Solutions des exercices: Série d'exercices sur l'orthogonalité et le produit scalaire dans le plan 1e S

Exercice 1

 1) Calcul du produit scalaire pour la figure 1

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (2, 2)$
   $B = (5, 2)$
   $C = (1, 3)$
   $D = (3, 5)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(2) + (0)(2) = 6 + 0$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 6$$

 2) Calcul du produit scalaire pour la figure 2

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (1, 1)$
   $B = (1, 5)$
   $C = (2, 4)$
   $D = (4, 1)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0)(2) + (4)(-3) = 0 - 12$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -12$$

 3) Calcul du produit scalaire pour la figure 3

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (2, 1)$
   $B = (5, 3)$
   $C = (5, 0)$
   $D = (1, 6)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(-4) + (2)(6) = -12 + 12$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$$

 4) Calcul du produit scalaire pour la figure 4

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (1, 3)$
   $B = (5, 5)$
   $C = (2, 3)$
   $D = (5, 1)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (4)(3) + (2)(-2) = 12 - 4$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 8$$

 5) Calcul du produit scalaire pour la figure 5

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (1, 3)$
   $B = (5, 5)$
   $C = (5, 3)$
   $D = (1, 1)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (4)(-4) + (2)(-2) = -16 - 4$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -20$$

 6) Calcul du produit scalaire pour la figure 6

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (3, 1)$
   $B = (1, 5)$
   $C = (4, 3)$
   $D = (6, 5)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 6 - 4 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2)(2) + (4)(2) = -4 + 8$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 4$$

 7) Calcul du produit scalaire pour la figure 7

 Étape 1 : Coordonnées des points
   $A = (0, 6)$
   $B = (4, 0)$
   $C = (5, 4)$
   $D = (0, 1)$

 Étape 2 : Coordonnées des vecteurs
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 0 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$$
$$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix}$$

 Étape 3 : Produit scalaire
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (4)(-5) + (-6)(-3) = -20 + 18$$
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -2$$

Exercice 2

 Rappels Utiles

1.  Produit scalaire et angle: $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs.
2.  Vecteurs orthogonaux: Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires), $\theta = 90^\circ$, donc $\cos(\theta) = 0$, et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
3.  Vecteurs colinéaires:
       Même direction et même sens: $\theta = 0^\circ$, $\cos(\theta) = 1$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||$.
       Même direction et sens opposé: $\theta = 180^\circ$, $\cos(\theta) = -1$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||$.
4.  Longueur de la diagonale ($d$): Dans un carré de côté $s$, $d = s\sqrt{2}$. Ici, $d = AC = BD = 4\sqrt{2}$.
5.  Propriétés du centre ($O$): $O$ est le milieu des diagonales, donc $AO = OC = BO = OD = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
6.  Diagonales: Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, donc $\vec{AC} \perp \vec{BD}$.

 1. Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont portés par deux côtés consécutifs du carré, ils sont donc perpendiculaires.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0
$$

 2. Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires. Comme $ABCD$ est un carré, $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ ont le même sens, donc $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont des sens opposés.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{CD}||
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -4 \cdot 4
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -16
$$

 3. Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
En utilisant la Relation de Chasles on a:
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot( \vec{AB} +  \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} +  \vec{AB} \cdot \vec{BC}
$$

Comme $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ d'après le 1)
On a donc 
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB}
$$

$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB}
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}||^2
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4^2
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16
$$

 4. Calcul de $\vec{CD} \cdot \vec{OA}$

D'après la figure $\vec{CD}=\vec{BA}=-\vec{AB}$ car $\vec{CD}$ et $\vec{BA}$ sont des vecteurs opposés
Et $\vec{OA}=\frac{\vec{CA}}{2}=-\frac{\vec{AC}}{2}$

$$
\vec{CD} \cdot \vec{OA} = -\vec{AB} \cdot ( -\frac{\vec{AC}}{2}) = \frac{1}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AC}
$$
D'après le 3) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} =16$

