Solution Série d'exercices : Équation et inéquation du 2nd degré - 2nd L

 Exercice 1 : Forme Canonique

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ est donnée par :
$$f(x) = a\left( (x - \alpha)^2 \right) + \beta$$
où $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

 1. $f(x) = x^2 - 4x + 3$
$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$
 $\alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = 2$
 $\beta = f(2) = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
 Forme canonique : $f(x) = (x - 2)^2 - 1$

 2. $f(x) = 2x^2 - 3x + 7$
 $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$
 $\alpha = -\dfrac{-3}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}$
 $\beta = f\left(\dfrac{3}{4}\right) = 2 \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - 3 \times \dfrac{3}{4} + 7 = 2 \times \dfrac{9}{16} - \dfrac{9}{4} + 7 = \dfrac{9}{8} - \dfrac{18}{8} + \dfrac{56}{8} = \dfrac{47}{8}$
 Forme canonique : $f(x) = 2\left(x - \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{47}{8}$

 3. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 5x - 1$
 $a = \dfrac{1}{2}$, $b = -5$, $c = -1$
 $\alpha = -\dfrac{-5}{2 \times \dfrac{1}{2}} = 5$
 $\beta = f(5) = \dfrac{1}{2} \times 25 - 5 \times 5 - 1 = \dfrac{25}{2} - 25 - 1 = \dfrac{25}{2} - \dfrac{50}{2} - \dfrac{2}{2} = -\dfrac{27}{2}$
 Forme canonique : $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 5)^2 - \dfrac{27}{2}$

 4. $f(x) = 169x^2 + 13x - 1$
 $a = 169$, $b = 13$, $c = -1$
 $\alpha = -\dfrac{13}{2 \times 169} = -\dfrac{13}{338} = -\dfrac{1}{26}$
 $\beta = f\left(-\dfrac{1}{26}\right) = 169 \left(-\dfrac{1}{26}\right)^2 + 13 \times \left(-\dfrac{1}{26}\right) - 1 = 169 \times \dfrac{1}{676} - \dfrac{13}{26} - 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{5}{4}$
 Forme canonique : $f(x) = 169\left(x + \dfrac{1}{26}\right)^2 - \dfrac{5}{4}$

 5. $f(x) = \sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x + 4$
 $a = \sqrt{3}$, $b = -(1 - \sqrt{3})$, $c = 4$
 $\alpha = -\dfrac{-(1 - \sqrt{3})}{2 \times \sqrt{3}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3} - 3}{6}$ (en rationalisant)
 $\beta = f(\alpha)$ : Calcul complexe, la forme canonique est :
  $$f(x) = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \beta$$
 

 6. $f(x) = x^2 + 2x + 2$
- $a = 1$, $b = 2$, $c = 2$
- $\alpha = -\dfrac{2}{2 \times 1} = -1$
- $\beta = f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$
- Forme canonique : $f(x) = (x + 1)^2 + 1$

 7. $f(x) = 3x^2 + 12x - 7$
 $a = 3$, $b = 12$, $c = -7$
 $\alpha = -\dfrac{12}{2 \times 3} = -2$
 $\beta = f(-2) = 3 \times 4 + 12 \times (-2) - 7 = 12 - 24 - 7 = -19$
 Forme canonique : $f(x) = 3(x + 2)^2 - 19$

 8. $f(x) = -x^2 + x + 2$
 $a = -1$, $b = 1$, $c = 2$
 $\alpha = -\dfrac{1}{2 \times (-1)} = \dfrac{1}{2}$
 $\beta = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2} + 2 = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{9}{4}$
 Forme canonique : $f(x) = -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4}$

 9. $f(x) = -3x^2 + 7x - 2$
 $a = -3$, $b = 7$, $c = -2$
 $\alpha = -\dfrac{7}{2 \times (-3)} = \dfrac{7}{6}$
 $\beta = f\left(\dfrac{7}{6}\right) = -3 \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 + 7 \times \dfrac{7}{6} - 2 = -3 \times \dfrac{49}{36} + \dfrac{49}{6} - 2 = -\dfrac{49}{12} + \dfrac{98}{12} - \dfrac{24}{12} = \dfrac{25}{12}$
 Forme canonique : $f(x) = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{25}{12}$

 Exercice 2 : Calcul du Discriminant

Le discriminant $\Delta$ d'une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ est donné par :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$

 1. $f(x) = x^2 - 4x + 3$
 $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$

 2. $f(x) = 2x^2 - 3x + 7$
 $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 7 = 9 - 56 = -47$

 3. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 5x - 1$
 $\Delta = (-5)^2 - 4 \times \dfrac{1}{2} \times (-1) = 25 + 2 = 27$

