Solutions Série d'exercices : Suites numériques - Ts

 Raisonnement par récurrence  

 Exercice 1  

1) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 1\), \(1^2 = 1\) et \(\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1\), vrai.  
   -  Supposons \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Alors :  
     \[
     \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = (n+1) \left( \frac{n(2n+1)}{6} + (n+1) \right) = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
     \]  
     Donc la propriété est vraie pour tout \(n \geq 1\).  

2) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 1\), \(1^3 = 1\) et \(\left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1\), vrai.  
   -  Supposons \(\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\). Alors :  
     \[
     \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + (n+1) \right) = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2.
     \]  
     Donc la propriété est vraie pour tout \(n \geq 1\).  

3) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 1\), \((2 \cdot 1 - 1)^3 = 1\) et \(2 \cdot 1^4 - 1^2 = 1\), vrai.  
   -  Supposons \(S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)^3 = 2n^4 - n^2\). Alors :  
     \[
     S_{n+1} = 2n^4 - n^2 + (2(n+1)-1)^3 = 2n^4 - n^2 + (2n+1)^3 = 2(n+1)^4 - (n+1)^2.
     \]  
     Donc la propriété est vraie pour tout \(n \geq 1\).  

4) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 4\), \(2^4 = 16 \geq 4\), vrai.  
   -  Supposons \(2^n \geq 4\) pour \(n \geq 4\). Alors \(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2 \cdot 4 = 8 \geq 4\), vrai.  

5) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 4\), \(2^4 = 16 \leq 24 = 4!\), vrai.  
   -  Supposons \(2^n \leq n!\) pour \(n \geq 4\). Alors \(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \leq 2 \cdot n! < (n+1) \cdot n! = (n+1)!\), vrai.  

6) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 5\), \(3^5 = 243 > 125 = 5^3\), vrai.  
   -  Supposons \(3^n > n^3\) pour \(n \geq 5\). Alors \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^n > 3n^3 > (n+1)^3\) (car \(3n^3 > (n+1)^3\) pour \(n \geq 5\)), vrai.  

7) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 7\), \(3^7 = 2187 < 5040 = 7!\), vrai.  
   -  Supposons \(3^n < n!\) pour \(n \geq 7\). Alors \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^n < 3 \cdot n! < (n+1) \cdot n! = (n+1)!\), vrai.  

 Dérivées n-ièmes  
a) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 0\), \(\sin^{(0)} x = \sin x = \sin\left(x + 0 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\), vrai.  
   -  Supposons \(\sin^{(n)} x = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\). Alors :  
     \[
     \sin^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{(n+1)\pi}{2}\right).
     \]  

b) Démonstration : Similaire à a) avec \(\cos\).  

c) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 0\), \(f^{(0)} x = x e^x\), vrai.  
   -  Supposons \(f^{(n)} x = e^x (x + n)\). Alors :  
     \[
     f^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} [e^x (x + n)] = e^x (x + n) + e^x = e^x (x + n + 1).
     \]  

d) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 0\), \(f^{(0)} x = \frac{1}{x}\), vrai.  
   -  Supposons \(f^{(n)} x = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}\). Alors :  
     \[
     f^{(n+1)} x = \frac{d}{dx} \left[ (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} \right] = (-1)^n n! \cdot (-(n+1)) x^{-n-2} = (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}.
     \]  

e) Correction : L'énoncé semble contenir une erreur. Si \(g(x) = \frac{1}{x^2}\), alors \(g^{(n)} x = (-1)^n \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}\).  
   -  Pour \(n = 0\), \(g^{(0)} x = \frac{1}{x^2}\), vrai.  
   -  Similaire à d).  

 Divisibilité  
8) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 0\), \(3^0 - 2^0 = 0\), divisible par 7, vrai.  
   -  Supposons \(3^{2n} - 2^n = 7k\). Alors :  
     \[
     3^{2(n+1)} - 2^{n+1} = 9 \cdot 3^{2n} - 2 \cdot 2^n = 9(7k + 2^n) - 2 \cdot 2^n = 63k + 9 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 63k + 7 \cdot 2^n = 7(9k + 2^n).
     \]  

9) Démonstration :  
   -  Pour \(n = 0\), \(3^1 + 2^2 = 7\), divisible par 7, vrai.  
   -  Supposons \(3^{2n+1} + 2^{n+2} = 7k\). Alors :  
     \[
     3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} = 27 \cdot 3^{2n+1} + 8 \cdot 2^{n+2} = 27(7k - 2^{n+2}) + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 27 \cdot 2^{n+2} + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 19 \cdot 2^{n+2}.
     \]  
     Correction : \(27(7k - 2^{n+2}) + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 27 \cdot 2^{n+2} + 8 \cdot 2^{n+2} = 189k - 19 \cdot 2^{n+2}\), mais \(19 \cdot 2^{n+2} = 19 \cdot 4 \cdot 2^n = 76 \cdot 2^n\), et \(189k - 76 \cdot 2^n\) n'est pas clairement divisible par 7. Reprise :  
     \[
     3^{2n+3} + 2^{n+3} = 9 \cdot 3^{2n+1} + 2 \cdot 2^{n+2} = 9(7k - 2^{n+2}) + 2 \cdot 2^{n+2} = 63k - 9 \cdot 2^{n+2} + 2 \cdot 2^{n+2} = 63k - 7 \cdot 2^{n+2} = 7(9k - 2^{n+2}).
     \]  

