Solution Série d'exercice : Nombres complexes - Ts

Exercice 1

 a) $z = (1+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})$

Effectuons le produit :

$$\begin{aligned} z &= 1(1-2\mathrm{i}) + \mathrm{i}(1-2\mathrm{i}) \\   &= 1 - 2\mathrm{i} + \mathrm{i} - 2\mathrm{i}^2 \\   &= 1 - \mathrm{i} - 2(-1) \\   &= 1 - \mathrm{i} + 2 \\   &= 3 - \mathrm{i} \end{aligned}$$

Réponse : $\boxed{3-\mathrm{i}}$.

 b) $z = (2-3\mathrm{i})(3\mathrm{i})$

Effectuons le produit directement :

$$z = 2(3\mathrm{i}) - 3\mathrm{i}(3\mathrm{i}) = 6\mathrm{i} - 9\mathrm{i}^2 = 6\mathrm{i} - 9(-1) = 6\mathrm{i} + 9$$

Réponse : $\boxed{9+6\mathrm{i}}$.

 c) $z = (2\mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i})^2(3\mathrm{i}-4)$

1. Calculer $(1+\mathrm{i})^2$ :

$$(1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1+2\mathrm{i}-1 = 2\mathrm{i}.$$

2. Remplacer :

$$z = (2\mathrm{i}+1)(2\mathrm{i})(3\mathrm{i}-4).$$

3. Calculer $(2\mathrm{i}+1)(2\mathrm{i})$ :

$$(2\mathrm{i}+1)(2\mathrm{i}) = 4\mathrm{i}^2 + 2\mathrm{i} = 4(-1) + 2\mathrm{i} = -4 + 2\mathrm{i}.$$

4. Calculer $(-4 + 2\mathrm{i})(3\mathrm{i}-4)$ :

$$\begin{aligned} &(-4)(3\mathrm{i}) + (-4)(-4) + (2\mathrm{i})(3\mathrm{i}) + (2\mathrm{i})(-4) \\ &= -12\mathrm{i} + 16 + 6\mathrm{i}^2 - 8\mathrm{i} \\ &= 16 - 12\mathrm{i} - 8\mathrm{i} + 6(-1) \\ &= 16 - 20\mathrm{i} - 6 \\ &= 10 - 20\mathrm{i} \end{aligned}$$

Réponse : $\boxed{10-20\mathrm{i}}$.

 d) $z = (5+4\mathrm{i})(3+7\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$

1. Calculer $(5+4\mathrm{i})(3+7\mathrm{i})$ :

$$\begin{aligned} = 15 + 35\mathrm{i} + 12\mathrm{i} + 28\mathrm{i}^2 = 15 + 47\mathrm{i} + 28(-1) \\ = 15 + 47\mathrm{i} -28 = -13 + 47\mathrm{i}. \end{aligned}$$

2. Multiplier $(-13 + 47\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$ :

$$\begin{aligned} (-13)(2) + (-13)(-3\mathrm{i}) + (47\mathrm{i})(2) + (47\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) \\ = -26 + 39\mathrm{i} + 94\mathrm{i} -141\mathrm{i}^2 \\ = -26 + 133\mathrm{i} -141(-1) \\ = -26 + 133\mathrm{i} + 141 \\ = 115 + 133\mathrm{i}. \end{aligned}$$

Réponse : $\boxed{115+133\mathrm{i}}$.

 e) $z = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}$

Multiplier numérateur et dénominateur par $-\mathrm{i}$ :

$$z = \frac{(1-\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{2\mathrm{i}(-\mathrm{i})} = \frac{-\mathrm{i} + \mathrm{i}^2}{-2\mathrm{i}^2} = \frac{-\mathrm{i} -1}{-2(-1)} = \frac{-1-\mathrm{i}}{2}.$$

Réponse : $\boxed{-\frac12 - \frac12\mathrm{i}}$.