On a donc 
$$
\vec{CD} \cdot \vec{OA} = \frac{1}{2}.16=8
$$

$$
\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 8
$$

 5. Calcul de $\vec{OA} \cdot \vec{AC}$

Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires et de même sens (car $O$ est entre $A$ et $C$).

$$
\vec{OA} \cdot \vec{AC} = ||\vec{OA}|| \cdot ||\vec{AC}||
$$
Nous savons que $||\vec{OA}|| = 2\sqrt{2}$ et $||\vec{AC}|| = 4\sqrt{2}$.

$$
\vec{OA} \cdot \vec{AC} = (2\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2})
$$
$$
\vec{OA} \cdot \vec{AC} = (2 \cdot 4) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})
$$
$$
\vec{OA} \cdot \vec{AC} = 8 \cdot 2
$$
$$
\vec{OA} \cdot \vec{AC} = 16
$$

 6. Calcul de $\vec{DB} \cdot \vec{BC}$

Nous allons décomposer le vecteur $\vec{DB}$ en utilisant la relation de Chasles: $\vec{DB} = \vec{DC} + \vec{CB}$.

$$
\vec{DB} \cdot \vec{BC} = (\vec{DC} + \vec{CB}) \cdot \vec{BC}
$$
Nous distribuons le produit scalaire:
$$
\vec{DB} \cdot \vec{BC} = \vec{DC} \cdot \vec{BC} + \vec{CB} \cdot \vec{BC}
$$

   Terme 1: $\vec{DC} \cdot \vec{BC}$
    Les vecteurs $\vec{DC}$ et $\vec{BC}$ sont perpendiculaires (côtés consécutifs du carré), donc $\vec{DC} \cdot \vec{BC} = 0$.

   Terme 2: $\vec{CB} \cdot \vec{BC}$
    Les vecteurs $\vec{CB}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires et de sens opposés. $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
    $$
    \vec{CB} \cdot \vec{BC} = -||\vec{BC}||^2 = -4^2 = -16
    $$

En combinant les termes:
$$
\vec{DB} \cdot \vec{BC} = 0 + (-16)
$$
$$
\vec{DB} \cdot \vec{BC} = -16
$$

 7. Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{DO}$

Nous allons utiliser la décomposition du vecteur $\vec{DO}$ en fonction de $\vec{DB}$. Comme $O$ est le milieu de $DB$, $\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{DO} = \vec{AB} \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{DB}\right)
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{DB})
$$

Maintenant, nous calculons $\vec{AB} \cdot \vec{DB}$. Nous décomposons $\vec{DB}$ en utilisant la relation de Chasles: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{DB} = \vec{AB} \cdot (\vec{DA} + \vec{AB})
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{DB} = \vec{AB} \cdot \vec{DA} + \vec{AB} \cdot \vec{AB}
$$

   Terme 1: $\vec{AB} \cdot \vec{DA}$
    Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DA}$ sont perpendiculaires, donc $\vec{AB} \cdot \vec{DA} = 0$.

   Terme 2: $\vec{AB} \cdot \vec{AB}$
    $$
    \vec{AB} \cdot \vec{AB} = ||\vec{AB}||^2 = 4^2 = 16
    $$

Donc, $\vec{AB} \cdot \vec{DB} = 0 + 16 = 16$.

Revenons au produit scalaire initial:
$$
\vec{AB} \cdot \vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{DB})
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{DO} = \frac{1}{2} (16)
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{DO} = 8
$$

Exercice 3

 Informations Clés

1.  Triangle Isocèle: $AB = AC$.
2.  Milieu $I$: $I$ est le milieu de $[BC]$, donc $BI = IC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
3.  Propriété de la médiane: Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal ($AI$) est aussi la hauteur. Par conséquent, $\vec{AI}$ est perpendiculaire à $\vec{BC}$.