 4. $f(x) = 169x^2 + 13x - 1$
- $\Delta = 13^2 - 4 \times 169 \times (-1) = 169 + 676 = 845$

 5. $f(x) = \sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x + 4$
 $\Delta = (1 - \sqrt{3})^2 - 4 \times \sqrt{3} \times 4 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 - 16\sqrt{3} = 4 - 18\sqrt{3}$

 6. $f(x) = x^2 + 2x + 2$
 $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4$

 7. $f(x) = 3x^2 + 12x - 7$
 $\Delta = 12^2 - 4 \times 3 \times (-7) = 144 + 84 = 228$

 8. $f(x) = -x^2 + x + 2$
 $\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 2 = 1 + 8 = 9$

 9. $f(x) = -3x^2 + 7x - 2$
 $\Delta = 7^2 - 4 \times (-3) \times (-2) = 49 - 24 = 25$

Exercice 3 : Résolution d'Équations

Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$, on utilise :
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

 1. $x^2 + 3x - 2 = 0$
 $\Delta = 9 + 8 = 17$
 Solutions : $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

 2. $x^2 + 4x - 21 = 0$
 $\Delta = 16 + 84 = 100$
 Solutions : $x = \dfrac{-4 \pm 10}{2}$ soit $x = 3$ ou $x = -7$

 3. $6x^2 - x - 5 = 0$
 $\Delta = 1 + 120 = 121$
 Solutions : $x = \dfrac{1 \pm 11}{12}$ soit $x = 1$ ou $x = -\dfrac{5}{6}$

 4. $x^2 + x + 1 = 0$
 $\Delta = 1 - 4 = -3$
 Aucune solution réelle.

 5. $2x^2 + 2x - 7 = 0$
 $\Delta = 4 + 56 = 60$
 Solutions : $x = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{15}}{2}$

 8. $\sqrt{2}x^{2} - (1 - \sqrt{2})x - 1 = 0$
 $\Delta = (1 - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2} = 1 - 2\sqrt{2} + 2 + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$
 Solutions : $x = \dfrac{1 - \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$

 9. $3x^{2} + 12x - 7 = 0$
 $\Delta = 144 + 84 = 228$
 Solutions : $x = \dfrac{-12 \pm \sqrt{228}}{6} = \dfrac{-12 \pm 2\sqrt{57}}{6} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{57}}{3}$

 10. $-x^{2} + x + 2 = 0$
- $\Delta = 1 + 8 = 9$
- Solutions : $x = \dfrac{-1 \pm 3}{-2}$ soit $x = 2$ ou $x = -1$

 11. $-2x^{2} - 2x + 5 = 0$
 $\Delta = 4 + 40 = 44$
 Solutions : $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}}{-4} = \dfrac{-2 \mp \sqrt{44}}{4} = \dfrac{-1 \mp \sqrt{11}}{2}$

Exercice 4 : Somme et Produit

 1. Déterminer deux nombres réels de somme $S$ et produit $P$
 Ils existent si $\Delta = S^2 - 4P \geq 0$.

a. $S = 3$, $P = -10$
 $\Delta = 9 + 40 = 49 \geq 0$
 Solutions : $x^2 - 3x - 10 = 0$ soit $x = \dfrac{3 \pm 7}{2}$ donc $5$ et $-2$.

b. $S = 5$, $P = 6$
 $\Delta = 25 - 24 = 1 \geq 0$
 Solutions : $x^2 - 5x + 6 = 0$ soit $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ donc $3$ et $2$.

c. $S = -6$, $P = 9$
 $\Delta = 36 - 36 = 0$
 Solution double : $x^2 + 6x + 9 = 0$ soit $x = -3$.

 2. Somme 9 et produit -70
 $\Delta = 81 + 280 = 361 \geq 0$
 Solutions : $x^2 - 9x - 70 = 0$ soit $x = \dfrac{9 \pm 19}{2}$ donc $14$ et $-5$.

 3. Pour $x^2 - 3x + 2 = 0$
a. $x_1 + x_2 = 3$

b. $x_1 \times x_2 = 2$

c. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{3}{2}$

d. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 - 4 = 5$

Exercice 5 : Somme et Produit (Suite)

 1. Équations à résoudre
a. $x^2 - 2x + 7 = 0$
 $\Delta = 4 - 28 = -24$
 Aucune solution réelle.

b. $6x^2 - x - 5 = 0$
- Solutions : $x = 1$ et $x = -\dfrac{5}{6}$.

c. $8x^2 + x + 1 = 0$
 $\Delta = 1 - 32 = -31$
 Aucune solution réelle.

d. $\sqrt{2}x^2 - (1 + \sqrt{2})x - 1 = 0$
 $\Delta = (1 + \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 + 4\sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$
 Solutions : $x = \dfrac{1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + 6\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$

 2. Rectangle de surface 861 et périmètre 124
 Soit $x$ et $y$ les dimensions.
 $x + y = 62$ et $xy = 861$.
 Solutions : $x^2 - 62x + 861 = 0$
 $\Delta = 3844 - 3444 = 400$
 $x = \dfrac{62 \pm 20}{2}$ soit $41$ et $21$.