10) Démonstration :  
    -  Pour \(n = 1\), \(3^2 + 2^{1} = 9 + 2 = 11\), divisible par 11, vrai.  
    -  Supposons \(3^{2n} + 2^{6n-5} = 11k\). Alors :  
      \[
      3^{2(n+1)} + 2^{6(n+1)-5} = 9 \cdot 3^{2n} + 2^{6n+1} = 9(11k - 2^{6n-5}) + 2^{6n+1} = 99k - 9 \cdot 2^{6n-5} + 128 \cdot 2^{6n-5} = 99k + 119 \cdot 2^{6n-5} = 11(9k + 11 \cdot 2^{6n-5}).
      \]  
      Correction : \(128 \cdot 2^{6n-5} - 9 \cdot 2^{6n-5} = 119 \cdot 2^{6n-5} = 11 \cdot 11 \cdot 2^{6n-5}\), divisible par 11.  

11) Démonstration :  
    -  Pour \(n = 0\), \(5^0 - 3^0 = 0\), divisible par 22, vrai.  
    -  Supposons \(5^{2n} - 3^n = 22k\). Alors :  
      \[
      5^{2(n+1)} - 3^{n+1} = 25 \cdot 5^{2n} - 3 \cdot 3^n = 25(22k + 3^n) - 3 \cdot 3^n = 550k + 25 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 550k + 22 \cdot 3^n = 22(25k + 3^n).
      \]  

 Suites du type \(u_n = f(n)\)  

 Exercice 2  

1) Si \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), alors pour tout \(n\), \(n < n+1\) implique \(f(n) \leq f(n+1)\), soit \(u_n \leq u_{n+1}\), donc \((u_n)\) est croissante.  
2) Si \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), il existe \(M > 0\) tel que \(|f(x)| \leq M\) pour tout \(x\). Alors \(|u_n| = |f(n)| \leq M\), donc \((u_n)\) est bornée.  
3) Si \(f\) est périodique de période \(P \in \mathbb{N}\), alors pour tout \(n\), \(f(n + P) = f(n)\), soit \(u_{n+P} = f(n+P) = f(n) = u_n\), donc \((u_n)\) est périodique de période \(P\).  

 Suites du type \(u_{n+1} = f(u_n)\)  

 Exercice 3  

1) a) Si \(u_0 \leq u_1\) et \(f\) croissante, alors par récurrence, \(u_n \leq u_{n+1}\) pour tout \(n\), donc \((u_n)\) est croissante.  
   b) Si \(u_0 \geq u_1\) et \(f\) croissante, alors par récurrence, \(u_n \geq u_{n+1}\) pour tout \(n\), donc \((u_n)\) est décroissante.  
2) Si \(f\) est décroissante, il n'y a pas d'énoncé analogue simple ; la suite peut ne pas être monotone (exemple : \(f(x) = -x\), suite alternée).  
3) Si \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), alors par récurrence, \(|u_n| \leq M\) pour tout \(n\), donc \((u_n)\) est bornée.  

 Suites monotones  

 Exercice 4  

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\), \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\), croissante.  
b) \(u_n = \frac{e^n}{n!}\), \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{e}{n+1} \), donc croissante pour \(n < e-1 \approx 1.718\) (i.e., \(n=1\)), décroissante pour \(n \geq 2\).  
c) \(u_n = \frac{3n-1}{2n-1}\), \(u_{n+1} - u_n = -\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} < 0\), décroissante.  
d) \(u_n = n^{1/n}\), \(\ln u_n = \frac{\ln n}{n}\), étude de \(g(x) = \frac{\ln x}{x}\), \(g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}\), décroissante pour \(x > e\), donc \(u_n\) croissante pour \(n \leq 3\), décroissante pour \(n \geq 4\).  
e) \(u_n = n^2 - 2^n\), non monotone (valeurs : \(u_1 = -1\), \(u_2 = 0\), \(u_3 = 1\), \(u_4 = 0\), \(u_5 = -7\), etc.).  
f) \(u_n = n - \ln(1+n)\), \(u_{n+1} - u_n = 1 + \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right) > 0\) (car \(\ln(1 - \frac{1}{n+2}) > -\frac{1}{n+1}\)), croissante.  
g) \(u_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} = \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}\), \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1\), décroissante.  
h) \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\), \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} > 0\), croissante.  

 Exercice 5  

$$
\left\lbrace\begin{array}{lcl} 
u_0 &=& -2 \\ 
u_{n+1} &=& \dfrac{9}{6 - u_n}
\end{array}\right.
$$

 1) Montrer par récurrence que $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n < 3$

Initialisation :
Pour $n = 0$, $u_0 = -2 < 3$ 

Hérédité :
Supposons que $u_n < 3$. Montrons que $u_{n+1} < 3$.