 1. Calcul de $\vec{IB} \cdot \vec{IC}$

Les points $I$, $B$, et $C$ sont alignés. Les vecteurs $\vec{IB}$ et $\vec{IC}$ sont colinéaires et de sens opposés (car $I$ est entre $B$ et $C$).

$$
\vec{IB} \cdot \vec{IC} = -||\vec{IB}|| \cdot ||\vec{IC}||
$$
Nous savons que $||\vec{IB}|| = 2$ et $||\vec{IC}|| = 2$.

$$
\vec{IB} \cdot \vec{IC} = -2 \cdot 2
$$
$$
\vec{IB} \cdot \vec{IC} = -4
$$

 2. Calcul de $\vec{BI} \cdot \vec{BC}$

Les vecteurs $\vec{BI}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires et de même sens.

$$
\vec{BI} \cdot \vec{BC} = ||\vec{BI}|| \cdot ||\vec{BC}||
$$
Nous savons que $||\vec{BI}|| = 2$ et $||\vec{BC}|| = 4$.

$$
\vec{BI} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 4
$$
$$
\vec{BI} \cdot \vec{BC} = 8
$$

 3. Calcul de $\vec{AI} \cdot \vec{BC}$

Comme $ABC$ est isocèle en $A$ et $I$ est le milieu de $[BC]$, la médiane $(AI)$ est aussi la hauteur. Par conséquent, $\vec{AI}$ est orthogonal à $\vec{BC}$.

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

$$
\vec{AI} \cdot \vec{BC} = 0
$$

 4. Calcul de $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$

Nous allons utiliser la projection orthogonale. Le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ est $I$.

$$
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \vec{BI} \cdot \vec{BC}
$$
Nous avons déjà calculé ce produit scalaire à l'étape 2.

$$
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 8
$$

 5. Calcul de $\vec{AC} \cdot \vec{CI}$

Nous allons utiliser la projection orthogonale. Le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ est $I$.

$$
\vec{AC} \cdot \vec{CI} = \vec{IC} \cdot \vec{CI}
$$
Les vecteurs $\vec{IC}$ et $\vec{CI}$ sont colinéaires et de sens opposés. $\vec{IC} = -\vec{CI}$.

$$
\vec{AC} \cdot \vec{CI} = -||\vec{CI}|| \cdot ||\vec{CI}||
$$
$$
\vec{AC} \cdot \vec{CI} = -||\vec{CI}||^2
$$
Nous savons que $||\vec{CI}|| = 2$.

$$
\vec{AC} \cdot \vec{CI} = -2^2
$$
$$
\vec{AC} \cdot \vec{CI} = -4
$$

Exercice 4

Nous avons un triangle équilatéral $ABC$ de côté $s = 6$.
$O$ est le centre du cercle circonscrit. Dans un triangle équilatéral, $O$ est aussi le centre de gravité, l'orthocentre, et le centre du cercle inscrit.
$A'$, $B'$, $C'$ sont les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$.

 Propriétés Clés du Triangle Équilatéral de Côté $s=6$

1.  Angles: Tous les angles internes sont de $60^\circ$.
2.  Hauteur ($h$): La hauteur (ou médiane) $AA'$ a pour longueur $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.
    $$
    h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}
    $$
3.  Rayon du cercle circonscrit ($R$): $R = OA = OB = OC$. Le centre de gravité $O$ est situé aux $\frac{2}{3}$ de la médiane à partir du sommet.
    $$
    R = OA = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}
    $$
4.  Rayon du cercle inscrit ($r$): $r = OA' = OB' = OC'$.
    $$
    r = OA' = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}
    $$
5.  Angles au centre: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ$.

