Solutions Série d'exercices : Suites numériques - Ts

 Raisonnement par récurrence  

 Exercice 1  

1) Démonstration :  
   -  Pour $n = 1$, $1^2 = 1$ et $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$, vrai.  
   -  Supposons $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Alors :  
      $$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = (n+1) \left( \frac{n(2n+1)}{6} + (n+1) \right) = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.$$   
     Donc la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.  

2) Démonstration :  
   -  Pour $n = 1$, $1^3 = 1$ et $\left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1$, vrai.  
   -  Supposons $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$. Alors :  
      $$\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + (n+1) \right) = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2.$$   
     Donc la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.  

3) Démonstration :  
   -  Pour $n = 1$, $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1$ et $2 \cdot 1^4 - 1^2 = 1$, vrai.  
   -  Supposons $S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)^3 = 2n^4 - n^2$. Alors :  
      $$S_{n+1} = 2n^4 - n^2 + (2(n+1)-1)^3 = 2n^4 - n^2 + (2n+1)^3 = 2(n+1)^4 - (n+1)^2.$$   
     Donc la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.  

4) Démonstration :  
   -  Pour $n = 4$, $2^4 = 16 \geq 4$, vrai.  
   -  Supposons $2^n \geq 4$ pour $n \geq 4$. Alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2 \cdot 4 = 8 \geq 4$, vrai.  

5) Démonstration :  
   -  Pour $n = 4$, $2^4 = 16 \leq 24 = 4!$, vrai.  
   -  Supposons $2^n \leq n!$ pour $n \geq 4$. Alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \leq 2 \cdot n! < (n+1) \cdot n! = (n+1)!$, vrai.  

6) Démonstration :  
   -  Pour $n = 5$, $3^5 = 243 > 125 = 5^3$, vrai.  
   -  Supposons $3^n > n^3$ pour $n \geq 5$. Alors $3^{n+1} = 3 \cdot 3^n > 3n^3 > (n+1)^3$ (car $3n^3 > (n+1)^3$ pour $n \geq 5$), vrai.  

7) Démonstration :  
   -  Pour $n = 7$, $3^7 = 2187 < 5040 = 7!$, vrai.  
   -  Supposons $3^n < n!$ pour $n \geq 7$. Alors $3^{n+1} = 3 \cdot 3^n < 3 \cdot n! < (n+1) \cdot n! = (n+1)!$, vrai.  

 Dérivées n-ièmes  
a) Démonstration :  
   -  Pour $n = 0$, $\sin^{(0)} x = \sin x = \sin\left(x + 0 \cdot \frac{\pi}{2}\right)$, vrai.  
   -  Supposons $\sin^{(n)} x = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$. Alors :  
      $$\sin^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{(n+1)\pi}{2}\right).$$   

b) Démonstration : Similaire à a) avec $\cos$.  

c) Démonstration :  
   -  Pour $n = 0$, $f^{(0)} x = x e^x$, vrai.  
   -  Supposons $f^{(n)} x = e^x (x + n)$. Alors :  
      $$f^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} [e^x (x + n)] = e^x (x + n) + e^x = e^x (x + n + 1).$$   

d) Démonstration :  
   -  Pour $n = 0$, $f^{(0)} x = \frac{1}{x}$, vrai.  
   -  Supposons $f^{(n)} x = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$. Alors :  
      $$f^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} \left[ (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} \right] = (-1)^n n! \cdot (-(n+1)) x^{-n-2} = (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}.$$   

e) Correction : L'énoncé semble contenir une erreur. Si $g(x) = \frac{1}{x^2}$, alors $g^{(n)} x = (-1)^n \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}$.  
   -  Pour $n = 0$, $g^{(0)} x = \frac{1}{x^2}$, vrai.  
   -  Similaire à d).  

 Divisibilité  
8) Démonstration :  
   -  Pour $n = 0$, $3^0 - 2^0 = 0$, divisible par 7, vrai.  
   -  Supposons $3^{2n} - 2^n = 7k$. Alors :  
      $$3^{2(n+1)} - 2^{n+1} = 9 \cdot 3^{2n} - 2 \cdot 2^n = 9(7k + 2^n) - 2 \cdot 2^n = 63k + 9 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 63k + 7 \cdot 2^n = 7(9k + 2^n).$$   

9) Démonstration :  
   -  Pour $n = 0$, $3^1 + 2^2 = 7$, divisible par 7, vrai.  
   -  Supposons $3^{2n+1} + 2^{n+2} = 7k$. Alors :  
      $$3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} = 27 \cdot 3^{2n+1} + 8 \cdot 2^{n+2} = 27(7k - 2^{n+2}) + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 27 \cdot 2^{n+2} + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 19 \cdot 2^{n+2}.$$   
     Correction : $27(7k - 2^{n+2}) + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 27 \cdot 2^{n+2} + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 19 \cdot 2^{n+2}$, mais $19 \cdot 2^{n+2} = 19 \cdot 4 \cdot 2^n = 76 \cdot 2^n$, et $189k - 76 \cdot 2^n$ n'est pas clairement divisible par 7. Reprise :  
      $$3^{2n+3} + 2^{n+3} = 9 \cdot 3^{2n+1} + 2 \cdot 2^{n+2} = 9(7k - 2^{n+2}) + 2 \cdot 2^{n+2} = 63k - 9 \cdot 2^{n+2} + 2 \cdot 2^{n+2} = 63k - 7 \cdot 2^{n+2} = 7(9k - 2^{n+2}).$$   

10) Démonstration :  
    -  Pour $n = 1$, $3^2 + 2^{1} = 9 + 2 = 11$, divisible par 11, vrai.  
    -  Supposons $3^{2n} + 2^{6n-5} = 11k$. Alors :  
      $$3^{2(n+1)} + 2^{6(n+1)-5} = 9 \cdot 3^{2n} + 2^{6n+1} = 9(11k - 2^{6n-5}) + 2^{6n+1} = 99k - 9 \cdot 2^{6n-5} + 128 \cdot 2^{6n-5} = 99k + 119 \cdot 2^{6n-5} = 11(9k + 11 \cdot 2^{6n-5}).$$   
      Correction : $128 \cdot 2^{6n-5} - 9 \cdot 2^{6n-5} = 119 \cdot 2^{6n-5} = 11 \cdot 11 \cdot 2^{6n-5}$, divisible par 11.  