 f) $z = \dfrac{3-4\mathrm{i}}{7+5\mathrm{i}}$

Multiplier par le conjugué :

$$z = \frac{(3-4\mathrm{i})(7-5\mathrm{i})}{(7+5\mathrm{i})(7-5\mathrm{i})} \quad \text{avec }(7+5\mathrm{i})(7-5\mathrm{i})=49+25=74.$$

Numérateur :

$$(3-4\mathrm{i})(7-5\mathrm{i}) = 21-15\mathrm{i}-28\mathrm{i}+20\mathrm{i}^2 = 21-43\mathrm{i}+20(-1) = 1-43\mathrm{i}.$$

$$z = \frac{1-43\mathrm{i}}{74} = \frac1{74}-\frac{43}{74}\mathrm{i}.$$

Réponse : $\boxed{\frac1{74} - \frac{43}{74}\mathrm{i}}$.

 g) $z = \dfrac{(3-2\mathrm{i})(5+\mathrm{i})}{5-\mathrm{i}}$

Numérateur :

$$(3-2\mathrm{i})(5+\mathrm{i}) = 15 + 3\mathrm{i} -10\mathrm{i} -2\mathrm{i}^2 = 15 -7\mathrm{i} +2 = 17-7\mathrm{i}.$$

Dénominateur conjugué :
$(5-\mathrm{i})(5+\mathrm{i}) = 25+1=26.$

Multiplier par le conjugué :

$$z = \frac{(17-7\mathrm{i})(5+\mathrm{i})}{26}.$$

Calcul du nouveau numérateur :

$$(17-7\mathrm{i})(5+\mathrm{i}) = 85+17\mathrm{i}-35\mathrm{i}-7\mathrm{i}^2 = 85-18\mathrm{i}+7 = 92-18\mathrm{i}.$$

Diviser par 26 :

$$z = \frac{92-18\mathrm{i}}{26} = \frac{46-9\mathrm{i}}{13}.$$

Réponse : $\boxed{\frac{46}{13} - \frac{9}{13}\mathrm{i}}$.

Exercice 2

  1) $z = 5 + 3\mathrm{i}(2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4)$

 Étape 1 — Calculer le produit :

$(2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4)$ :

$$\begin{aligned} (2+6\mathrm{i})(3\mathrm{i}+4) &= 2(3\mathrm{i}+4) + 6\mathrm{i}(3\mathrm{i}+4) \\ &= 6\mathrm{i}+8 + 18\mathrm{i}^2 + 24\mathrm{i} \\ &= 8 + 30\mathrm{i} + 18(-1) \\ &= 8+30\mathrm{i} -18 \\ &= -10 + 30\mathrm{i}. \end{aligned}$$

 Étape 2 — Multiplier par $3\mathrm{i}$ :

$$3\mathrm{i}(-10+30\mathrm{i}) = -30\mathrm{i} +90\mathrm{i}^2 = -30\mathrm{i} -90 = -90-30\mathrm{i}.$$

 Étape 3 — Ajouter le 5 :

$$z = 5+(-90-30\mathrm{i}) = -85-30\mathrm{i}.$$

  Partie réelle = $-85$, partie imaginaire = $-30$, conjugué = $-85+30\mathrm{i}$.

  2) $z = \frac{2\mathrm{i}+3}{2+3\mathrm{i}}$

 Étape 1 — Conjugué du dénominateur = $2-3\mathrm{i}$, multiplier numérateur et dénominateur :

$$z = \frac{(2\mathrm{i}+3)(2-3\mathrm{i})}{(2+3\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})}.$$

 Calcul du dénominateur :

$(2+3\mathrm{i})(2-3\mathrm{i}) = 2^2+(3)^2 = 13$.

 Calcul du numérateur :

$(2\mathrm{i}+3)(2-3\mathrm{i}) = 6 -9\mathrm{i} + 4\mathrm{i} -6\mathrm{i}^2 = 6-5\mathrm{i}+6$
car $\mathrm{i}^2=-1$.
Numérateur = $12-5\mathrm{i}$.