 1. Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Nous utilisons la formule du produit scalaire avec l'angle entre les vecteurs. L'angle $\angle BAC$ est de $60^\circ$.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}|| \cdot \cos(\angle BAC)
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)
$$
Nous savons que $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 36 \cdot \frac{1}{2}
$$
$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 18
$$

 2. Calcul de $\vec{OB} \cdot \vec{OC}$

Nous utilisons la formule du produit scalaire avec l'angle entre les vecteurs. L'angle $\angle BOC$ est de $120^\circ$.

$$
\vec{OB} \cdot \vec{OC} = ||\vec{OB}|| \cdot ||\vec{OC}|| \cdot \cos(\angle BOC)
$$
Nous savons que $||\vec{OB}|| = ||\vec{OC}|| = R = 2\sqrt{3}$, et $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$$
\vec{OB} \cdot \vec{OC} = (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
$$
$$
\vec{OB} \cdot \vec{OC} = (4 \cdot 3) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
$$
$$
\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
$$
$$
\vec{OB} \cdot \vec{OC} = -6
$$

 3. Calcul de $\vec{OA} \cdot \vec{BC}$

Dans un triangle équilatéral, la médiane $(AA')$ est perpendiculaire au côté $(BC)$. Le point $O$ est sur la médiane $(AA')$. Par conséquent, la droite $(OA)$ est perpendiculaire à la droite $(BC)$.

Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux.

$$
\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 0
$$

 4. Calcul de $\vec{OB} \cdot \vec{AA'}$

Nous allons décomposer le vecteur $\vec{AA'}$ en utilisant la relation de Chasles: $\vec{AA'} = \vec{AO} + \vec{OA'}$.

$$
\vec{OB} \cdot \vec{AA'} = \vec{OB} \cdot (\vec{AO} + \vec{OA'})
$$
$$
\vec{OB} \cdot \vec{AA'} = \vec{OB} \cdot \vec{AO} + \vec{OB} \cdot \vec{OA'}
$$

   Terme 1: $\vec{OB} \cdot \vec{AO}$
    Les vecteurs $\vec{OB}$ et $\vec{OA}$ forment un angle de $120^\circ$. $\vec{AO}$ est de sens opposé à $\vec{OA}$. L'angle entre $\vec{OB}$ et $\vec{OA}$ est $120^\circ$. L'angle entre $\vec{OB}$ et $\vec{AO}$ est donc $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{AO} = ||\vec{OB}|| \cdot ||\vec{AO}|| \cdot \cos(60^\circ)
    $$
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{AO} = (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}
    $$
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{AO} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6
    $$

   Terme 2: $\vec{OB} \cdot \vec{OA'}$
    $A'$ est le milieu de $[BC]$. Le segment $(OA')$ est perpendiculaire à $(BC)$. Le triangle $OBA'$ est un triangle rectangle en $A'$.
    L'angle $\angle BOA'$ est la moitié de $\angle BOC$, soit $60^\circ$.
    L'angle entre $\vec{OB}$ et $\vec{OA'}$ est $\angle BOA' = 60^\circ$.
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{OA'} = ||\vec{OB}|| \cdot ||\vec{OA'}|| \cdot \cos(60^\circ)
    $$
    Nous savons que $||\vec{OB}|| = 2\sqrt{3}$ et $||\vec{OA'}|| = \sqrt{3}$.
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{OA'} = (2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}
    $$
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{OA'} = (2 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}
    $$
    $$
    \vec{OB} \cdot \vec{OA'} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3
    $$

En combinant les termes:
$$
\vec{OB} \cdot \vec{AA'} = 6 + 3
$$
$$
\vec{OB} \cdot \vec{AA'} = 9
$$

 5. Calcul de $\vec{BC'} \cdot \vec{CB}$

$C'$ est le milieu de $[AB]$.

   Vecteur $\vec{BC'}$: Colinéaire à $\vec{BA}$ et de même sens. $||\vec{BC'}|| = \frac{1}{2}||\vec{AB}|| = \frac{1}{2}(6) = 3$.
   Vecteur $\vec{CB}$: Colinéaire à $\vec{BC}$ et de sens opposé. $||\vec{CB}|| = 6$.