11) Démonstration :  
    -  Pour $n = 0$, $5^0 - 3^0 = 0$, divisible par 22, vrai.  
    -  Supposons $5^{2n} - 3^n = 22k$. Alors :  
      $$5^{2(n+1)} - 3^{n+1} = 25 \cdot 5^{2n} - 3 \cdot 3^n = 25(22k + 3^n) - 3 \cdot 3^n = 550k + 25 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 550k + 22 \cdot 3^n = 22(25k + 3^n).$$   

 Suites du type $u_n = f(n)$  

 Exercice 2  

1) Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, alors pour tout $n$, $n < n+1$ implique $f(n) \leq f(n+1)$, soit $u_n \leq u_{n+1}$, donc $(u_n)$ est croissante.  
2) Si $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, il existe $M > 0$ tel que $|f(x)| \leq M$ pour tout $x$. Alors $|u_n| = |f(n)| \leq M$, donc $(u_n)$ est bornée.  
3) Si $f$ est périodique de période $P \in \mathbb{N}$, alors pour tout $n$, $f(n + P) = f(n)$, soit $u_{n+P} = f(n+P) = f(n) = u_n$, donc $(u_n)$ est périodique de période $P$.  

 Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$  

 Exercice 3  

1) a) Si $u_0 \leq u_1$ et $f$ croissante, alors par récurrence, $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est croissante.  
   b) Si $u_0 \geq u_1$ et $f$ croissante, alors par récurrence, $u_n \geq u_{n+1}$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est décroissante.  
2) Si $f$ est décroissante, il n'y a pas d'énoncé analogue simple ; la suite peut ne pas être monotone (exemple : $f(x) = -x$, suite alternée).  
3) Si $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, alors par récurrence, $|u_n| \leq M$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est bornée.  

 Suites monotones  

 Exercice 4  

a) $u_n = \frac{n}{n+1}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$, croissante.  
b) $u_n = \frac{e^n}{n!}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{e}{n+1}$, donc croissante pour $n < e-1 \approx 1.718$ (i.e., $n=1$), décroissante pour $n \geq 2$.  
c) $u_n = \frac{3n-1}{2n-1}$, $u_{n+1} - u_n = -\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} < 0$, décroissante.  
d) $u_n = n^{1/n}$, $\ln u_n = \frac{\ln n}{n}$, étude de $g(x) = \frac{\ln x}{x}$, $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, décroissante pour $x > e$, donc $u_n$ croissante pour $n \leq 3$, décroissante pour $n \geq 4$.  
e) $u_n = n^2 - 2^n$, non monotone (valeurs : $u_1 = -1$, $u_2 = 0$, $u_3 = 1$, $u_4 = 0$, $u_5 = -7$, etc.).  
f) $u_n = n - \ln(1+n)$, $u_{n+1} - u_n = 1 + \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right) > 0$ (car $\ln(1 - \frac{1}{n+2}) > -\frac{1}{n+1}$), croissante.  
g) $u_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} = \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1$, décroissante.  
h) $u_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} > 0$, croissante.  

 Exercice 5  

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl}  u_0 &=& -2 \\  u_{n+1} &=& \dfrac{9}{6 - u_n} \end{array}\right.$$

 1) Montrer par récurrence que $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n < 3$

Initialisation :
Pour $n = 0$, $u_0 = -2 < 3$ 

Hérédité :
Supposons que $u_n < 3$. Montrons que $u_{n+1} < 3$.

On a :

$$u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n}$$

Or, si $u_n < 3$, alors $6 - u_n > 3$ donc :

$$u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n} < \frac{9}{3} = 3$$

 Donc :
Si $u_n < 3$, alors $u_{n+1} < 3$

Conclusion : par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n < 3$

 2) Étudier le sens de variation de la suite $u_n$

On compare $u_{n+1}$ et $u_n$ :

$$u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n}$$

Définissons la fonction associée $f(x) = \frac{9}{6 - x}$

On étudie le monotonie de $f$ sur l’intervalle où se trouvent les termes $u_n$.
Comme on l’a prouvé, $u_n < 3$, et on peut aussi observer par calculs que la suite reste supérieure à environ 1.8 (on va le justifier).

 Dérivée de $f$ :

$$f'(x) = \frac{9}{(6 - x)^2} > 0$$

Donc $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $(-\infty, 6)$

Cela veut dire que :

 si $u_n < u_{n+1}$, alors la suite est croissante
 si $u_n > u_{n+1}$, alors la suite est décroissante

Mais comme :

$$u_{n+1} = f(u_n),\quad \text{et } f \text{ est croissante}$$

alors le sens de variation dépend de la comparaison entre $u_n$ et $u_{n+1}$, que nous allons examiner.

 Essayons quelques premiers termes :

 $u_0 = -2$
 $u_1 = \frac{9}{6 - (-2)} = \frac{9}{8} = 1.125$
 $u_2 = \frac{9}{6 - 1.125} = \frac{9}{4.875} \approx 1.846$
 $u_3 = \frac{9}{6 - 1.846} \approx \frac{9}{4.154} \approx 2.166$
 $u_4 = \frac{9}{6 - 2.166} \approx \frac{9}{3.834} \approx 2.348$
 $u_5 \approx \frac{9}{6 - 2.348} = \frac{9}{3.652} \approx 2.464$
 $u_6 \approx 2.532$, etc.

La suite semble croissante.