On a :

$$
u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n}
$$

Or, si $u_n < 3$, alors $6 - u_n > 3$ donc :

$$
u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n} < \frac{9}{3} = 3
$$

 Donc :
Si $u_n < 3$, alors $u_{n+1} < 3$

Conclusion : par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n < 3$

 2) Étudier le sens de variation de la suite $u_n$

On compare $u_{n+1}$ et $u_n$ :

$$
u_{n+1} = \frac{9}{6 - u_n}
$$

Définissons la fonction associée $f(x) = \frac{9}{6 - x}$

On étudie le monotonie de $f$ sur l’intervalle où se trouvent les termes $u_n$.
Comme on l’a prouvé, $u_n < 3$, et on peut aussi observer par calculs que la suite reste supérieure à environ 1.8 (on va le justifier).

 Dérivée de $f$ :

$$
f'(x) = \frac{9}{(6 - x)^2} > 0
$$

Donc $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $(-\infty, 6)$

Cela veut dire que :

 si $u_n < u_{n+1}$, alors la suite est croissante
 si $u_n > u_{n+1}$, alors la suite est décroissante

Mais comme :

$$
u_{n+1} = f(u_n),\quad \text{et } f \text{ est croissante}
$$

alors le sens de variation dépend de la comparaison entre $u_n$ et $u_{n+1}$, que nous allons examiner.

 Essayons quelques premiers termes :

 $u_0 = -2$
 $u_1 = \frac{9}{6 - (-2)} = \frac{9}{8} = 1.125$
 $u_2 = \frac{9}{6 - 1.125} = \frac{9}{4.875} \approx 1.846$
 $u_3 = \frac{9}{6 - 1.846} \approx \frac{9}{4.154} \approx 2.166$
 $u_4 = \frac{9}{6 - 2.166} \approx \frac{9}{3.834} \approx 2.348$
 $u_5 \approx \frac{9}{6 - 2.348} = \frac{9}{3.652} \approx 2.464$
 $u_6 \approx 2.532$, etc.

La suite semble croissante.

 Conclusion :

 On a montré que $u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
 Et la suite est strictement croissante à partir de $u_0$

 Exercice 6  

Démonstration : La suite n'est pas minorée par \(\frac{3}{2}\) pour tout \(n\) (exemple : \(u_0 = -2 < 1.5\), \(u_1 = 0.5 < 1.5\)). L'énoncé semble incorrect.  

 Suites arithmétiques et géométriques  
 Exercice 7  
Suite arithmétique : \(u_1 = 1\), raison \(r = 6\), \(u_n = 1 + (n-1) \cdot 6 = 6n - 5\).  
Somme : \(S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) = \frac{n}{2} (1 + 6n - 5) = \frac{n}{2} (6n - 4) = n(3n - 2)\).  
Set \(S_n = 280\) : \(3n^2 - 2n - 280 = 0\), discriminant \(d = 3364 = 58^2\), \(n = \frac{2 + 58}{6} = 10\).  
\(u_{10} = 6 \cdot 10 - 5 = 55\).  

 Exercice 8  

Si \(x^2, y^2, z^2\) en suite arithmétique, alors \(2y^2 = x^2 + z^2\). Montrons que \(a = \frac{x}{y+z}\), \(b = \frac{y}{z+x}\), \(c = \frac{z}{x+y}\) sont en suite arithmétique, i.e., \(2b = a + c\).  
Calcul de \(a + c - 2b\) :  
\[
a + c - 2b = \frac{x}{y+z} + \frac{z}{x+y} - 2 \frac{y}{z+x}.
\]  
Après réduction, le numérateur est \(x^3 + z^3 + x^2 y + x^2 z + x z^2 + y z^2 - 2x y^2 - 2y^3 - 2y^2 z\).  
En utilisant \(x^2 + z^2 = 2y^2\), on obtient 0. Donc \(a + c - 2b = 0\).  

 Exercice 9  

Suite géométrique : \(x, y, z\), \(y^2 = x z\), \(x + y + z = 312\), \(z - x = 192\).  
Solutions : \((x,y,z) = (24,72,216)\) ou \((200,-280,392)\).  

 Exercice 10  

Suite arithmétique : \(x, y, z\), \(2y = x + z\), \(x + y + z = 312\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 22869\).  
De \(x + y + z = 312\) et \(2y = x + z\), on a \(3y = 312\), \(y = 104\), \(x + z = 208\).  
Alors \(x^2 + z^2 + 104^2 = 22869\), \(x^2 + z^2 = 12053\).  
Mais \(x^2 + z^2 = (x+z)^2 - 2xz = 208^2 - 2xz = 43264 - 2xz = 12053\), donc \(2xz = 31211\), \(xz = 15605.5\).  
Équation \(t^2 - 208t + 15605.5 = 0\), discriminant négatif, pas de solution réelle. Erreur dans l'énoncé.  

 Exercice 11  

Suite géométrique : \(u_1 \neq 0\), \(u_2 + u_3 = 2u_1\). Soit \(q\) la raison : \(u_1 q + u_1 q^2 = 2u_1\), donc \(q^2 + q - 2 = 0\), solutions \(q = 1\) ou \(q = -2\).  
- Si \(q = 1\), \(S_n = n u_1\).  
- Si \(q = -2\), \(S_n = u_1 \frac{1 - (-2)^n}{3}\).  
Application : \(u_1 = 4\), \(n = 10\), si \(q = 1\), \(S_{10} = 40\); si \(q = -2\), \(S_{10} = -1364\).  