Nous allons exprimer $\vec{BC'}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{CB}$ en fonction de $\vec{AB}$.
$$
\vec{BC'} = \frac{1}{2}\vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{AB}
$$
$$
\vec{CB} = -\vec{BC}
$$

Nous utilisons la formule du produit scalaire avec l'angle entre $\vec{BC'}$ et $\vec{CB}$.
L'angle entre $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$ est $\angle ABC = 60^\circ$.
$\vec{BC'}$ est sur la droite $(AB)$ et $\vec{CB}$ est sur la droite $(CB)$. L'angle entre $\vec{BC'}$ et $\vec{CB}$ est l'angle $\angle ABC = 60^\circ$.

$$
\vec{BC'} \cdot \vec{CB} = ||\vec{BC'}|| \cdot ||\vec{CB}|| \cdot \cos(\angle ABC)
$$
$$
\vec{BC'} \cdot \vec{CB} = 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)
$$
$$
\vec{BC'} \cdot \vec{CB} = 18 \cdot \frac{1}{2}
$$
$$
\vec{BC'} \cdot \vec{CB} = 9
$$

Exercice 5

 Informations Clés de la Figure

1.  Triangle $ABC$: Isocèle en $A$, donc $AB = AC$.
2.  Parallélogramme $ABIJ$: $\vec{AB} = \vec{JI}$, $\vec{AI} = \vec{BJ}$, et $\vec{AJ} = \vec{IB}$.
3.  Point $O$: D'après la figure, le segment $(AO)$ semble être la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$, ce qui est vrai car $ABC$ est isocèle en $A$ et $O$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. De plus, $O$ semble être le milieu de $[BC]$. Si $O$ est le milieu de $[BC]$, alors $BO = OC = \frac{a}{2}$.
4.  Point $B$: D'après la figure, le segment $(JB)$ semble être la hauteur issue de $J$ dans le triangle $JIC$, ce qui est vrai car $ABIJ$ est un parallélogramme et $AB$ est perpendiculaire à $BC$. Si $AB \perp BC$, alors $ABIJ$ est un rectangle. Si $ABIJ$ est un rectangle, alors $AB \perp BI$.

Hypothèses basées sur la figure (angles droits):
   $AO \perp BC$, donc $O$ est le milieu de $[BC]$. $BO = OC = \frac{a}{2}$.
   $JB \perp BC$ (car $ABIJ$ est un parallélogramme et $AB \perp BC$ d'après la figure).

Simplification: Nous allons utiliser la propriété de la projection orthogonale. Pour calculer $\vec{BC} \cdot \vec{v}$, nous projetons l'extrémité du vecteur $\vec{v}$ sur la droite $(BC)$.

 1) $\vec{v} = \vec{AB}$

Le produit scalaire $\vec{BC} \cdot \vec{AB}$ est égal à $\vec{BC} \cdot \vec{v}$, où $\vec{v}$ est le projeté orthogonal de $\vec{AB}$ sur la droite $(BC)$.

Le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ est $O$ (milieu de $[BC]$).
Le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(BC)$ est $B$.

$$
\vec{BC} \cdot \vec{AB} = \vec{BC} \cdot \vec{OB}
$$
Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{OB}$ sont colinéaires et de sens opposés.

$$
\vec{BC} \cdot \vec{AB} = -||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{OB}||
$$
Nous savons que $||\vec{BC}|| = a$ et $||\vec{OB}|| = \frac{a}{2}$.

$$
\vec{BC} \cdot \vec{AB} = -a \cdot \frac{a}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{AB} = -\frac{a^2}{2}
$$

 2) $\vec{v} = \vec{JC}$

Nous décomposons $\vec{JC}$ en utilisant la relation de Chasles: $\vec{JC} = \vec{JI} + \vec{IC}$.
Puisque $ABIJ$ est un parallélogramme, $\vec{JI} = \vec{AB}$.
$$
\vec{JC} = \vec{AB} + \vec{IC}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{JC} = \vec{BC} \cdot (\vec{AB} + \vec{IC})
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{JC} = \vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{BC} \cdot \vec{IC}
$$

   Terme 1: $\vec{BC} \cdot \vec{AB}$
    Calculé en 1): $\vec{BC} \cdot \vec{AB} = -\frac{a^2}{2}$.