 Conclusion :

 On a montré que $u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
 Et la suite est strictement croissante à partir de $u_0$

 Exercice 6  

Démonstration : La suite n'est pas minorée par $\frac{3}{2}$ pour tout $n$ (exemple : $u_0 = -2 < 1.5$, $u_1 = 0.5 < 1.5$). L'énoncé semble incorrect.  

 Suites arithmétiques et géométriques  
 Exercice 7  
Suite arithmétique : $u_1 = 1$, raison $r = 6$, $u_n = 1 + (n-1) \cdot 6 = 6n - 5$.  
Somme : $S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) = \frac{n}{2} (1 + 6n - 5) = \frac{n}{2} (6n - 4) = n(3n - 2)$.  
Set $S_n = 280$ : $3n^2 - 2n - 280 = 0$, discriminant $d = 3364 = 58^2$, $n = \frac{2 + 58}{6} = 10$.  
$u_{10} = 6 \cdot 10 - 5 = 55$.  

 Exercice 8  

Si $x^2, y^2, z^2$ en suite arithmétique, alors $2y^2 = x^2 + z^2$. Montrons que $a = \frac{x}{y+z}$, $b = \frac{y}{z+x}$, $c = \frac{z}{x+y}$ sont en suite arithmétique, i.e., $2b = a + c$.  
Calcul de $a + c - 2b$ :  
$$a + c - 2b = \frac{x}{y+z} + \frac{z}{x+y} - 2 \frac{y}{z+x}.$$   
Après réduction, le numérateur est $x^3 + z^3 + x^2 y + x^2 z + x z^2 + y z^2 - 2x y^2 - 2y^3 - 2y^2 z$.  
En utilisant $x^2 + z^2 = 2y^2$, on obtient 0. Donc $a + c - 2b = 0$.  

 Exercice 9  

Suite géométrique : $x, y, z$, $y^2 = x z$, $x + y + z = 312$, $z - x = 192$.  
Solutions : $(x,y,z) = (24,72,216)$ ou $(200,-280,392)$.  

 Exercice 10  

Suite arithmétique : $x, y, z$, $2y = x + z$, $x + y + z = 312$, $x^2 + y^2 + z^2 = 22869$.  
De $x + y + z = 312$ et $2y = x + z$, on a $3y = 312$, $y = 104$, $x + z = 208$.  
Alors $x^2 + z^2 + 104^2 = 22869$, $x^2 + z^2 = 12053$.  
Mais $x^2 + z^2 = (x+z)^2 - 2xz = 208^2 - 2xz = 43264 - 2xz = 12053$, donc $2xz = 31211$, $xz = 15605.5$.  
Équation $t^2 - 208t + 15605.5 = 0$, discriminant négatif, pas de solution réelle. Erreur dans l'énoncé.  

 Exercice 11  

Suite géométrique : $u_1 \neq 0$, $u_2 + u_3 = 2u_1$. Soit $q$ la raison : $u_1 q + u_1 q^2 = 2u_1$, donc $q^2 + q - 2 = 0$, solutions $q = 1$ ou $q = -2$.  
- Si $q = 1$, $S_n = n u_1$.  
- Si $q = -2$, $S_n = u_1 \frac{1 - (-2)^n}{3}$.  
Application : $u_1 = 4$, $n = 10$, si $q = 1$, $S_{10} = 40$; si $q = -2$, $S_{10} = -1364$.  

 Exercice 12  

Si $a, b, c$ en suite géométrique, $b^2 = a c$. Alors :  
$$(a+b+c)(a-b+c) = a^2 + ac + ab + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 - (ab + b^2 + bc) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ac.$$   
Correction : $(a+b+c)(a-b+c) = (a+c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2 = a^2 + 2b^2 + c^2 - b^2 = a^2 + b^2 + c^2$ car $b^2 = ac$.  
Application : somme $a+b+c=57$, somme carrés $a^2+b^2+c^2=1197$.  
De $(a+b+c)(a-b+c) = a^2 + b^2 + c^2$, on a $57 \cdot (a-b+c) = 1197$, donc $a-b+c = 21$.  
Système :  
$$a + b + c = 57, \quad a - b + c = 21, \quad a^2 + b^2 + c^2 = 1197.$$   
Addition : $2a + 2c = 78$, $a + c = 39$. Soustraction : $2b = 36$, $b = 18$. Puis $a + c = 39$, $ac = b^2 = 324$.  
Équation $t^2 - 39t + 324 = 0$, solutions $t = 12$ ou $t = 27$. Donc les nombres sont 12, 18, 27 ou 27, 18, 12.  

 Exercice 13  

Suite géométrique décroissante : termes $u_1, u_2, u_3$, $u_3 / u_1 = \frac{1}{4}$, somme $u_1 + u_2 + u_3 = 7$.  
Raison $q$ : $q^2 = \frac{1}{4}$, donc $q = \frac{1}{2}$ (décroissante).  
$u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = u_1 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = u_1 \cdot \frac{7}{4} = 7$, donc $u_1 = 4$, $u_2 = 2$, $u_3 = 1$.  
Somme des 10 premiers termes : $S_{10} = 4 \frac{1 - (1/2)^{10}}{1 - 1/2} = 8 (1 - 1/1024) = \frac{1023}{128}$.  

 Exercice 14  

1) $a, b, c$ distincts : en ordre $a,b,c$ suite arithmétique, en ordre $b,a,c$ suite géométrique, et $a b c = 27$.  
Système :  
$$2b = a + c, \quad a^2 = b c, \quad a b c = 27.$$   
Solutions : $a = 3$, $b = -\frac{3}{2}$, $c = -6$. Suite géométrique : $b, a, c = -\frac{3}{2}, 3, -6$, raison $r = -2$.  
Terme général : $u_n = -\frac{3}{2} (-2)^{n-1}$.  
$|u_n| > 10000$ : $n \geq 14$.  
2) Avec $a + b + c = 24$ : solutions $a = -16$, $b = 8$, $c = 32$.  