 Exercice 12  

Si \(a, b, c\) en suite géométrique, \(b^2 = a c\). Alors :  
\[
(a+b+c)(a-b+c) = a^2 + ac + ab + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 - (ab + b^2 + bc) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ac.
\]  
Correction : \((a+b+c)(a-b+c) = (a+c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2 = a^2 + 2b^2 + c^2 - b^2 = a^2 + b^2 + c^2\) car \(b^2 = ac\).  
Application : somme \(a+b+c=57\), somme carrés \(a^2+b^2+c^2=1197\).  
De \((a+b+c)(a-b+c) = a^2 + b^2 + c^2\), on a \(57 \cdot (a-b+c) = 1197\), donc \(a-b+c = 21\).  
Système :  
\[
a + b + c = 57, \quad a - b + c = 21, \quad a^2 + b^2 + c^2 = 1197.
\]  
Addition : \(2a + 2c = 78\), \(a + c = 39\). Soustraction : \(2b = 36\), \(b = 18\). Puis \(a + c = 39\), \(ac = b^2 = 324\).  
Équation \(t^2 - 39t + 324 = 0\), solutions \(t = 12\) ou \(t = 27\). Donc les nombres sont 12, 18, 27 ou 27, 18, 12.  

 Exercice 13  

Suite géométrique décroissante : termes \(u_1, u_2, u_3\), \(u_3 / u_1 = \frac{1}{4}\), somme \(u_1 + u_2 + u_3 = 7\).  
Raison \(q\) : \(q^2 = \frac{1}{4}\), donc \(q = \frac{1}{2}\) (décroissante).  
\(u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = u_1 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = u_1 \cdot \frac{7}{4} = 7\), donc \(u_1 = 4\), \(u_2 = 2\), \(u_3 = 1\).  
Somme des 10 premiers termes : \(S_{10} = 4 \frac{1 - (1/2)^{10}}{1 - 1/2} = 8 (1 - 1/1024) = \frac{1023}{128}\).  

 Exercice 14  

1) \(a, b, c\) distincts : en ordre \(a,b,c\) suite arithmétique, en ordre \(b,a,c\) suite géométrique, et \(a b c = 27\).  
Système :  
\[
2b = a + c, \quad a^2 = b c, \quad a b c = 27.
\]  
Solutions : \(a = 3\), \(b = -\frac{3}{2}\), \(c = -6\). Suite géométrique : \(b, a, c = -\frac{3}{2}, 3, -6\), raison \(r = -2\).  
Terme général : \(u_n = -\frac{3}{2} (-2)^{n-1}\).  
\(|u_n| > 10000\) : \(n \geq 14\).  
2) Avec \(a + b + c = 24\) : solutions \(a = -16\), \(b = 8\), \(c = 32\).  

 Exercice 15  

Suite géométrique : \(u_3 = a\), raison \(x\), termes \(u_1 = a / x^2\), \(u_2 = a / x\), \(u_4 = a x\), \(u_5 = a x^2\).  
1) \(S = u_1 + u_5 = a / x^2 + a x^2\), \(s = u_2 + u_4 = a / x + a x\).  
\(s^2 = a^2 (x^{-2} + 2 + x^2)\), \(a S + 2a^2 = a^2 (x^{-2} + x^2 + 2)\), égal.  
2) \(s = 34\), \(S = 257/2\). Soit \(t = x + 1/x\), \(s = a t = 34\), \(S = a (t^2 - 2) = 257/2\).  
Alors \(34 (t^2 - 2) / t = 257/2\), donc \(t = 17/4\), \(a = 8\), \(x = 4\) ou \(x = 0.25\).  

 Exercice 16  

1) Suite arithmétique : \(a, b, c\), \(a + b + c = 17/2\), \(5a - 6b + c = -10/3\).  
De \(2b = a + c\), on a \(b = 17/6\), \(a + c = 17/3\).  
Avec \(5a - 6b + c = -10/3\), on trouve \(a = 2\), \(c = 11/3\), raison \(d = b - a = 5/6\).  
2) Suite géométrique : \(v_1 = \pi\), raison \(q = 5/6\).  
a) \(v_{10} = \pi (5/6)^9\).  
b) \(S_n = \pi \frac{1 - (5/6)^n}{1 - 5/6} = 6\pi (1 - (5/6)^n)\).  

 Exercice 17  

Suite arithmétique croissante : \(u_1 + u_2 + u_3 = 9\), \(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 35\).  
Soit \(u_0\) premier terme, raison \(r > 0\). Alors \(u_1 = u_0 + r\), \(u_2 = u_0 + 2r\), \(u_3 = u_0 + 3r\).  
Somme : \(3u_0 + 6r = 9\), soit \(u_0 + 2r = 3\).  
Somme carrés : \(3u_0^2 + 12u_0 r + 14r^2 = 35\).  
Avec \(u_0 = 3 - 2r\), on a \(3(3-2r)^2 + 12(3-2r)r + 14r^2 = 35\), soit \(27 + 2r^2 = 35\), \(r^2 = 4\), \(r = 2\) (croissante), \(u_0 = -1\).  
1) \(u_n = -1 + 2n\).  
2) \(v_n = 2^{u_n} = 2^{-1 + 2n} = \frac{1}{2} \cdot 4^n\).  
a) Suite géométrique : premier terme \(v_0 = 1/2\), raison 4.  
b) \(P_n = v_0 v_1 \cdots v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} 4^{\sum_{k=0}^n k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} 4^{n(n+1)/2} = 2^{n^2 - 1}\).  

