient supplémentaires.
Déterminons la mesure de l'angle ^GEF.
Les angles ^FEG et ^GEF sont supplémentaires donc, on a :
mes^FEG+mes^GEF=180∘
Ce qui entraine : mes^GEF=180∘−mes^FEG
En remplaçant mes^FEG par sa valeur 120∘, on obtient :
mes^GEF=180∘−mes^FEG=180∘−120∘=60∘
Donc, la mesure de l'angle ^GEF est égale à 60∘.
4) Construisons deux angles adjacents ^TSC et ^CSR tels que ^TSC=50∘ et ^CSR=70∘.
Les deux angles ^TSC et ^CSR ont alors un sommet commun ; le point S et sont situés de part et d'autre d'un bord commun ; le côté [SCF).
Exercice 19
1) Construis deux angles adjacents ^MNP et ^PNA tels que ^MNP=50∘ et ^PNA=40∘.
2) Justifions que les angles ^MNP et ^PNA sont complémentaires.
Alors, on vérifie si la somme de leur mesure est égale à 90∘.
On a : mes^MNP=50∘+mes^PNA=50∘+40∘=90∘
Ce qui justifie que les angles ^MNP et ^PNA sont complémentaires.
3) Plaçons le point B sur la demi-droite [PN) tel que le point N soit le milieu de [PB].
4) Déterminons la mesure des angles ^MNB et ^ANB sachant que ^PNB est un angle plat.
− Calcul de mes^MNB
Comme ^PNB est un angle plat alors, sa mesure est égale à 180∘.
Donc, les angles ^PNM et ^MNB sont adjacents supplémentaires.
Ce qui s'écrit alors :
mes^PNM+mes^MNB=mes^PNB=180∘
Ce qui entraine : mes^MNB=180∘−mes^PNM
En remplaçant mes^PNM par sa valeur 50∘, on obtient :
mes^MNB=180∘−mes^PNM=180∘−50∘=130∘
Donc, la mesure de l'angle ^MNB est égale à 130∘.
− Calcul de mes^ANB
^PNB est un angle plat donc, sa mesure est égale à 180∘.
Alors, les angles ^PNA et ^ANB sont adjacents supplémentaires.
Ainsi :
mes^PNA+mes^ANB=mes^PNB=180∘
Ce qui entraine : mes^ANB=180∘−mes^PNA
On remplace mes^PNA par sa valeur 40∘.
On obtient alors :
mes^ANB=180∘−mes^PNA=180∘−40∘=140∘
Donc, la mesure de l'angle ^ANB est égale à 140∘.
Exercice 20
1) Reproduisons les angles de la figure en utilisant uniquement la règle et le compas.
2) Convertissons la mesure de chaque angle de la figure en grade.
On sait que : 90∘=100grades
Donc, la mesure de l'angle droit ^GAH est égale à 100gr.
Comme 90∘ correspond à 100grades alors :
50∘ correspond à 100×5090=55.55grades
120∘ correspond à 100×12090=133.33grades
Donc, la mesure de l'angle ^JFT est égale à 55.55gr et celle de ^DSK est égale à 133.33gr
Exercice 21
Construisons la bissectrice de chacun des angles ci-dessous avec la règle et le rapporteur :
On sait que : la bissectrice d'un angle est la demi-droite ou la droite qui passe par le sommet de cet angle et qui le partage en deux angles de même mesure.
1) ^RDF est un angle tel que mes ^RDF=50∘
On place le centre du rapporteur au sommet D et le bord droit sur le côté [DR) de l'angle ^RDF.
Puis, à la graduation 25∘ correspondant à la moitié de la mesure de l'angle ^RDF, on marque le point H.
Ensuite, avec la règle, on trace la demi-droite [DH) qui représente la bissectrice de l'angle ^RDF.
2) ^FHM est un angle tel que mes ^FHM=80∘
On place le centre du rapporteur au sommet H et le bord droit sur le côté [HF) de l'angle ^FHM.
Puis, à la graduation 40∘ correspondant à la moitié de la mesure de l'angle ^FHM, on marque le point G.