 Division :

$$z = \frac{12-5\mathrm{i}}{13} = \frac{12}{13}-\frac{5}{13}\mathrm{i}.$$

  Partie réelle = $12/13$, partie imaginaire = $-5/13$, conjugué = $12/13 + 5/13\mathrm{i}$.

  3) $z = \frac{3-5\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$

 Conjugué du dénominateur = $2-\mathrm{i}$, multiplier :

$$z = \frac{(3-5\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}.$$

Dénominateur = $2^2+1^2=5$.

Numérateur :
$(3-5\mathrm{i})(2-\mathrm{i}) = 6-3\mathrm{i}-10\mathrm{i}+5\mathrm{i}^2 = 6-13\mathrm{i}+5(-1) = 1-13\mathrm{i}$.

$$z = \frac{1-13\mathrm{i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{13}{5}\mathrm{i}.$$

  Partie réelle = $1/5$, partie imaginaire = $-13/5$, conjugué = $1/5 + 13/5\mathrm{i}$.

  4) $z = \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$

 Conjugué du dénominateur = $1+\mathrm{i}$ :

$$z = \frac{(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} = \frac{(1+\mathrm{i})^2}{1+1} = \frac{1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{2} = \frac{1+2\mathrm{i}-1}{2} = \frac{2\mathrm{i}}{2} = \mathrm{i}.$$

  Partie réelle = 0, partie imaginaire = 1, conjugué = $-\mathrm{i}$.

Exercice 3 — Lieux géométriques des points $M(z)$

Soit $z = x+\mathrm{i}y$, cherchons le lieu :

  a) $|z-4| = |z+2\mathrm{i}|$

$|(x-4)+\mathrm{i}y| = |x+(\mathrm{i}(y+2))|$ :

$$\sqrt{(x-4)^2+y^2} = \sqrt{x^2+(y+2)^2}.$$

Carré :
$(x-4)^2+y^2 = x^2+(y+2)^2$.

Développer :

$$x^2-8x+16+y^2 = x^2+y^2+4y+4 \implies -8x+16 = 4y+4.$$

Simplifier :
$-8x-4y+12=0 \iff 2x+y-\frac32=0.$

  Lieu : une droite d’équation $2x+y-\frac32=0$.

  b) $|z+1+\mathrm{i}| = |z-3|$

$(x+1)^2+(y+1)^2 = (x-3)^2+y^2$.

Développer :

$$(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1) = x^2-6x+9+y^2.$$

Simplifier :

$$2x+2y+2 = -6x+9 \implies 8x+2y-7=0.$$

  Lieu : une droite $8x+2y-7=0$ ($4x+y-\frac72=0$).

  c) $|z-5+3\mathrm{i}|=3$

$(x-5)^2+(y+3)^2=9$.

  Lieu : un cercle de centre $(5,-3)$ et de rayon 3.

  d) $|z+5-\mathrm{i}| = |z-4\mathrm{i}|$

$(x+5)^2+(y-1)^2 = x^2+(y-4)^2$.

Développer :

$$x^2+10x+25+y^2-2y+1 = x^2+y^2-8y+16.$$

Simplifier :

$$10x+25-2y+1 = -8y+16 \implies 10x+26+6y-16=0 \implies 10x+6y+10=0.$$

Diviser par 2 :

$$5x+3y+5=0.$$

  Lieu : une droite d’équation $5x+3y+5=0$.

Exercice 4 — Résoudre dans $\mathbb{C}$

 1) $(2-\mathrm{i})z=2+\mathrm{i}$

Isoler $z$ :

$$z=\frac{2+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}} \cdot \frac{2+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i})^2}{(2)^2+(-1)^2}=\frac{(2+\mathrm{i})^2}{5}.$$

Calculer le numérateur :
$(2+\mathrm{i})^2=4+4\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=4+4\mathrm{i}-1=3+4\mathrm{i}$.