   Terme 2: $\vec{BC} \cdot \vec{IC}$
    Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{IC}$ sont colinéaires et de même sens.
    $||\vec{BC}|| = a$ et $||\vec{IC}|| = \frac{a}{2}$.
    $$
    \vec{BC} \cdot \vec{IC} = ||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{IC}|| = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}
    $$

En combinant les termes:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{JC} = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{JC} = 0
$$

 3) $\vec{v} = \vec{AI}$

Nous décomposons $\vec{AI}$ en utilisant la relation de Chasles: $\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{BI}$.
$$
\vec{BC} \cdot \vec{AI} = \vec{BC} \cdot (\vec{AB} + \vec{BI})
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{AI} = \vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{BC} \cdot \vec{BI}
$$

   Terme 1: $\vec{BC} \cdot \vec{AB}$
    Calculé en 1): $\vec{BC} \cdot \vec{AB} = -\frac{a^2}{2}$.

   Terme 2: $\vec{BC} \cdot \vec{BI}$
    Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BI}$ sont colinéaires et de même sens.
    $||\vec{BC}|| = a$. D'après la figure, $B$ est entre $I$ et $C$. Si $O$ est le milieu de $[BC]$, alors $I$ est un point sur la droite $(BC)$.
    D'après la figure, $B$ est le projeté orthogonal de $J$ sur $(IC)$, et $ABIJ$ est un parallélogramme. Si $AB \perp BC$, alors $BI$ est sur la droite $(BC)$.
    Nous supposons que $I$ est un point sur la droite $(BC)$ tel que $B$ est entre $I$ et $C$.
    De plus, $ABIJ$ est un parallélogramme, donc $\vec{AJ} = \vec{IB}$.
    Si $AB \perp BC$, alors $ABIJ$ est un rectangle, et $BI = AJ$.
    Hypothèse la plus simple: $I$ est un point sur la droite $(BC)$.
    D'après la figure, $B$ est entre $I$ et $O$, et $O$ est entre $B$ et $C$.
    $||\vec{BC}|| = a$. $||\vec{BI}|| = x$.
    Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BI}$ sont de sens opposés.
    $$
    \vec{BC} \cdot \vec{BI} = -||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{BI}|| = -a \cdot x
    $$
    Sans information sur $x$, nous ne pouvons pas donner une réponse en fonction de $a$ uniquement.

Réinterprétation de la figure: Le point $I$ est sur la droite $(BC)$. Le point $B$ est le projeté orthogonal de $J$ sur $(IC)$. Le point $O$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

Si nous supposons que $B$ est le milieu de $[IO]$ et $O$ est le milieu de $[BC]$ (ce qui est la configuration la plus probable pour un exercice de ce type):
   $BO = OC = \frac{a}{2}$.
   $IB = BO = \frac{a}{2}$.
   $IC = IB + BC = \frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}$.

Reprenons avec cette hypothèse ($IB = \frac{a}{2}$):

   Terme 2: $\vec{BC} \cdot \vec{BI}$
    Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BI}$ sont colinéaires et de sens opposés.
    $$
    \vec{BC} \cdot \vec{BI} = -||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{BI}|| = -a \cdot \frac{a}{2} = -\frac{a^2}{2}
    $$

En combinant les termes:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{AI} = -\frac{a^2}{2} + \left(-\frac{a^2}{2}\right)
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{AI} = -a^2
$$