Ensuite, avec la règle, on trace la demi-droite [HG) ; bissectrice de l'angle ^FHM.
3) ^CEV est un angle tel que mes ^CEV=130∘
En procédant de la même manière que dans les questions 1) et 2) on trace la demi-droite [EH) ; bissectrice de l'angle ^CEV.
4) ^ADB est un angle tel que mes ^ADB=120∘
On procède comme dans les questions précédentes pour tracer la bissectrice de l'angle ^ADB représentée par la demi-droite [DH).
5) ^PJS est un angle tel que mes ^PJS=70∘
De la même manière que dans les questions précédentes, on trace la demi-droite [JH) qui est la bissectrice de l'angle ^PJS.
Exercice 22
Construisons la bissectrice de chacun des angles ci-dessous avec la règle et le compas :
Il faut se rappeler que : la bissectrice d'un angle est la demi-droite ou la droite qui passe par le sommet de cet angle et qui le partage en deux angles de même mesure.
1) ^ABC est un angle qui a pour mesure 65∘
On pointe le compas sur le sommet B et on trace un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle ^ABC respectivement en A et C.
Puis, on place sur A et on trace un arc de cercle. Avec le même écartement du compas, on se place sur C et on trace un arc de cercle. Les deux arcs de cercle se coupent au point H.
On trace ensuite, la demi-droite [BH) qui est la bissectrice de l'angle ^ABC.
2) ^MNF est un angle qui a pour mesure 87∘
En procédant de la même manière que dans la question 1), on trace la demi-droite [NH) ; bissectrice de l'angle ^MNF.
3) ^CZS est un angle qui a pour mesure 122∘
Avec la même démarche que dans la question 1), on trace la demi-droite [ZH) qui représente la bissectrice de l'angle ^CZS.
4) ^JUB est un angle qui a pour mesure 110∘
De la même manière que dans la question 1), on trace la demi-droite [UH) ; bissectrice de l'angle ^JUB.
5) ^PFD est un angle qui a pour mesure 90∘
En procédant de la même manière que dans la question 1), on trace la demi-droite [FH) qui est la bissectrice de l'angle ^PFD.
Exercice 23
1) Construisons deux angles complémentaires ^RDF et ^FDH tels que ^RDF=50∘.
2) Les angles ^RDF et ^FDH sont adjacents.
Justifions notre réponse.
En observant la figure, on constate que ^RDF et ^FDH sont deux angles qui ont un sommet commun ; le point D et sont situés de part et d'autre d'un bord commun ; le coté [DF).
Par conséquent, ces deux angles sont adjacents.
3) Construisons la bissectrice [DA) de l'angle ^RDF.
Cette bissectrice partage alors l'angle ^RDF en deux angles de même mesure :
mes^RDA=mes^ADF=50∘2=25∘
4) Plaçons le point B sur la demi-droite [HD) tel que HB>DH.
Déterminons la mesure de l'angle ^BDA sachant que ^BDH est un angle plat.
Comme ^BDH est un angle plat alors, sa mesure est égale à 180∘.
Donc, les angles ^BDA et ^ADH sont adjacents supplémentaires.
Ainsi, on a :
mes^BDA+mes^ADH=mes^BDH=180∘
Ce qui entraine : mes^BDA=180∘−mes^ADH
On peut remarquer que les angles ^ADF et ^FDH sont adjacents.
Donc, mes^ADH=mes^ADF+mes^FDH
On remplace alors mes^ADH par la somme : mes^ADF+mes^FDH.
On obtient alors :
mes^BDA=180∘−mes^ADH=180∘−(mes^ADF+mes^FDH)=180∘−(25∘+40∘)=180∘−65∘=115∘
Donc, la mesure de l'angle ^BDA est égale à 115∘.
Exercice 24
1) Construisons deux angles supplémentaires ^TMP et ^TMA tel que ^TMP=80∘.
2) Les angles ^TMP et ^TMA sont adjacents.
Justifions notre réponse.