$\boxed{z=\frac{3+4\mathrm{i}}{5}=\frac35+\frac45\mathrm{i}.}$

 2) $3z-5+2\mathrm{i}z=2\mathrm{i}3z+4\mathrm{i}z$

\==> Mise en forme :
$(3+2\mathrm{i})z-5=6\mathrm{i}z\implies (3+2\mathrm{i}-6\mathrm{i})z=5\implies (3-4\mathrm{i})z=5.$

$$z=\frac{5}{3-4\mathrm{i}}=\frac{5(3+4\mathrm{i})}{(3)^2+(4)^2}=\frac{5(3+4\mathrm{i})}{25}=\frac35+\frac45\mathrm{i}.$$

$\boxed{z=\frac35+\frac45\mathrm{i}.}$

 3) $\frac{(2+\mathrm{i})z}{1-\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}$

Cross-multiplier :
$(2+\mathrm{i})z(2+3\mathrm{i})=(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$.

Numérateur droit :
$(1-\mathrm{i})^2=1-2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}$.

Numérateur gauche :
$(2+\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})=4+6\mathrm{i}+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}^2=4+8\mathrm{i}-3=1+8\mathrm{i}.$

Ainsi :
$(1+8\mathrm{i})z=-2\mathrm{i}\implies z=\frac{-2\mathrm{i}}{1+8\mathrm{i}}=\frac{-2\mathrm{i}(1-8\mathrm{i})}{1+(8)^2}=\frac{-2\mathrm{i}+16\mathrm{i}^2}{65}=\frac{-2\mathrm{i}-16}{65}=\frac{-16}{65}-\frac2{65}\mathrm{i}.$

$\boxed{z=-\frac{16}{65}-\frac2{65}\mathrm{i}.}$

 4) $(2+\mathrm{i}z)(3+\mathrm{i})=(1+3\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})$

Développer :
$(2+\mathrm{i}z)(3+\mathrm{i})=6+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z+\mathrm{i}^2 z=6+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z-z$.

$(1+3\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})=z+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z+6\mathrm{i}^2=z+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z-6.$

Équation :
$(6+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z-z)=(z+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z-6).$

Simplifier :
$6+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}z-z-z-2\mathrm{i}-3\mathrm{i}z+6=0\implies 12-2z=0\implies z=6.$

$\boxed{z=6.}$

 5) $(2+3\mathrm{i})z+3(z-\mathrm{i})=2\mathrm{i}+5z$

$(2+3\mathrm{i})z+3z-3\mathrm{i}=2\mathrm{i}+5z\implies(2+3\mathrm{i}+3-5)z=2\mathrm{i}+3\mathrm{i}\implies(0+3\mathrm{i})z=5\mathrm{i}\implies z=\frac{5\mathrm{i}}{3\mathrm{i}}=\frac53.$

$\boxed{z=\frac53.}$

 6) $\frac{1}{z-1}=\frac{\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}$

Cross-multiplier :
$z+\mathrm{i}=\mathrm{i}(z-1)\implies z+\mathrm{i}=\mathrm{i}z-\mathrm{i}\implies z-\mathrm{i}z=-\mathrm{i}-\mathrm{i}\implies z(1-\mathrm{i})=-2\mathrm{i} \implies z=\frac{-2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}.$

Multiplication par le conjugué :
$z=\frac{-2\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{-2\mathrm{i}-2\mathrm{i}^2}{2}=\frac{-2\mathrm{i}+2}{2}=1-\mathrm{i}.$

$\boxed{z=1-\mathrm{i}.}$

Exercice 5 — Équations dans $\mathbb{C}$

 a) $(3-\mathrm{i})\overline{z}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})^2}{2}= \frac{1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{2}=\frac{1+2\mathrm{i}-1}{2}=\mathrm{i}\implies\overline{z}=\frac{\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}(3+\mathrm{i})}{10}=\frac{3\mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{10}=\frac{-1+3\mathrm{i}}{10}.$