 4) $\vec{v} = \vec{CI}$

Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{CI}$ sont colinéaires et de sens opposés.
$||\vec{BC}|| = a$. $||\vec{CI}|| = CO + OI$.
Avec l'hypothèse $BO = OC = \frac{a}{2}$ et $IB = \frac{a}{2}$:
$$
||\vec{CI}|| = ||\vec{CB}|| + ||\vec{BI}|| = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{CI} = -||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{CI}||
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{CI} = -a \cdot \frac{3a}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{CI} = -\frac{3a^2}{2}
$$

 5) $\vec{v} = \vec{BA} + \vec{OJ}$

Nous distribuons le produit scalaire:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \vec{BC} \cdot (\vec{BA} + \vec{OJ}) = \vec{BC} \cdot \vec{BA} + \vec{BC} \cdot \vec{OJ}
$$

   Terme 1: $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$
    $\vec{BC} \cdot \vec{BA} = \vec{BC} \cdot \vec{BO}$ (projection de $A$ sur $(BC)$ est $O$).
    Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BO}$ sont colinéaires et de même sens.
    $$
    \vec{BC} \cdot \vec{BA} = ||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{BO}|| = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}
    $$

   Terme 2: $\vec{BC} \cdot \vec{OJ}$
    Puisque $ABIJ$ est un parallélogramme, $\vec{OJ} = \vec{OB} + \vec{BJ}$.
    $\vec{BC} \cdot \vec{OJ} = \vec{BC} \cdot (\vec{OB} + \vec{BJ}) = \vec{BC} \cdot \vec{OB} + \vec{BC} \cdot \vec{BJ}$.
       $\vec{BC} \cdot \vec{OB}$: Colinéaires, même sens. $a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}$.
       $\vec{BC} \cdot \vec{BJ}$: D'après la figure, $BJ \perp BC$. Donc $\vec{BC} \cdot \vec{BJ} = 0$.
    $$
    \vec{BC} \cdot \vec{OJ} = \frac{a^2}{2} + 0 = \frac{a^2}{2}
    $$

En combinant les termes:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = a^2
$$

 6) $\vec{v} = 2\vec{OI}$

$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \vec{BC} \cdot (2\vec{OI}) = 2 (\vec{BC} \cdot \vec{OI})
$$
Les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{OI}$ sont colinéaires et de sens opposés.
$||\vec{BC}|| = a$. $||\vec{OI}|| = OB + BI = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.

$$
\vec{BC} \cdot \vec{OI} = -||\vec{BC}|| \cdot ||\vec{OI}|| = -a \cdot a = -a^2
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = 2 (-a^2)
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = -2a^2
$$

 7) $\vec{v} = \vec{IA} - \vec{AJ}$

Nous utilisons la relation de Chasles: $\vec{IA} - \vec{AJ} = \vec{IA} + \vec{JA} = \vec{IJ}$.
Puisque $ABIJ$ est un parallélogramme, $\vec{IJ} = \vec{BA}$.

$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \vec{BC} \cdot \vec{BA}
$$
Ce produit scalaire a été calculé en 5) (Terme 1).

$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \frac{a^2}{2}
$$

 8) $\vec{v} = \vec{CI} + \vec{OJ}$

Nous distribuons le produit scalaire:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = \vec{BC} \cdot (\vec{CI} + \vec{OJ}) = \vec{BC} \cdot \vec{CI} + \vec{BC} \cdot \vec{OJ}
$$

   Terme 1: $\vec{BC} \cdot \vec{CI}$
    Calculé en 4): $\vec{BC} \cdot \vec{CI} = -\frac{3a^2}{2}$.

   Terme 2: $\vec{BC} \cdot \vec{OJ}$
    Calculé en 5): $\vec{BC} \cdot \vec{OJ} = \frac{a^2}{2}$.

En combinant les termes:
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = -\frac{3a^2}{2} + \frac{a^2}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = -\frac{2a^2}{2}
$$
$$
\vec{BC} \cdot \vec{v} = -a^2
$$