En observant la figure, on remarque que ^TMP et ^TMA sont deux angles qui ont un sommet commun ; le point M et sont situés de part et d'autre d'un bord commun ; le coté [MT).
Par conséquent, ces deux angles sont adjacents.
3) Traçons la droite (D) perpendiculaire à (AP) et passant par le point M.
Plaçons les points C et S sur (D) tels que M soit le milieu de [CS].
4) Déterminons la mesure de l'angle ^TMA.
Comme les angles ^TMP et ^TMA supplémentaires alors, on a :
mes^TMA+mes^TMP=180∘
Ce qui entraine : mes^TMA=180∘−mes^TMP
En remplaçant mes^TMP par sa valeur 80∘, on obtient :
mes^TMA=180∘−mes^TMP=180∘−80∘=100∘
Donc, la mesure de l'angle ^TMA est égale à 100∘.
Exercice 25
1) Les angles ^SO′T et ^TOU ne sont pas adjacents
Justifions notre réponse.
En observant la figure on constate que les angles ^SO′T et ^TOU n'ont pas le même sommet.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
2) Les angles ^TOU et ^UOR sont adjacents
Justifions notre réponse.
En observant la figure on remarque que ^TOU et ^UOR sont deux angles qui ont un sommet commun ; le point O et sont situés de part et d'autre d'un bord commun ; le côté [OU).
Donc, ces deux angles sont adjacents.
3) Les angles ^SO′T et ^UOR ne sont pas adjacents.
Justifions notre réponse.
En observant la figure on constate que les angles ^SO′T et ^UOR n'ont ni de sommet commun, ni de côté commun.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
Exercice 26
Sur la figure l'angle ^NAM mesure 40∘ et (D) une droite du plan.
1) Les angles ^MAN et ^EAS sont superposables.
Déduisons-en la mesure de l'angle ^EAS.
On sait que deux angles superposables sont égaux.
Donc, la mesure de l'angle ^EAS est égale à celle de l'angle ^MAN.
D'où, mes^EAS=40∘
2) Reproduisons la figure en vrai grandeur en respectant l'angle 40∘.
3) Construisons le symétrique de la figure par rapport à la droite (D) ; les points points A, M, N, E et S ont symétriques respectifs A′, M′, N′, E′ et S′
4) Comparons les angles ^M′A′N′ et ^MAN.
On a : l'angle ^M′A′N′ est le symétrique de l'angle ^MAN par rapport à la droite (D).
Or, on sait que : le symétrique d'un angle par rapport à un droite donnée est un angle de même mesure.
Par conséquent, les angles ^M′A′N′ et ^MAN ont la même mesure.
D'où, mes^M′A′N′=mes^MAN=40∘
Exercice 27
1) Traçons deux droites (L) et (D) sécantes au point M formant un angle de 50∘.
2) Plaçons les points A et B sur la droite (L) tels que AB=8cm et M soit le milieu de [AB].
3) Traçons la droite (L1) perpendiculaire à (L) passant par le point A ; elle coupe la droite (D) au point C.
4) Déterminons la mesure de chacun des angles du triangle AMC.
Comme la droite (L1) est perpendiculaire à la droite (L) au point A alors, ^MAC est un angle droit.
D'où, mes^MAC=90∘
En observant la figure, on constate que l'angle ^AMC et l'angle de 50∘ formé par les deux droites (L) et (D) sont superposables.
Par conséquent, ils ont la même mesure.
D'où, mes^AMC=50∘
Comme ^MAC est un angle droit alors, le triangle AMC est rectangle en A.
Or, on sait que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
Ce qui signifie que : ^AMC et ^ACM sont complémentaires.
Ainsi :
mes^ACM+mes^AMC=90∘
Ce qui entraine : mes^ACM=90∘−mes^AMC
En remplaçant mes^AMC par sa valeur 50∘, on obtient :
mes^ACM=90∘−mes^AMC=90∘−50∘=40∘
Donc, mes^ACM=40∘
Exercice 28
1) Traçons un angle ^MNE tel que ^MNE=40∘ et NE=NM=3cm.