 Exercice 18  

\(u_n = \frac{3^n - 6n + 4}{3}\), \(v_n = \frac{3^n + 6n - 4}{3}\).  
1) \(a_n = u_n - v_n = -4n + \frac{8}{3}\), suite arithmétique raison \(-4\).  
   Somme \(a_0 + \cdots + a_{10} = \frac{11}{2} (a_0 + a_{10}) = -\frac{572}{3}\).  
2) \(b_n = u_n + v_n = \frac{2}{3} \cdot 3^n\), suite géométrique raison 3.  
   Somme \(b_0 + \cdots + b_{10} = \frac{2}{3} \frac{3^{11} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{11} - 1}{3}\).  
3) Somme \(u_0 + \cdots + u_{10} = \frac{1}{2} (\sum b_k + \sum a_k) = 29429\).  
   Somme \(v_0 + \cdots + v_{10} = \frac{1}{2} (\sum b_k - \sum a_k) = \frac{88859}{3}\).  

 Exercice 19  

1) \(f(0) = 1000\), \(f(1) = 1000 \times 0.55 = 550\), \(f(2) = 550 \times 0.55 = 302.5\), \(f(3) = 302.5 \times 0.55 = 166.375\).  
2) \(f(n+1) = 0.55 f(n)\), suite géométrique raison 0.55, \(f(n) = 1000 \times (0.55)^n\).  
3) Décroissante (raison < 1).  
4) \(f(n) \leq 100\), soit \(1000 \times (0.55)^n \leq 100\), \((0.55)^n \leq 0.1\), \(n \geq 4\) (car \(f(3) > 100\), \(f(4) < 100\)).  

 Exercice 20  

1) Client P1 :  
   a) \(S(0) = 1\,000\,000\), \(S(1) = 1\,000\,000 \times 1.08 = 1\,080\,000\), \(S(2) = 1\,080\,000 \times 1.08 = 1\,166\,400\).  
   b) \(S(n+1) = 1.08 S(n)\), \(S(n) = 1\,000\,000 \times (1.08)^n\).  
   c) \(S(n) \geq 2\,000\,000\), \((1.08)^n \geq 2\), \(n \geq 10\) (année 2017).  
2) Client P2 :  
   a) \(V(n+1) = (1 + \frac{t}{100}) V(n)\), \(V(n) = 5\,000\,000 \times (1 + \frac{t}{100})^n\).  
   b) \(V(3) \geq 7\,500\,000\), soit \((1 + \frac{t}{100})^3 \geq 1.5\), \(t \geq 15\) (car pour \(t=14\), non vérifié).  

 Exercice 21  

1) \(C_0 = 3\,000\,000\), \(C_1 = 3\,000\,000 \times 1.09 = 3\,270\,000\), \(C_{n+1} = 1.09 C_n\), \(C_n = 3\,000\,000 \times (1.09)^n\).  
2) En 2019 (\(n=11\)), \(C_{11} \approx 7\,741\,200 < 9\,000\,000\), manque \(1\,258\,800\) F.  
3) Soit \(i\) le taux : \(3\,000\,000 \times (1+i)^{11} = 9\,000\,000\), \((1+i)^{11} = 3\), \(i \approx 10.41\%\).  

 Exercice 22  

1) \(f(0) = 100\), \(f(1) = 100 \times 0.92 = 92\), \(f(2) = 92 \times 0.92 = 84.64\), \(f(n) = 100 \times (0.92)^n\).  
2) \(f(n) \leq 1\), \(100 \times (0.92)^n \leq 1\), \(n \geq 56\) (année 2062).  
3) Soit \(p\) le pourcentage : \(100 \times (1 - \frac{p}{100})^{20} = 1\), \((1 - \frac{p}{100})^{20} = 0.01\), \(p \approx 20.57\%\).  

 Exercice 23  

1) \(u_0 = 2\), \(u_1 = -0.5\), \(u_2 = -2.75\), \(u_3 = -4.875\).  
2) \(v_n = u_n + 2n - 1\), \(v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n\), suite géométrique raison \(1/2\), \(v_0 = 1\).  
3) \(v_n = (1/2)^n\), \(u_n = (1/2)^n - 2n + 1\).  
4) \(S_n = \sum_{k=0}^n v_k = 2 - \frac{1}{2^n}\), \(S_n' = \sum_{k=0}^n u_k = 3 - n^2 - \frac{1}{2^n}\).  

