Solution des exercices : Triangle rectangle - Théorème de Pythagore - 4e

Soit un triangle $ABC$ et la hauteur $[BE]$ avec $E$ appartenant au segment $[AC].$ 

 

On pose $AC=12.5\;cm$ et $AE=4.5\;cm.$ On appel $x$ la longueur du segment $[BE].$

1) Calculons $AB^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $ABE.$

 

En effet, dans le triangle $ABC$, comme $E$ est le pied de la hauteur issue de $B$ alors, $(BE)\ $ et $\ (AC)$ sont perpendiculaires en $E.$

 

Donc, le triangle $ABE$ est rectangle en $E.$

 

Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :

$$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}$$

Par suite, en remplaçant $BE$ par $x$ et $AE$ par sa valeur, on trouve : 

 

$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&x^{2}+(4.5)^{2}\\\\&=&x^{2}+20.25\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AB^{2}=x^{2}+20.25}$

 

2) Calculons $BC^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $BCE.$

 

Le triangle $BCE$ est rectangle en $E$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :

$$BC^{2}=BE^{2}+CE^{2}$$

Or, $E\in[AC]$ donc, $AE+CE=AC$

 

Par suite, $CE=AC-AE=12.5-4.5=8$

 

Donc, $CE=8\;cm$

 

Ainsi, en remplaçant $BE$ par $x$ et $CE$ par sa valeur, on obtient : 

 

$\begin{array}{rcl} BC^{2}&=&BE^{2}+CE^{2}\\\\&=&x^{2}+8^{2}\\\\&=&x^{2}+64\end{array}$

 

D'où, $\boxed{BC^{2}=x^{2}+64}$

 

3) On suppose que $ABC$ est rectangle en $B.$ En utilisant les résultats $1)$ et $2)$ appliquons lui le théorème de Pythagore et en déduisons que $2x^{2}=72.$

 

Comme $ABC$ est rectangle en $B$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :

$$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$$

Or, d'après les résultats $1)$ et $2)$, on a :

 

$AB^{2}=x^{2}+20.25\ $ et $\ BC^{2}=x^{2}+64$

 

Donc, en remplaçant $AB^{2}\ $ et $\ BC^{2}$ par leurs expressions, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}&\Rightarrow&x^{2}+20.25+x^{2}+64=(12.5)^{2}\\\\&\Rightarrow&2x^{2}+84.25=156.25\\\\&\Rightarrow&2x^{2}=156.25-84.25\\\\&\Rightarrow&2x^{2}=72\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{2x^{2}=72}$

 

Calculons $x.$

 

D'après le résultat $3)$, on a : $2x^{2}=72$

 

Ce qui donne : $x^{2}=\dfrac{72}{2}=36$

 

Par suite, $x^{2}=36$ or, $36=6^{2}$

 

Donc, $x^{2}=6^{2}$

 

D'où, $\boxed{x=6}$

 

4) Calculons $AB\ $ et $\ BC.$

 

D'après le résultat $1)$, on a : $AB^{2}=x^{2}+20.25$

 

Donc, en remplaçant $x$ par $6$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&6^{2}+20.25\\\\&=&36+20.25\\\\&=&56.25\end{array}$

 

Ainsi, $AB^{2}=56.25$

 

Or, on sait que : $56.25=(7.5)^{2}$ donc, $AB^{2}=(7.5)^{2}$

 

D'où, $\boxed{AB=7.5\;cm}$

 

Toujours, d'après le résultat $1)$, on a : $BC^{2}=x^{2}+64$

 

Alors, en remplaçant $x$ par $6$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} BC^{2}&=&6^{2}+64\\\\&=&36+64\\\\&=&100\end{array}$

 

Ainsi, $BC^{2}=56.25$

 

Comme $100=10^{2}$ alors, $BC^{2}=10^{2}$

 

D'où, $\boxed{BC=10\;cm}$

 

Déterminons l'aire de $ABC.$

 

Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ABC}}&=&\dfrac{AB\times BC}{2}\\\\&=&\dfrac{7.5\times 10}{2}\\\\&=&\dfrac{75}{2}\\\\&=&37.5\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ABC}}=37.5\;cm^{2}}$

 

Remarque :

 

Comme $H$ est le pied de la hauteur issue de $B$ alors, on peut aussi l'expression suivante pour calculer l'aire de $ABC\ :$

$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{BH\times AC}{2}$$

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A\ $ et $\ H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

 

Montrons que $AH^{2}=BH\times CH;$

 

En effet, $H$ étant le pied de la hauteur issue de $A$ alors, les triangles $ABH\ $ et $\ ACH$ sont rectangles en $H.$

 

Donc,

 

en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$, on obtient :

$$AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}$$

en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ACH$, on obtient :

$$AH^{2}+CH^{2}=AC^{2}$$

Ainsi, on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} AH^{2}+BH^{2}&=&AB^{2}\\\\AH^{2}+CH^{2}&=&AC^{2}\end{array}\right.$$

En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient :

$$AH^{2}+BH^{2}+AH^{2}+CH^{2}=AB^{2}+AC^{2}$$

Ce qui donne :

$$2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=AB^{2}+AC^{2}$$

Or, $ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$$

Ainsi, en remplaçant $AB^{2}+AC^{2}$ par $BC^{2}$, on obtient :

$$2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$$

Par ailleurs, on a : $H\in[BC]$ alors, $BC=BH+CH$

 

Ainsi, $BC^{2}=(BH+HC)^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}$

 

Par suite, en remplaçant $BC^{2}$ par $BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}&\Leftrightarrow&2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}\\\\&\Leftrightarrow&2AH^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}-BH^{2}-CH^{2}\\\\&\Leftrightarrow&2AH^{2}=2\times BH\times CH\\\\&\Leftrightarrow&AH^{2}=\dfrac{2\times BH\times CH}{2}\\\\&\Leftrightarrow&AH^{2}=BH\times CH\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AH^{2}=BH\times CH}$

 

Montrons que $AB^{2}=BH\times BC;$

 

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$, on obtient :

$$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$$

Or, on vient de monter que $AH^{2}=BH\times CH$

 

Donc, en remplaçant $AH^{2}$ par $BH\times CH$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&AH^{2}+BH^{2}\\\\&=&BH\times CH+BH^{2}\\\\&=&BH\times (CH+BH)\quad\text{or, }CH+BH=BC\\\\&=&BH\times BC\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{AB^{2}=BH\times BC}$

 

Montrons que $AC^{2}=BC\times CH.$

 

De la même manière, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ACH$, on obtient :

$$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$$

Or, $AH^{2}=BH\times CH$

 

Donc, en remplaçant $AH^{2}$ par $BH\times CH$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} AC^{2}&=&AH^{2}+CH^{2}\\\\&=&BH\times CH+CH^{2}\\\\&=&CH\times (BH+CH)\quad\text{or, }CH+BH=BC\\\\&=&CH\times BC\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AC^{2}=CH\times BC}$

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20