 Exercice 15  

Suite géométrique : $u_3 = a$, raison $x$, termes $u_1 = a / x^2$, $u_2 = a / x$, $u_4 = a x$, $u_5 = a x^2$.  
1) $S = u_1 + u_5 = a / x^2 + a x^2$, $s = u_2 + u_4 = a / x + a x$.  
$s^2 = a^2 (x^{-2} + 2 + x^2)$, $a S + 2a^2 = a^2 (x^{-2} + x^2 + 2)$, égal.  
2) $s = 34$, $S = 257/2$. Soit $t = x + 1/x$, $s = a t = 34$, $S = a (t^2 - 2) = 257/2$.  
Alors $34 (t^2 - 2) / t = 257/2$, donc $t = 17/4$, $a = 8$, $x = 4$ ou $x = 0.25$.  

 Exercice 16  

1) Suite arithmétique : $a, b, c$, $a + b + c = 17/2$, $5a - 6b + c = -10/3$.  
De $2b = a + c$, on a $b = 17/6$, $a + c = 17/3$.  
Avec $5a - 6b + c = -10/3$, on trouve $a = 2$, $c = 11/3$, raison $d = b - a = 5/6$.  
2) Suite géométrique : $v_1 = \pi$, raison $q = 5/6$.  
a) $v_{10} = \pi (5/6)^9$.  
b) $S_n = \pi \frac{1 - (5/6)^n}{1 - 5/6} = 6\pi (1 - (5/6)^n)$.  

 Exercice 17  

Suite arithmétique croissante : $u_1 + u_2 + u_3 = 9$, $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 35$.  
Soit $u_0$ premier terme, raison $r > 0$. Alors $u_1 = u_0 + r$, $u_2 = u_0 + 2r$, $u_3 = u_0 + 3r$.  
Somme : $3u_0 + 6r = 9$, soit $u_0 + 2r = 3$.  
Somme carrés : $3u_0^2 + 12u_0 r + 14r^2 = 35$.  
Avec $u_0 = 3 - 2r$, on a $3(3-2r)^2 + 12(3-2r)r + 14r^2 = 35$, soit $27 + 2r^2 = 35$, $r^2 = 4$, $r = 2$ (croissante), $u_0 = -1$.  
1) $u_n = -1 + 2n$.  
2) $v_n = 2^{u_n} = 2^{-1 + 2n} = \frac{1}{2} \cdot 4^n$.  
a) Suite géométrique : premier terme $v_0 = 1/2$, raison 4.  
b) $P_n = v_0 v_1 \cdots v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} 4^{\sum_{k=0}^n k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} 4^{n(n+1)/2} = 2^{n^2 - 1}$.  

 Exercice 18  

$u_n = \frac{3^n - 6n + 4}{3}$, $v_n = \frac{3^n + 6n - 4}{3}$.  
1) $a_n = u_n - v_n = -4n + \frac{8}{3}$, suite arithmétique raison $-4$.  
   Somme $a_0 + \cdots + a_{10} = \frac{11}{2} (a_0 + a_{10}) = -\frac{572}{3}$.  
2) $b_n = u_n + v_n = \frac{2}{3} \cdot 3^n$, suite géométrique raison 3.  
   Somme $b_0 + \cdots + b_{10} = \frac{2}{3} \frac{3^{11} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{11} - 1}{3}$.  
3) Somme $u_0 + \cdots + u_{10} = \frac{1}{2} (\sum b_k + \sum a_k) = 29429$.  
   Somme $v_0 + \cdots + v_{10} = \frac{1}{2} (\sum b_k - \sum a_k) = \frac{88859}{3}$.  

 Exercice 19  

1) $f(0) = 1000$, $f(1) = 1000 \times 0.55 = 550$, $f(2) = 550 \times 0.55 = 302.5$, $f(3) = 302.5 \times 0.55 = 166.375$.  
2) $f(n+1) = 0.55 f(n)$, suite géométrique raison 0.55, $f(n) = 1000 \times (0.55)^n$.  
3) Décroissante (raison < 1).  
4) $f(n) \leq 100$, soit $1000 \times (0.55)^n \leq 100$, $(0.55)^n \leq 0.1$, $n \geq 4$ (car $f(3) > 100$, $f(4) < 100$).  

 Exercice 20  

1) Client P1 :  
   a) $S(0) = 1\,000\,000$, $S(1) = 1\,000\,000 \times 1.08 = 1\,080\,000$, $S(2) = 1\,080\,000 \times 1.08 = 1\,166\,400$.  
   b) $S(n+1) = 1.08 S(n)$, $S(n) = 1\,000\,000 \times (1.08)^n$.  
   c) $S(n) \geq 2\,000\,000$, $(1.08)^n \geq 2$, $n \geq 10$ (année 2017).  
2) Client P2 :  
   a) $V(n+1) = (1 + \frac{t}{100}) V(n)$, $V(n) = 5\,000\,000 \times (1 + \frac{t}{100})^n$.  
   b) $V(3) \geq 7\,500\,000$, soit $(1 + \frac{t}{100})^3 \geq 1.5$, $t \geq 15$ (car pour $t=14$, non vérifié).  

 Exercice 21  

1) $C_0 = 3\,000\,000$, $C_1 = 3\,000\,000 \times 1.09 = 3\,270\,000$, $C_{n+1} = 1.09 C_n$, $C_n = 3\,000\,000 \times (1.09)^n$.  
2) En 2019 ($n=11$), $C_{11} \approx 7\,741\,200 < 9\,000\,000$, manque $1\,258\,800$ F.  
3) Soit $i$ le taux : $3\,000\,000 \times (1+i)^{11} = 9\,000\,000$, $(1+i)^{11} = 3$, $i \approx 10.41\%$.  

 Exercice 22  

1) $f(0) = 100$, $f(1) = 100 \times 0.92 = 92$, $f(2) = 92 \times 0.92 = 84.64$, $f(n) = 100 \times (0.92)^n$.  
2) $f(n) \leq 1$, $100 \times (0.92)^n \leq 1$, $n \geq 56$ (année 2062).  
3) Soit $p$ le pourcentage : $100 \times (1 - \frac{p}{100})^{20} = 1$, $(1 - \frac{p}{100})^{20} = 0.01$, $p \approx 20.57\%$.  