2) Traçons le cercle (C1) de centre N et de rayon NM.
3) Plaçons le point A sur le cercle (C1) tel que ^MNA=40∘.
La droite (NM) est la bissectrice de l'angle ^ANE.
En observant la figure, on constate que la droite (NM), passant par le sommet N de l'angle ^ANE, partage cet angle en deux angles de même mesure.
Donc, cette droite représente la bissectrice de l'angle ^ANE.
4) Plaçons le point F sur le cercle (C1) tel que les points E, N et F soient alignés.
a) La mesure de l'angle ^FNE est égale à 180∘.
Justifions notre réponse.
Comme les points E, N et F soient alignés alors, l'angle ^FNE est un angle plat.
Donc, sa mesure est égale à 180∘.
b) Calculons la mesure de l'angle ^FNA.
On a : les angles ^FNA et ^ANE sont supplémentaires.
Donc,
mes^FNA+mes^ANE=180∘
Ce qui entraine : mes^FNA=180∘−mes^ANE
Mais, on sait que : (NM) est la bissectrice de l'angle ^ANE.
Donc, mes^ANE=2×40∘=80∘
On remplace alors mes^ANE par sa valeur 80∘.
On obtient :
mes^FNA=180∘−mes^ANE=180∘−80∘=100∘
Donc, la mesure de l'angle ^FNA est égale à 100∘.
Exercice 29
Reproduisons la figure puis construisons le symétrique du triangle ABC par rapport à la droite.
On construit alors A′; B′ et C′ symétriques respectifs des points A; B et C par rapport à la droite (D) puis on trace le triangle A′B′C′. C'est le symétrique du triangle ABC par rapport à la droite (D).
Exercice 30
Sur la figure codée ci-dessous :
1) ^AHB et ^HBF sont deux angles aigus.
Le codage montre que la mesure des angles ^AHB et ^HBF est inférieure à 90∘ donc, ^AHB et ^HBF sont deux angles aigus.
2) ^ABF est un angle obtus.
Le codage montre que la mesure de l'angle ^ABF est supérieure à 90∘ donc, ^ABF est un angle obtus.
3) ^AHB et ^HBA sont deux angles complémentaires.
On a : ABH es un triangle rectangle en A donc, ses angles aigus sont complémentaires.
Ce qui signifie que ^AHB et ^HBA sont deux anges complémentaires.
4) ^EFH et ^BEG sont deux angles supplémentaires.
On a : mes^EFH+mes^BEG=90∘+90∘=180∘
Donc, ^EFH et ^BEG sont deux angles supplémentaires.
Exercice 31
1) Construisons un angle droit ^ABE puis traçons la demi-droite [BC) telle que ^EBC=20∘ et ^EBC adjacent à ^CBA.
2) Construisons la demi-droite [BD) bissectrice de l'angle ^CBA.
3) Calculons la mesure l'angle ^CBA.
On a : ^EBC et ^CBA sont deux angles adjacents.
Donc, mes^EBC+mes^CBA=mes^ABE
Or, ^ABE est un angle droit donc, sa mesure est égale à 90∘.
Ainsi, on a : mes^EBC+mes^CBA=90∘
Ce qui entraine alors : mes^CBA=90∘−mes^EBC
En remplaçant mes^EBC par sa valeur 20∘, on obtient :
mes^CBA=90∘−mes^EBC=90∘−20∘=70∘
Donc, la mesure de l'angle ^CBA est égale à 70∘.
4) Déterminons la mesure des angles ^DBA et ^DBC en justifiant notre réponse.
On a : [BD) est bissectrice de l'angle ^CBA.
Donc, la demi-droite [BD) partage l'angle ^CBA en deux angles de même mesure.
Ce qui signifie que :
mes^DBA=mes^DBC=mes^CBA2
En remplaçant mes^CBA par sa valeur 70∘, on trouve :
mes^DBA=mes^DBC=70∘2=35∘
Ainsi, la mesure des angles ^DBA et ^DBC est égale à 35∘.
Auteur:
Diny Faye
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