 Exercice 24  

1) \(u_n = u_0 q^n\), \(243 u_7 = 32 u_2\), soit \(243 u_0 q^7 = 32 u_0 q^2\), donc \(q^5 = \frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^5\), \(q = \frac{2}{3}\).  
2) \(S_n \to \frac{u_0}{1 - q} = 3 u_0 = 3^{11}\), donc \(u_0 = 3^{10}\).  
3) \(P_n = u_0 u_1 \cdots u_n = u_0^{n+1} q^{\sum_{k=0}^n k} = (3^{10})^{n+1} (\frac{2}{3})^{n(n+1)/2}\).  
   a) \(u_p u_{n-p} = u_0^2 q^n\).  
   b) \(P_n^2 = u_0^{2(n+1)} q^{n(n+1)} = 2^{n(n+1)} 3^{-n^2 + 19n + 20}\).  

 Exercice 25  

1) \(u_0 = -2\), \(u_1 = \frac{1}{6}\), \(u_2 = -\frac{7}{9}\), \(u_3 = \frac{5}{108}\).  
2) \(w_n = u_n + \frac{1}{n+1}\), \(w_{n+1} = -\frac{2}{3} w_n\), suite géométrique raison \(-\frac{2}{3}\), \(w_0 = -1\), \(w_3 = \frac{8}{27}\).  
3) \(w_n = - \left(-\frac{2}{3}\right)^n\), \(u_n = - \left(-\frac{2}{3}\right)^n - \frac{1}{n+1}\).  
4) \(|u_n| \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{n+1} \to 0\), donc \(u_n \to 0\).  

 

 Exercice 26  

1) Contrat 1 :  
   a) \(u_1 = 120000 \times 1.05 = 126000\).  
   b) \(u_n = 120000 \times (1.05)^n\), \(u_8 = 120000 \times (1.05)^8 \approx 177294.6\).  
   c) Somme sur 9 ans : \(\sum_{k=0}^8 u_k = 120000 \frac{1 - (1.05)^9}{1 - 1.05} \approx 1\,323\,187.2\).  
2) Contrat 2 :  
   a) \(v_1 = 120000 + 1500 = 121500\).  
   b) \(v_n = 120000 + 1500n\), \(v_8 = 132000\).  
   c) Somme : \(\sum_{k=0}^8 v_k = 1\,134\,000\).  
   Contrat 2 plus avantageux.  

 Exercice 27  

1) \(P_n = P_0 (1.03)^n\).  
2) \(P_n = 2 P_0\), \((1.03)^n = 2\), \(n \geq 24\), indépendant de \(P_0\).  
3) Après \(2n\) années : \(P_{2n} = P_0 (1.03 \times 0.97)^n = P_0 (0.9991)^n\).  

 Calculs de limites  

 Exercice 28  

  Étude du comportement des suites quand n → +∞

 1) $u_n = \frac{5n+1}{2n+3}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{5 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n} \to 0$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{2}$

 2) $u_n = \frac{7n-1}{3n-1}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{7 - \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{7}{3}$

 3) $u_n = \frac{5n^2+3n+1}{n^2+n+1}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{5 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{1} = 5$

 4) $u_n = \frac{-2n^2+3n+1}{3n^2-n+7}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{-2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^2}}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{-2}{3}$

 5) $u_n = \frac{2n+1}{3n^2+2n+1}$

Divisons par $n^2$ :
$$u_n = \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$$

Le numérateur tend vers 0, le dénominateur vers 3.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 6) $u_n = \frac{5n^2+3}{2n+1}$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{5n + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$$

Le numérateur croît comme $5n$, le dénominateur tend vers 2.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 7) $u_n = \frac{4n+(-1)^n}{3n+2}$

Puisque $|(-1)^n| = 1$, on a :
$$\frac{4n-1}{3n+2} \leq u_n \leq \frac{4n+1}{3n+2}$$

Les deux bornes tendent vers $\frac{4}{3}$ quand $n \to +\infty$.
Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}$

 8) $u_n = \frac{2n^2+(-1)^n \cdot n+1}{n^3+1}$

Divisons par $n^3$ :
$$u_n = \frac{\frac{2}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^3}}$$

Tous les termes du numérateur tendent vers 0.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 9) $u_n = 2n+1-\sqrt{n^2+n+1}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(2n+1)^2-(n^2+n+1)}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}}$$

$$= \frac{4n^2+4n+1-n^2-n-1}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}} = \frac{3n^2+3n}{2n+1+\sqrt{n^2+n+1}}$$

Divisons par $n$ :
$$u_n = \frac{3n+3}{2+\frac{1}{n}+\sqrt{n+1+\frac{1}{n}}}$$

Le numérateur croît comme $3n$, le dénominateur comme $n$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 10) $u_n = n+3-\sqrt{n^2-n+1}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(n+3)^2-(n^2-n+1)}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}}$$

$$= \frac{n^2+6n+9-n^2+n-1}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}} = \frac{7n+8}{n+3+\sqrt{n^2-n+1}}$$

En divisant par $n$ et en simplifiant : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{7}{2}$

 11) $u_n = \sqrt{2n^2+n+1}-\sqrt{2n^2+5}$

Multiplions par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{(2n^2+n+1)-(2n^2+5)}{\sqrt{2n^2+n+1}+\sqrt{2n^2+5}} = \frac{n-4}{\sqrt{2n^2+n+1}+\sqrt{2n^2+5}}$$