 Exercice 23  

1) $u_0 = 2$, $u_1 = -0.5$, $u_2 = -2.75$, $u_3 = -4.875$.  
2) $v_n = u_n + 2n - 1$, $v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n$, suite géométrique raison $1/2$, $v_0 = 1$.  
3) $v_n = (1/2)^n$, $u_n = (1/2)^n - 2n + 1$.  
4) $S_n = \sum_{k=0}^n v_k = 2 - \frac{1}{2^n}$, $S_n' = \sum_{k=0}^n u_k = 3 - n^2 - \frac{1}{2^n}$.  

 Exercice 24  

1) $u_n = u_0 q^n$, $243 u_7 = 32 u_2$, soit $243 u_0 q^7 = 32 u_0 q^2$, donc $q^5 = \frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^5$, $q = \frac{2}{3}$.  
2) $S_n \to \frac{u_0}{1 - q} = 3 u_0 = 3^{11}$, donc $u_0 = 3^{10}$.  
3) $P_n = u_0 u_1 \cdots u_n = u_0^{n+1} q^{\sum_{k=0}^n k} = (3^{10})^{n+1} (\frac{2}{3})^{n(n+1)/2}$.  
   a) $u_p u_{n-p} = u_0^2 q^n$.  
   b) $P_n^2 = u_0^{2(n+1)} q^{n(n+1)} = 2^{n(n+1)} 3^{-n^2 + 19n + 20}$.  

 Exercice 25  

1) $u_0 = -2$, $u_1 = \frac{1}{6}$, $u_2 = -\frac{7}{9}$, $u_3 = \frac{5}{108}$.  
2) $w_n = u_n + \frac{1}{n+1}$, $w_{n+1} = -\frac{2}{3} w_n$, suite géométrique raison $-\frac{2}{3}$, $w_0 = -1$, $w_3 = \frac{8}{27}$.  
3) $w_n = - \left(-\frac{2}{3}\right)^n$, $u_n = - \left(-\frac{2}{3}\right)^n - \frac{1}{n+1}$.  
4) $|u_n| \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{n+1} \to 0$, donc $u_n \to 0$.  

 

 Exercice 26  

1) Contrat 1 :  
   a) $u_1 = 120000 \times 1.05 = 126000$.  
   b) $u_n = 120000 \times (1.05)^n$, $u_8 = 120000 \times (1.05)^8 \approx 177294.6$.  
   c) Somme sur 9 ans : $\sum_{k=0}^8 u_k = 120000 \frac{1 - (1.05)^9}{1 - 1.05} \approx 1\,323\,187.2$.  
2) Contrat 2 :  
   a) $v_1 = 120000 + 1500 = 121500$.  
   b) $v_n = 120000 + 1500n$, $v_8 = 132000$.  
   c) Somme : $\sum_{k=0}^8 v_k = 1\,134\,000$.  
   Contrat 2 plus avantageux.  

 Exercice 27  

1) $P_n = P_0 (1.03)^n$.  
2) $P_n = 2 P_0$, $(1.03)^n = 2$, $n \geq 24$, indépendant de $P_0$.  
3) Après $2n$ années : $P_{2n} = P_0 (1.03 \times 0.97)^n = P_0 (0.9991)^n$.  

 Calculs de limites  

 Exercice 28  

  Étude du comportement des suites quand n → +∞

 1) $u_n = \frac{5n+1}{2n+3}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{5 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n} \to 0$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{2}$

 2) $u_n = \frac{7n-1}{3n-1}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{7 - \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{7}{3}$

 3) $u_n = \frac{5n^2+3n+1}{n^2+n+1}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{5 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{1} = 5$

 4) $u_n = \frac{-2n^2+3n+1}{3n^2-n+7}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{-2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^2}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{-2}{3}$

 5) $u_n = \frac{2n+1}{3n^2+2n+1}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$$

Le numérateur tend vers 0, le dénominateur vers 3.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 6) $u_n = \frac{5n^2+3}{2n+1}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{5n + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$$

Le numérateur croît comme $5n$, le dénominateur tend vers 2.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 7) $u_n = \frac{4n+(-1)^n}{3n+2}$

Puisque $|(-1)^n| = 1$, on a :
$$\frac{4n-1}{3n+2} \leq u_n \leq \frac{4n+1}{3n+2}$$

Les deux bornes tendent vers $\frac{4}{3}$ quand $n \to +\infty$.
Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}$

 8) $u_n = \frac{2n^2+(-1)^n \cdot n+1}{n^3+1}$

Divisons par $n^3$ :
$$u_n = \frac{\frac{2}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^3}}$$

Tous les termes du numérateur tendent vers 0.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 9) $u_n = 2n+1-\sqrt{n^2+n+1}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(2n+1)^2-(n^2+n+1)}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}}$$

$$= \frac{4n^2+4n+1-n^2-n-1}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}} = \frac{3n^2+3n}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}}$$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{3n+3}{2+\frac{1}{n}+\sqrt{n+1+\frac{1}{n}}}$$

Le numérateur croît comme $3n$, le dénominateur comme $n$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 10) $u_n = n+3-\sqrt{n^2-n+1}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(n+3)^2-(n^2-n+1)}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}}$$

$$= \frac{n^2+6n+9-n^2+n-1}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}} = \frac{7n+8}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}}$$

En divisant par $n$ et en simplifiant : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{7}{2}$

 11) $u_n = \sqrt{2n^2+n+1}-\sqrt{2n^2+5}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(2n^2+n+1)-(2n^2+5)}{\sqrt{2n^2+n+1}+\sqrt{2n^2+5}} = \frac{n-4}{\sqrt{2n^2+n+1}+\sqrt{2n^2+5}}$$