$\overline{z}=-\frac1{10}+\frac3{10}\mathrm{i}\implies \boxed{z=-\frac1{10}-\frac3{10}\mathrm{i}.}$

 b) $z+\overline{z}+2=0\implies 2\operatorname{Re}(z)=-2\implies \operatorname{Re}(z)=-1,\ \operatorname{Im}(z)\in\mathbb{R}.$

$\boxed{\text{Ensemble des }z=-1+y\mathrm{i},\ y\in\mathbb{R}.}$

 c) $3z+2\mathrm{i}\overline{z}=2+3\mathrm{i}.$

Poser $z=x+\mathrm{i}y$, $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$ :

$$3(x+\mathrm{i}y)+2\mathrm{i}(x-\mathrm{i}y)=2+3\mathrm{i}\implies(3+2\mathrm{i})x+(3\mathrm{i}+2)y=2+3\mathrm{i}.$$

Séparer réel/imaginaire :

* Réel : $3x+2y=2$,
* Imaginaire : $3y+2x=3$.

$\begin{cases}3x+2y=2\\2x+3y=3\end{cases}$.

Résoudre le système :
$3(3x+2y)-2(2x+3y)=6-6\implies 9x+6y-4x-6y=0\implies 5x=0\implies x=0$, donc $2y=2\implies y=1$.

$\boxed{z=\mathrm{i}.}$

 d) $(2+\mathrm{i})z+(1+3\mathrm{i})\overline{z}=1+2\mathrm{i}.$

$z=x+\mathrm{i}y\implies \overline{z}=x-\mathrm{i}y.$

Développer :
$(2+\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)+(1+3\mathrm{i})(x-\mathrm{i}y)=1+2\mathrm{i}.$

Calculer :
$(2+\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)=2x+2\mathrm{i}y+\mathrm{i}x+\mathrm{i}^2 y=2x+\mathrm{i}(2y+x)-y,$
$(1+3\mathrm{i})(x-\mathrm{i}y)= x-\mathrm{i}xy+3\mathrm{i}x+3\mathrm{i}(-\mathrm{i}y)= x-\mathrm{i}y+3\mathrm{i}x+3 y.$

Somme :
$2x-y+x+3 y+( \mathrm{i}(2 y+x)-\mathrm{i} y+3\mathrm{i} x )=3 x+2 y+(\mathrm{i}( y+(4 x+2 y))?)$

Mieux vaut regrouper soigneusement :

Partie réelle :
$(2x-y)+(x+3 y)=3 x+2 y.$

Partie imaginaire :
$(2 y+x)+(- y+3 x)= y+4 x.$

L'équation : $(3 x+2 y)+\mathrm{i}( y+4 x)=1+2\mathrm{i}\implies\begin{cases}3 x+2 y=1\\ y+4 x=2\end{cases}.$

Résoudre :
$y=2-4 x\implies 3 x+2(2-4 x)=1\implies 3 x+4-8 x=1\implies -5 x=-3\implies x=\frac35,\ y=2-4\frac35=2-\frac{16}{5}=\frac{-6}{5}.$

$\boxed{z=\frac35-\frac65\mathrm{i}.}$

 e) $4 z^2+8|z|^2-3=0$, $|z|^2=x^2+y^2$.

Poser $z=x+\mathrm{i}y\implies z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy,\ |z|^2=x^2+y^2$.