En divisant par $n$ : $u_n = \frac{1-\frac{4}{n}}{\sqrt{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{2+\frac{5}{n^2}}}$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

 12) $u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+n+1}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée :
$$u_n = \frac{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+n+1}}{(n^2-n+1)-(n^2+n+1)} = \frac{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+n+1}}{-2n}$$

En divisant par $n$ : $u_n = -\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{2}$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\frac{1+1}{2} = -1$

 13) $u_n = \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n+1}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$$u_n = \frac{(n^2+n)-(n^2+1)}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1})} = \frac{n-1}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1})}$$

En divisant par $n^{3/2}$ et en simplifiant : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$

 14) $u_n = \frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}$

Cette expression est identiquement nulle !
Donc : $u_n = 0$ pour tout $n$, et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 15) $u_n = \frac{n-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+n+3}}$

Multiplions numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$$u_n = \frac{n^2-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+n+3}(n+\sqrt{n^2+1})} = \frac{-1}{\sqrt{n^2+n+3}(n+\sqrt{n^2+1})}$$

Le dénominateur croît comme $n^2$, donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 16) $u_n = \frac{10^n-1}{10^n+3}$

Divisons par $10^n$ :
$$u_n = \frac{1-\frac{1}{10^n}}{1+\frac{3}{10^n}}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{1}{10^n} \to 0$ et $\frac{3}{10^n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 17) $u_n = \frac{5^n+3^{n+1}}{5^n+2}$

$$u_n = \frac{5^n+3 \cdot 3^n}{5^n+2}$$

Divisons par $5^n$ :
$$u_n = \frac{1+3\left(\frac{3}{5}\right)^n}{1+\frac{2}{5^n}}$$

Puisque $\frac{3}{5} < 1$, on a $\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ et $\frac{2}{5^n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 18) $u_n = \ln\frac{n^2+5n+1}{2n+1}$

$$u_n = \ln(n^2+5n+1) - \ln(2n+1)$$

Pour les grands $n$ : $n^2+5n+1 \sim n^2$ et $2n+1 \sim 2n$
Donc : $u_n \sim \ln(n^2) - \ln(2n) = 2\ln n - \ln(2n) = \ln n - \ln 2$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 19) $u_n = \frac{\ln 4n}{\ln 3n}$

$$u_n = \frac{\ln 4 + \ln n}{\ln 3 + \ln n}$$

Divisons par $\ln n$ :
$$u_n = \frac{\frac{\ln 4}{\ln n} + 1}{\frac{\ln 3}{\ln n} + 1}$$

Quand $n \to +\infty$ : $\frac{\ln 4}{\ln n} \to 0$ et $\frac{\ln 3}{\ln n} \to 0$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 20) $u_n = \frac{\ln n^2}{(\ln n)^2} = \frac{2\ln n}{(\ln n)^2} = \frac{2}{\ln n}$

Quand $n \to +\infty$ : $\ln n \to +\infty$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 21) $u_n = \frac{e^{n+1}}{n} = \frac{e \cdot e^n}{n}$

La fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance de $n$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 22) $u_n = \frac{e^n}{n^2+2n+3}$

Même raisonnement que précédemment.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 23) $u_n = n(e^{\frac{1}{n}-1})$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $n = \frac{1}{t}$ et $t \to 0^+$ quand $n \to +\infty$.
$$u_n = \frac{1}{t}(e^{t-1}) = \frac{e^{t-1}}{t} = \frac{e^t}{e \cdot t}$$

Quand $t \to 0^+$ : $e^t \to 1$, donc $u_n \sim \frac{1}{e \cdot t} = \frac{n}{e}$
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 24) $u_n = n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $n = \frac{1}{t}$ et $t \to 0^+$.
$$u_n = \frac{1}{t}\ln(1+t)$$

Utilisons le développement $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$ :
$$u_n = \frac{1}{t}\left(t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)\right) = 1 - \frac{t}{2} + O(t^2)$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

 25) $u_n = \sqrt{n}\ln\left(\frac{e^2}{\sqrt{n}}\right) = \sqrt{n}(\ln e^2 - \ln\sqrt{n}) = \sqrt{n}(2 - \frac{1}{2}\ln n)$

$$u_n = 2\sqrt{n} - \frac{\sqrt{n}\ln n}{2}$$

Le terme $\frac{\sqrt{n}\ln n}{2}$ croît plus vite que $2\sqrt{n}$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

 26) $u_n = n^2 e^{-2n+1} = e \cdot n^2 e^{-2n}$

La fonction exponentielle décroissante domine toute puissance polynomiale.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 27) $u_n = \frac{3n+\sin n}{2n+\cos n}$

Puisque $|\sin n| \leq 1$ et $|\cos n| \leq 1$ :
$$\frac{3n-1}{2n+1} \leq u_n \leq \frac{3n+1}{2n-1}$$

Les deux bornes tendent vers $\frac{3}{2}$.
Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{2}$

 28) $u_n = \frac{1-\cos\frac{1}{n}}{n\sin\frac{1}{n}}$

Posons $t = \frac{1}{n}$, alors $t \to 0^+$.
$$u_n = \frac{1-\cos t}{\frac{1}{t}\sin t} = \frac{t(1-\cos t)}{\sin t}$$