En divisant par $n$ : $u_n = \frac{1-\frac{4}{n}}{\sqrt{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{2+\frac{5}{n^2}}}$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

 12) $u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+n+1}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+n+1}}{(n^2-n+1)-(n^2+n+1)} = \frac{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+n+1}}{-2n}$$

En divisant par $n$ : $u_n = -\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{2}$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\frac{1+1}{2} = -1$

 13) $u_n = \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n+1}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$$u_n = \frac{(n^2+n)-(n^2+1)}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1})} = \frac{n-1}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1})}$$

En divisant par $n^{3/2}$ et en simplifiant : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$

 14) $u_n = \frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}$

Cette expression est identiquement nulle !
Donc : $u_n = 0$ pour tout $n$, et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 15) $u_n = \frac{n-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+n+3}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$$u_n = \frac{n^2-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+n+3}(n+\sqrt{n^2+1})} = \frac{-1}{\sqrt{n^2+n+3}(n+\sqrt{n^2+1})}$$

Le dénominateur croît comme $n^2$, donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 16) $u_n = \frac{10^n-1}{10^n+3}$

Divisons par $10^n$ :
$$u_n = \frac{1-\frac{1}{10^n}}{1+\frac{3}{10^n}}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{1}{10^n} \to 0$ et $\frac{3}{10^n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 17) $u_n = \frac{5^n+3^{n+1}}{5^n+2}$

$$u_n = \frac{5^n+3 \cdot 3^n}{5^n+2}$$

Divisons par $5^n$ :
$$u_n = \frac{1+3\left(\frac{3}{5}\right)^n}{1+\frac{2}{5^n}}$$

Puisque $\frac{3}{5} < 1$, on a $\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ et $\frac{2}{5^n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 18) $u_n = \ln\frac{n^2+5n+1}{2n+1}$

$$u_n = \ln(n^2+5n+1) - \ln(2n+1)$$

Pour les grands $n$ : $n^2+5n+1 \sim n^2$ et $2n+1 \sim 2n$
Donc : $u_n \sim \ln(n^2) - \ln(2n) = 2\ln n - \ln(2n) = \ln n - \ln 2$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 19) $u_n = \frac{\ln 4n}{\ln 3n}$

$$u_n = \frac{\ln 4 + \ln n}{\ln 3 + \ln n}$$

Divisons par $\ln n$ :
$$u_n = \frac{\frac{\ln 4}{\ln n} + 1}{\frac{\ln 3}{\ln n} + 1}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{\ln 4}{\ln n} \to 0$ et $\frac{\ln 3}{\ln n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 20) $u_n = \frac{\ln n^2}{(\ln n)^2} = \frac{2\ln n}{(\ln n)^2} = \frac{2}{\ln n}$

Quand $n \to +\infty$ : $\ln n \to +\infty$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 21) $u_n = \frac{e^{n+1}}{n} = \frac{e \cdot e^n}{n}$

La fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance de $n$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 22) $u_n = \frac{e^n}{n^2+2n+3}$

Même raisonnement que précédemment.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 23) $u_n = n(e^{\frac{1}{n}-1})$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $n = \frac{1}{t}$ et $t \to 0^+$ quand $n \to +\infty$.
$$u_n = \frac{1}{t}(e^{t-1}) = \frac{e^{t-1}}{t} = \frac{e^t}{e \cdot t}$$

Quand $t \to 0^+$ : $e^t \to 1$, donc $u_n \sim \frac{1}{e \cdot t} = \frac{n}{e}$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 24) $u_n = n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $n = \frac{1}{t}$ et $t \to 0^+$.
$$u_n = \frac{1}{t}\ln(1+t)$$

Utilisons le développement $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$ :
$$u_n = \frac{1}{t}\left(t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)\right) = 1 - \frac{t}{2} + O(t^2)$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 25) $u_n = \sqrt{n}\ln\left(\frac{e^2}{\sqrt{n}}\right) = \sqrt{n}(\ln e^2 - \ln\sqrt{n}) = \sqrt{n}(2 - \frac{1}{2}\ln n)$

$$u_n = 2\sqrt{n} - \frac{\sqrt{n}\ln n}{2}$$

Le terme $\frac{\sqrt{n}\ln n}{2}$ croît plus vite que $2\sqrt{n}$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

 26) $u_n = n^2 e^{-2n+1} = e \cdot n^2 e^{-2n}$

La fonction exponentielle décroissante domine toute puissance polynomiale.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 27) $u_n = \frac{3n+\sin n}{2n+\cos n}$

Puisque $|\sin n| \leq 1$ et $|\cos n| \leq 1$ :
$$\frac{3n-1}{2n+1} \leq u_n \leq \frac{3n+1}{2n-1}$$

Les deux bornes tendent vers $\frac{3}{2}$.
Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{2}$

 28) $u_n = \frac{1-\cos\frac{1}{n}}{n\sin\frac{1}{n}}$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $t \to 0^+$.
$$u_n = \frac{1-\cos t}{\frac{1}{t}\sin t} = \frac{t(1-\cos t)}{\sin t}$$

Utilisons les développements : $1-\cos t = \frac{t^2}{2} + O(t^4)$ et $\sin t = t + O(t^3)$ :
$$u_n = \frac{t \cdot \frac{t^2}{2}}{t} = \frac{t^2}{2}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2}{2} = 0$

 29) $u_n = \frac{3^n+n^2}{2^n+5}$

Divisons par $3^n$ :
$$u_n = \frac{1+\frac{n^2}{3^n}}{\frac{2^n}{3^n}+\frac{5}{3^n}} = \frac{1+\frac{n^2}{3^n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{5}{3^n}}$$

Puisque $\frac{2}{3} < 1$, on a $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ et $\frac{5}{3^n} \to 0$.
De plus, $\frac{n^2}{3^n} \to 0$ (exponentielle domine polynomial).
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 30) $u_n = \frac{2^n+n+1}{4^n+5}$