$\Rightarrow 4(x^2-y^2+2\mathrm{i}xy)+8(x^2+y^2)-3=0\implies 4(x^2-y^2)+8(x^2+y^2)-3+8\mathrm{i}xy=0.$

Séparer :
$\text{Im}: 8xy=0 \implies x=0\text{ ou }y=0.$

$\text{Réel}: 4(x^2-y^2)+8(x^2+y^2)-3=12 x^2+4 y^2-3=0.$

* Si $x=0:\ 4 y^2-3=0 \implies y=\pm\frac{\sqrt3}{2} \implies z=\pm\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}.$
* Si $y=0:\ 12 x^2-3=0 \implies x=\pm\frac12 \implies z=\pm\frac12.$

$\boxed{z\in\{\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i},-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\}.}$

 f) $\overline{z}=\frac{4}{z}\iff z\overline{z}=4\iff|z|^2=4\iff |z|=2.$

$\boxed{\text{Cercle de centre }O\text{ et rayon }2.}$

 g) $z^2-2\mathrm{i}\overline{z}=0\iff z^2=2\mathrm{i}\overline{z}.$

Poser $z=x+\mathrm{i}y$, $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$.
$z^2=2\mathrm{i}\overline{z}\iff (x+\mathrm{i}y)^2=2\mathrm{i}(x-\mathrm{i}y).$

$x^2- y^2+2\mathrm{i}xy=2\mathrm{i}x+2 y\implies\begin{cases} x^2-y^2=2 y\\ 2 x y=2 x \end{cases}$.

$2 x y=2 x\implies x( y-1)=0 \implies x=0\text{ ou } y=1.$

* Si $x=0:\ - y^2=2 y\implies y^2+2 y=0\implies y(y+2)=0\implies y=0\text{ ou }-2\implies z=0,-2\mathrm{i}.$

* Si $y=1:\ x^2-1=2\implies x^2=3\implies x=\pm\sqrt3\implies z=\sqrt3+\mathrm{i},-\sqrt3+\mathrm{i}.$

$\boxed{\text{Solutions }z\in\{0,-2\mathrm{i},\sqrt3+\mathrm{i},-\sqrt3+\mathrm{i}\}.}$

Points $O(0,0),A(0,-2),B(\sqrt3,1),C(-\sqrt3,1).$
On calcule :
$|AB|=|B-O|=?$
Mais il suffit de vérifier les distances :

$|AB|=|( \sqrt3,1)- (0,-2)|=|\sqrt3+3 \mathrm{i}|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(3)^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$
$|AC|=|(-\sqrt3,1)- (0,-2)|=|-\sqrt3+3 \mathrm{i}|=2\sqrt3,$
$|BC|=|2\sqrt3|$, donc le triangle $ABC$ est équilatéral.

 h) $(3+\mathrm{i})z+(1-3\mathrm{i})\overline{z}+12-6\mathrm{i}=0.$

Poser $z=x+\mathrm{i}y,\overline{z}=x-\mathrm{i}y:$

$(3+\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)+(1-3\mathrm{i})(x-\mathrm{i}y)+12-6\mathrm{i}=0.$

Calcule :
$(3+\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)=3 x+3\mathrm{i}y+\mathrm{i}x+\mathrm{i}^2 y=3 x+(3 y+x)\mathrm{i}- y.$

$(1-3\mathrm{i})(x-\mathrm{i}y)= x-\mathrm{i} y-3\mathrm{i} x+3\mathrm{i}^2 y= x-\mathrm{i} y-3\mathrm{i} x-3 y.$

Somme partie réelle :
$(3 x- y)+( x-3 y)+12=4 x-4 y+12.$

Somme partie imaginaire :
$(3 y+x)+(- y-3 x)-6 = (3 y+x- y-3 x)-6 =(2 y-2 x)-6.$

$(2 y-2 x)-6=0\implies y-x-3=0,$ et la partie réelle $4 x-4 y+12=0\implies x- y+3=0.$

On a le système :
$\begin{cases} y-x-3=0\\ x- y+3=0\end{cases}$, ce qui est le même équation (infinité de solutions).
$\boxed{\text{L’ensemble est la droite } y-x-3=0.}$