 3. Résolution mentale
a. $3x^2 + 7x - 10 = 0$
 Somme des coefficients : $3 + 7 - 10 = 0$ donc $x = 1$ est racine.
 L'autre racine est $-\dfrac{10}{3}$.

b. $2x^2 + 9x + 7 = 0$
 Somme des coefficients : $2 + 9 + 7 = 18 \neq 0$.
 Produit des racines : $\dfrac{7}{2}$, somme $-\dfrac{9}{2}$.
 Racines : $-1$ et $-\dfrac{7}{2}$.

 4. Vérification de $2$ comme racine de $x^4 + 11x - 26 = 0$
 $2^4 + 11 \times 2 - 26 = 16 + 22 - 26 = 12 \neq 0$.
 Erreur dans l'énoncé.

Exercice 6 : Systèmes d'Équations

 $S_1$ : $x + y = 13$, $xy = 40$
 Solutions : $t^2 - 13t + 40 = 0$ soit $t = 8$ et $t = 5$.
 $(8, 5)$ et $(5, 8)$.

 $S_2$ : $x + y = -1$, $xy = -1$
 Solutions : $t^2 + t - 1 = 0$ soit $t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
 $\left( \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \right)$ et réciproque.

 $S_3$ : $x + y = 2$, $xy = 3$
 $\Delta = 4 - 12 = -8$.
 Aucune solution réelle.

 $S_4$ : $x + y = 4$, $xy = -12$
 Solutions : $t^2 - 4t - 12 = 0$ soit $t = 6$ et $t = -2$.
 $(6, -2)$ et $(-2, 6)$.

 $S_5$ : $x + y = 5$, $x^2 + y^2 = 13$
 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ donc $13 = 25 - 2xy$ soit $xy = 6$.
- Solutions : $t^2 - 5t + 6 = 0$ soit $t = 2$ et $t = 3$.
- $(2, 3)$ et $(3, 2)$.

 $S_6$ : $xy = -2$, $x^2 + y^2 = 5$
 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ donc $5 = (x + y)^2 + 4$ soit $(x + y)^2 = 1$.
 Deux cas :
  1. $x + y = 1$, $xy = -2$ : $t^2 - t - 2 = 0$ soit $t = 2$ et $t = -1$.
  2. $x + y = -1$, $xy = -2$ : $t^2 + t - 2 = 0$ soit $t = 1$ et $t = -2$.
 Solutions : $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(1, -2)$, $(-2, 1)$.

 $S_7$ : $x + y = 9$, $x^2 + y^2 = 25$
 $25 = 81 - 2xy$ donc $xy = 28$.
 Solutions : $t^2 - 9t + 28 = 0$, $\Delta = 81 - 112 = -31$.
 Aucune solution réelle.

 $S_8$ : $x + y = 4$, $x^2 + y^2 = 10$
 $10 = 16 - 2xy$ donc $xy = 3$.
 Solutions : $t^2 - 4t + 3 = 0$ soit $t = 1$ et $t = 3$.
 $(1, 3)$ et $(3, 1)$.

Exercice 7 : Factorisation

 1. $f(x) = 4x^2 - 4x + 1$
 $\Delta = 16 - 16 = 0$, racine double $x = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
 $f(x) = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$.

 2. $f(x) = -x^2 + 4x + 30$
 $\Delta = 16 + 120 = 136$, racines $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{136}}{-2} = 2 \mp \sqrt{34}$.
 $f(x) = -\left(x - 2 + \sqrt{34}\right)\left(x - 2 - \sqrt{34}\right)$.

 3. $f(x) = x^2 - 5x - 1$
 $\Delta = 25 + 4 = 29$, racines $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
 $f(x) = \left(x - \dfrac{5 + \sqrt{29}}{2}\right)\left(x - \dfrac{5 - \sqrt{29}}{2}\right)$.

 4. $f(x) = 5x^2 - 15x - 20$
 Simplifier par 5 : $x^2 - 3x - 4$, $\Delta = 9 + 16 = 25$, racines $x = 4$ et $x = -1$.
 $f(x) = 5(x - 4)(x + 1)$.

 5. $f(x) = x^2 - \sqrt{3}x + 4$
 $\Delta = 3 - 16 = -13$.
 Pas de factorisation réelle.