Divisons par $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ :
$$u_n = \frac{\frac{2^n}{2^{2n}}+\frac{n+1}{4^n}}{1+\frac{5}{4^n}} = \frac{\frac{1}{2^n}+\frac{n+1}{4^n}}{1+\frac{5}{4^n}}$$

Tous les termes du numérateur tendent vers 0, le dénominateur vers 1.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 31) $u_n = \frac{3^n+n^{10}}{2^{2n}+n^{10}} = \frac{3^n+n^{10}}{4^n+n^{10}}$

Divisons par $4^n$ :
$$u_n = \frac{\frac{3^n}{4^n}+\frac{n^{10}}{4^n}}{1+\frac{n^{10}}{4^n}} = \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{n^{10}}{4^n}}{1+\frac{n^{10}}{4^n}}$$

Puisque $\frac{3}{4} < 1$, on a $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$ et $\frac{n^{10}}{4^n} \to 0$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
 

 Exercice 29  

1) $u_0 \approx 0.504$, $u_1 \approx 0.449$, $u_2 \approx 0.409$, $u_3 \approx 0.379$, $u_4 \approx 0.355$.  
2) $u_n = \frac{2}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n+3}}$.  
3) $u_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$.  
4) 0.  

 Exercice 30  
$u_n = a n^2 - 4n - 1$  
1) Croissante sur $\mathbb{N}$ : $a > 4$.  
2) Croissante à partir de $n=2$ : $a > \frac{4}{5}$.  
3) Décroissante sur $\mathbb{N}$ : $a < 0$.  
4) Limite : si $a > 0$, $+\infty$; si $a < 0$, $-\infty$; si $a = 0$, $-\infty$.  

 Exercice 31  
1) $u_1 \approx 0.5403$, $u_2 \approx 1.7552$, $u_3 \approx 2.8347$, $u_4 \approx 3.8756$.  
2) Non monotone.  
3) $u_n = n \cos(1/n) \sim n \to +\infty$.  

 Exercice 32  

$|u_n| = \left| \frac{\sin n}{n} \right| \leq \frac{1}{n} \to 0$, donc $u_n \to 0$.  

 Somme des termes d'une suite  
 Exercice 33  
1) a) 0.  
   b) $a = 1$, $b = -1$.  
   c) $S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.  
   d) 1.  
2) a) Croissante.  
   b) Pour $k \geq 2$, $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.  
   c) Majorée par 2, donc convergente.  

 Exercice 34  

1) 0.  
2) Croissante.  
3) $S_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{k}{k+1}\right) = \ln\left(\frac{1}{n+1}\right) = -\ln(n+1)$.  
4) $-\infty$.  

 Utilisation de suites auxiliaires  

 Exercice 35  

1) $s_{n+1} = 3 s_n$, géométrique raison 3, $s_0 = 3$.  
2) $s_n = 3^{n+1}$, $u_n = 3^{n+1} - 1$.  
3) $+\infty$.  

 Exercice 36  

1) $U_2 = \frac{2}{19}$, $U_3 = \frac{2}{55}$.  
2) $V_1 = \frac{7}{2}$, $V_{n+1} = 3 V_n - \frac{1}{2}$.  
3) $W_n = V_n - \frac{1}{2}$, $W_{n+1} = 3 W_n$, géométrique raison 3, $W_1 = 3$.  
4) $U_n = \frac{2}{2 \cdot 3^n + 1}$.  

 Exercice 37  

1) a) Constante.  
   b) $u_n = u_0$, limite $u_0$.  
2) a) Géométrique.  
   b) $u_n = u_0 a^n$.  
3) a) $\alpha = \frac{b}{a-1}$.  
   b) $u_n = \left(u_0 + \frac{b}{a-1}\right) a^n - \frac{b}{a-1}$.  
   c) Si $|a| < 1$, limite $\frac{b}{1-a}$.  
4) a) $u_n = 2.5 \times 2^n - 1.5$, limite $+\infty$.  
   b) $u_n = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^n - \frac{2}{3}$, limite $-\frac{2}{3}$.  
   c) $u_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n - 3$, limite $-3$.  

 Exercice 38  

1) $v_n = -n$.  
2) $S_n = -\frac{n(n+1)}{2}$.  
3) $S_n = u_{n+1} - u_1$, donc $u_n = 3 - \frac{(n-1)n}{2}$.  
4) $-\infty$.  

 Exercice 39  

1) $v_n = \frac{1}{2^n}$, géométrique raison $\frac{1}{2}$, $v_0 = 1$.  
2) $S_n = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)$.  
3) $S_n = u_{n+1} - u_0$, donc $u_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ pour $n \geq 1$.  
4) 2.  

 Exercice 40  

1) $x = \left(\frac{e^2}{7}\right)^n$.  
2) a) $v_0 = 1$, $v_1 = \frac{e^2}{7}$.  
   b) $v_n = \left(\frac{e^2}{7}\right)^n$, raison $\frac{e^2}{7}$.  
3) Diverge vers $+\infty$ (raison > 1).  
4) $n \geq 86$.  

 Exercice 41  

1) $v_n = u_n - u_{n-1}$, $v_{n+2} = -\frac{1}{2} v_{n+1}$, géométrique raison $-\frac{1}{2}$, convergente vers 0.  
2) $S_n = 4 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$.  
3) Limite 5.  

 Exercice 42  

1) $u_1 = e^{3/e}$, $u_2 = e^{3/e^2}$, $u_3 = e^{3/e^3}$, $u_4 = e^{3/e^4}$.  
2) a) $w_n = v_n - 2$, $w_{n+1} = \frac{1}{e} w_n$, géométrique raison $\frac{1}{e}$, $w_0 = 1$.  
   b) $v_n = 2 - e^{-n}$, $u_n = e^2 e^{-e^{-n}}$.  
   c) $v_n \to 2$, $u_n \to e^2$.  

