Solutions des exercices: Série d'exercices sur la statistique 1e S

Exercice 2 : Qualitatif ou Quantitatif

Un caractère est **qualitatif** s'il décrit une qualité ou une catégorie (non mesurable par un nombre). Un caractère est **quantitatif** s'il est mesurable par un nombre.

Exercice 3 : Discret ou Continu

Un caractère quantitatif est :

   Discret s'il ne peut prendre que des valeurs isolées, le plus souvent des nombres entiers (ex. nombre d'enfants).
   Continu s'il peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné (ex. le temps, la distance).

Exercice 4 : Détermination de $f_{5}$

La somme des fréquences $f_{i}$ de toutes les modalités d'une série statistique doit toujours être égale à $1$.

$$f_{1} + f_{2} + f_{3} + f_{4} + f_{5} = 1$$

Nous avons :
$$0,11 + 0,31 + 0,13 + 0,25 + f_{5} = 1$$

Calculons la somme des fréquences connues :
$$0,11 + 0,31 + 0,13 + 0,25 = 0,80$$

Donc, pour trouver $f_{5}$ :
$$f_{5} = 1 - 0,80$$
$$f_{5} = 0,20$$

En utilsant la calculatrice
La valeur de $f_{5}$ est $0,20$.

 Exercice 5 : Classes et Caractéristiques

 1) Quelle est l'amplitude $a$ de chaque classe ?

Le centre $C_{i}$ d'une classe $[C_{i} ; C_{i+1}[$ est le milieu de l'intervalle : $C_{i} = \frac{C_{i} + C_{i+1}}{2}$.
L'amplitude $a$ est l'écart entre le début et la fin de l'intervalle : $a = C_{i+1} - C_{i}$.

Puisque les amplitudes sont égales, l'écart entre deux centres de classes consécutives est égal à l'amplitude $a$.

Prenons les deux premiers centres : $C_{1} = 22$ et $C_{2} = 32$.
$$a = C_{2} - C_{1}$$
$$a = 32 - 22$$
$$a = 10$$

L'amplitude $a$ de chaque classe est $\mathbf{10}$.

 2) Déterminer chacune de ces $6$ classes

Puisque le centre $C_{i}$ d'une classe $[x_{\text{inf}} ; x_{\text{sup}}[$ est $C_{i} = \frac{x_{\text{inf}} + x_{\text{sup}}}{2}$ et que l'amplitude est $a = x_{\text{sup}} - x_{\text{inf}} = 10$, nous avons :
$$x_{\text{inf}} = C_{i} - \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad x_{\text{sup}} = C_{i} + \frac{a}{2}$$

Avec $a/2 = 10/2 = 5$.

   Classe 1 ($C_{1}=22$):
    $$[22-5 \ ; \ 22+5[ \implies \mathbf{[17 \ ; \ 27[}$$
   Classe 2 ($C_{2}=32$):
    $$[32-5 \ ; \ 32+5[ \implies \mathbf{[27 \ ; \ 37[}$$
   Classe 3 ($C_{3}=42$):
    $$[42-5 \ ; \ 42+5[ \implies \mathbf{[37 \ ; \ 47[}$$
   Classe 4 ($C_{4}=52$):
    $$[52-5 \ ; \ 52+5[ \implies \mathbf{[47 \ ; \ 57[}$$
   Classe 5 ($C_{5}=62$):
    $$[62-5 \ ; \ 62+5[ \implies \mathbf{[57 \ ; \ 67[}$$
   Classe 6 ($C_{6}=72$):
    $$[72-5 \ ; \ 72+5[ \implies \mathbf{[67 \ ; \ 77[}$$

Les 6 classes sont : $[17 ; 27[$, $[27 ; 37[$, $[37 ; 47[$, $[47 ; 57[$, $[57 ; 67[$, et $[67 ; 77[$.

 3) La moyenne de la série statistique correspondante peut-elle être égale à : $20$ ? $84$ ? $36$ ?

La moyenne ($\bar{x}$) d'une série statistique est une valeur comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de la série.

Dans cette série, toutes les valeurs observées sont contenues dans l'intervalle global :
$$[17 \ ; \ 77[$$

Par conséquent, la moyenne $\bar{x}$ doit obligatoirement être comprise entre $17$ (la borne inférieure de la première classe) et $77$ (la borne supérieure de la dernière classe).
$$17 \le \bar{x} < 77$$

   $20$ ? Oui, car $17 \le 20 < 77$.
   $84$ ? Non, car $84 > 77$.
   $36$ ? Oui, car $17 \le 36 < 77$.

 4) La variance de cette série peut-elle être égale à : $-18$ ? $0.32$ ?

La variance ($V$), ainsi que l'écart-type ($\sigma$), sont des mesures de dispersion qui représentent l'étalement des données autour de la moyenne.

Par définition mathématique, la variance est toujours calculée comme une moyenne de carrés des écarts, ce qui signifie que :

$$V \ge 0$$

   $-18$ ? Non, car la variance ne peut jamais être négative.
   $0,32$ ? Oui, car $0,32$ est un nombre positif.