 6. $f(x) = -3x^2 + 4x + 3$
 $\Delta = 16 + 36 = 52$, racines $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{52}}{-6} = \dfrac{2 \mp \sqrt{13}}{3}$.
 $f(x) = -3\left(x - \dfrac{2 + \sqrt{13}}{3}\right)\left(x - \dfrac{2 - \sqrt{13}}{3}\right)$.

 7. $f(x) = -9x^2 + 12x - 4$
 $\Delta = 144 - 144 = 0$, racine double $x = \dfrac{-12}{-18} = \dfrac{2}{3}$.
 $f(x) = -9\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2$.

 8. $f(x) = -15x^2 + 11x - 2$
 $\Delta = 121 - 120 = 1$, racines $x = \dfrac{-11 \pm 1}{-30}$ soit $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{1}{3}$.
 $f(x) = -15\left(x - \dfrac{2}{5}\right)\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$.

 9. $f(x) = 2x^2 - x + 1$
 $\Delta = 1 - 8 = -7$.
 Pas de factorisation réelle.

Exercice 8 : Factorisation

 1. $f(x) = x^2 + 4x + 4$
- Carré parfait : $f(x) = (x + 2)^2$.

 2. $g(x) = (x + 2)(2x - 4) + x^2 + 4x + 4$
 Développer : $2x^2 - 4x + 4x - 8 + x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 4x - 4$.
 $\Delta = 16 + 48 = 64$, racines $x = \dfrac{-4 \pm 8}{6}$ soit $\dfrac{2}{3}$ et $-2$.
 $g(x) = 3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x + 2)$.

Exercice 9 : Inéquations

 1. $x^2 - 2x - 1 < 0$
 Racines : $x = 1 \pm \sqrt{2}$.
 Solution : $x \in ]1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}[$.

 2. $3x^2 - 5x + 22 \leq 0$
 $\Delta = 25 - 264 = -239$, toujours positif (car $a = 3 > 0$).
 Solution : $\emptyset$.

 3. $9x^2 + 6x + 1 \leq 0$
 Carré parfait : $(3x + 1)^2 \leq 0$.
 Solution : $x = -\dfrac{1}{3}$.

 4. $4x^2 - 4x - 1 \geq 0$
Racines : $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{32}}{8} = \dfrac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$.
Solution : $x \leq \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$ ou $x \geq \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$.

 5. $2x^2 + 2x - 7 < 0$
 Racines : $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{60}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{15}}{2}$.
 Solution : $x \in \left]\dfrac{-1 - \sqrt{15}}{2}, \dfrac{-1 + \sqrt{15}}{2}\right[$.

 6. $6x^2 - x - 5 < 0$
 Racines : $x = 1$ et $x = -\dfrac{5}{6}$.
 Solution : $x \in \left]-\dfrac{5}{6}, 1\right[$.

 7. $x^2 + x + 1 \geq 0$
 $\Delta = 1 - 4 = -3$, toujours positif.
 Solution : $\mathbb{R}$.

 8. $x^2 - x - 1 > 0$
 Racines : $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
 Solution : $x < \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ou $x > \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

 9. $(x^2 + x + 1)^2 < (x^2 - x + 1)^2$
 Différence de carrés : $(2x)(2x^2 + 2) < 0$ soit $4x(x^2 + 1) < 0$.
 Solution : $x < 0$.

 10. $(-3x^2 + 4x - 2)^2 \geq (3x^2 - x + 5)^2$
 Différence de carrés : $(-6x^2 + 5x - 7)(3x - 7) \geq 0$.
 Solution : $x \leq \dfrac{7}{3}$ (car $-6x^2 + 5x - 7$ toujours négatif).

Exercice 10 : Problème de Bateau

 1. Vitesse par rapport à la rive
 Aller (descendre) : $v + 5$ km/h.
 Retour (remonter) : $v - 5$ km/h.

 2. Durée des trajets
 Aller : $t_1 = \dfrac{75}{v + 5}$ heures.
 Retour : $t_2 = \dfrac{75}{v - 5}$ heures.
 Total : $t_1 + t_2 = 8$ heures.

 3. Calcul de $v$
$$\dfrac{75}{v + 5} + \dfrac{75}{v - 5} = 8$$
$$75(v - 5) + 75(v + 5) = 8(v^2 - 25)$$
$$150v = 8v^2 - 200$$
$$8v^2 - 150v - 200 = 0$$
Simplifier par 2 :
$$4v^2 - 75v - 100 = 0$$
$$\Delta = 5625 + 1600 = 7225$$
$$v = \dfrac{75 \pm 85}{8}$$
Solution positive : $v = \dfrac{160}{8} = 20$ km/h.

Réponse : La vitesse propre du bateau est $20$ km/h.