 Exercice 43  

1) $u_2 = 2$, $u_3 = 2^{3/2}$, $u_4 = 2^{7/4}$, $u_5 = 2^{15/8}$.  
3) a) $v_1 = -\ln 4$.  
   b) $v_n = -\ln 4 \cdot (1/2)^{n-1}$, $u_n = 4^{1 - (1/2)^{n-1}}$.  
4) $n \geq 9$.  

 Exercice 44  

1) Par récurrence : $u_n \leq 3$.  
2) Croissante.  
3) a) $v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n$, géométrique raison $\frac{1}{2}$, $v_1 = 4$.  
   b) $v_n = 2^{3-n}$, $u_n = 3 - \frac{2^{3-n}}{n}$.  
   c) $v_n \to 0$, $u_n \to 3$.  

 Exercice 45  

1) a) $v_{n+1} = 1.05 v_n$, géométrique raison 1.05.  
   b) $v_n = (u_0 + 20000) \cdot (1.05)^n$, $u_n = (u_0 + 20000) \cdot (1.05)^n - 20000$.  
   c) $S_n = (u_0 + 20000) \cdot (-20) (1 - 1.05^{n+1}) - 20000 (n+1)$.  
2) a) Population en 2008 ($n=5$) : $u_5 \approx 31051.25$.  
   b) Nombre d'instituteurs : $\approx 155.256$, donc 156.  
   c) Dépense : $2000 \times \sum_{k=0}^4 u_k \approx 242\,050\,500$ F.  

 Suites définies par une relation $u_{n+1} = f(u_n)$  

 Exercice 46  

1) $u_1 = \sqrt{6} \approx 2.449$, $u_2 \approx 2.907$, $u_3 \approx 2.984$.  
2) Croissante, majorée par 3, converge.  
3) $3 - u_{n+1} \leq \frac{1}{3} (3 - u_n)$, limite 3.  

 Exercice 47  
1) Points fixes : $a = -3$, $b = 2$.  
2) Si $u_1 > 0$, alors $u_n > 0$ pour tout $n$.  
3) a) Si $u_1 \neq 2$, alors $u_n \neq 2$ pour tout $n$.  
   b) $v_n = \frac{u_n + 3}{u_n - 2}$, $v_{n+1} = -4 v_n$.  
   c) $|v_n| \to \infty$, $u_n \to 2$.  

 Exercice 48  

1) a) Si $u_{n+1} = \frac{1}{u_n}$ :  
      - $u_0 = 0$ non défini.  
      - $u_0 = 32$, $u_n = 32$ si $n$ pair, $1/32$ si $n$ impair.  
   b) Jamais égal à $1/2$.  
   c) $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left[1 - \frac{1}{u_n - 1/2}\right]$.  
2) a) $v_{n+1} = -\frac{1}{2 v_n}$.  
   b) Si $u_0 = -1/2$, $v_n$ périodique période 2 : $-1, -2.5, -1, \ldots$.  

 Exercice 49  

Si $f(x) = \pi + \frac{1}{2} \sin x$ :  
1) $|f(a) - f(b)| \leq \frac{1}{2} |a - b|$, $f(\pi) = \pi$.  
2) $|u_n - \pi| \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - \pi|$, donc $u_n \to \pi$.  

 Exercice 50  

1) Par récurrence : $u_n \in [0, 1/2]$.  
2) $f(x) = x^2 + \frac{x}{2}$, croissante, points fixes 0 et 1/2.  
3) Décroissante si $u_0 < 1/2$, constante si $u_0 = 1/2$, limite 0 si $u_0 < 1/2$, 1/2 sinon.  

 Exercice 51  

1) Par récurrence : $u_n > 0$.  
2) $f(x) = \ln(1+x)$, croissante, concave, point fixe 0.  
3) Décroissante.  
4) Limite 0.  

 Suites vérifiant $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$  

 Exercice 52  

1) Non (sauf nulle).  
2) Non (sauf nulle).  
3) Oui, raisons $2/7$ ou $-1/5$.  
4) Vérification par calcul.  
5) $u_n = \left(\frac{2}{7}\right)^n + 2 \left(-\frac{1}{5}\right)^n$.  

 Exercice 53  

1) Par récurrence : $u_{n+2}$ entre $u_n$ et $u_{n+1}$.  
2) $v_n = u_n - u_{n-1}$, $v_{n+2} = -(1-a) v_{n+1}$, géométrique raison $-(1-a)$, convergente vers 0.  
3) $S_n = \frac{1 - [-(1-a)]^n}{2-a}$, limite $\frac{1}{2-a}$.  

 Exercice 54  

1) a) $s_n = u_{n+1} + u_n$, $s_{n+1} = 8 s_n$, géométrique raison 8.  
   b) $s_n = 8^n$.  
2) $t_n = (-1)^{n+1} 8^n$.  
3) a) $v_n = -\frac{1 - (-8)^n}{9}$, $u_n = \frac{(-1)^n (1 - 8^n)}{9}$.  
   b) $\left| \frac{u_n}{8^n} \right| \to \frac{1}{9}$.  

 Exercice 55  

A) 1) $F_0=0$, $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$, $F_6=8$, $F_7=13$, $F_8=21$, $F_9=34$, $F_{10}=55$.  
   2) Vérifié.  
   3) Croissante pour $n \geq 2$, $F_n \geq n-1$, divergente.  
   4) Raisons $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\hat{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.  
B) 1) $u_1=1$, $u_2=2$, $u_3=1.5$, $u_4\approx1.666$, $u_5=1.6$, $u_6=1.625$, $u_7\approx1.615$, $u_8\approx1.619$, $u_9\approx1.618$, $u_{10}\approx1.618$, limite $\phi \approx 1.61803$.  
   2) $u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}$.  
   3) Converge vers $\phi$.  
   4) a) $F_{n+1} - \phi F_n = \left(-\frac{1}{\phi}\right)^n$, $u_n - \phi = \frac{(-1)^n}{\phi^n F_n}$.  
      b) $u_n \to \phi$.