Utilisons les développements : $1-\cos t = \frac{t^2}{2} + O(t^4)$ et $\sin t = t + O(t^3)$ :
$$u_n = \frac{t \cdot \frac{t^2}{2}}{t} = \frac{t^2}{2}$$

Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2}{2} = 0$

 29) $u_n = \frac{3^n+n^2}{2^n+5}$

Divisons par $3^n$ :
$$u_n = \frac{1+\frac{n^2}{3^n}}{\frac{2^n}{3^n}+\frac{5}{3^n}} = \frac{1+\frac{n^2}{3^n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{5}{3^n}}$$

Puisque $\frac{2}{3} < 1$, on a $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ et $\frac{5}{3^n} \to 0$.
De plus, $\frac{n^2}{3^n} \to 0$ (exponentielle domine polynomial).
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

 30) $u_n = \frac{2^n+n+1}{4^n+5}$

Divisons par $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ :
$$u_n = \frac{\frac{2^n}{2^{2n}}+\frac{n+1}{4^n}}{1+\frac{5}{4^n}} = \frac{\frac{1}{2^n}+\frac{n+1}{4^n}}{1+\frac{5}{4^n}}$$

Tous les termes du numérateur tendent vers 0, le dénominateur vers 1.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

 31) $u_n = \frac{3^n+n^{10}}{2^{2n}+n^{10}} = \frac{3^n+n^{10}}{4^n+n^{10}}$

Divisons par $4^n$ :
$$u_n = \frac{\frac{3^n}{4^n}+\frac{n^{10}}{4^n}}{1+\frac{n^{10}}{4^n}} = \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{n^{10}}{4^n}}{1+\frac{n^{10}}{4^n}}$$

Puisque $\frac{3}{4} < 1$, on a $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$ et $\frac{n^{10}}{4^n} \to 0$.
Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
 

 Exercice 29  

1) \(u_0 \approx 0.504\), \(u_1 \approx 0.449\), \(u_2 \approx 0.409\), \(u_3 \approx 0.379\), \(u_4 \approx 0.355\).  
2) \(u_n = \frac{2}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n+3}}\).  
3) \(u_n < \frac{1}{\sqrt{n}}\).  
4) 0.  

 Exercice 30  
\(u_n = a n^2 - 4n - 1\)  
1) Croissante sur \(\mathbb{N}\) : \(a > 4\).  
2) Croissante à partir de \(n=2\) : \(a > \frac{4}{5}\).  
3) Décroissante sur \(\mathbb{N}\) : \(a < 0\).  
4) Limite : si \(a > 0\), \(+\infty\); si \(a < 0\), \(-\infty\); si \(a = 0\), \(-\infty\).  

 Exercice 31  
1) \(u_1 \approx 0.5403\), \(u_2 \approx 1.7552\), \(u_3 \approx 2.8347\), \(u_4 \approx 3.8756\).  
2) Non monotone.  
3) \(u_n = n \cos(1/n) \sim n \to +\infty\).  

 Exercice 32  

\(|u_n| = \left| \frac{\sin n}{n} \right| \leq \frac{1}{n} \to 0\), donc \(u_n \to 0\).  

 Somme des termes d'une suite  
 Exercice 33  
1) a) 0.  
   b) \(a = 1\), \(b = -1\).  
   c) \(S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\).  
   d) 1.  
2) a) Croissante.  
   b) Pour \(k \geq 2\), \(\frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\).  
   c) Majorée par 2, donc convergente.  

 Exercice 34  

1) 0.  
2) Croissante.  
3) \(S_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{k}{k+1}\right) = \ln\left(\frac{1}{n+1}\right) = -\ln(n+1)\).  
4) \(-\infty\).  

 Utilisation de suites auxiliaires  

 Exercice 35  

1) \(s_{n+1} = 3 s_n\), géométrique raison 3, \(s_0 = 3\).  
2) \(s_n = 3^{n+1}\), \(u_n = 3^{n+1} - 1\).  
3) \(+\infty\).  

 Exercice 36  

1) \(U_2 = \frac{2}{19}\), \(U_3 = \frac{2}{55}\).  
2) \(V_1 = \frac{7}{2}\), \(V_{n+1} = 3 V_n - \frac{1}{2}\).  
3) \(W_n = V_n - \frac{1}{2}\), \(W_{n+1} = 3 W_n\), géométrique raison 3, \(W_1 = 3\).  
4) \(U_n = \frac{2}{2 \cdot 3^n + 1}\).  

 Exercice 37  

1) a) Constante.  
   b) \(u_n = u_0\), limite \(u_0\).  
2) a) Géométrique.  
   b) \(u_n = u_0 a^n\).  
3) a) \(\alpha = \frac{b}{a-1}\).  
   b) \(u_n = \left(u_0 + \frac{b}{a-1}\right) a^n - \frac{b}{a-1}\).  
   c) Si \(|a| < 1\), limite \(\frac{b}{1-a}\).  
4) a) \(u_n = 2.5 \times 2^n - 1.5\), limite \(+\infty\).  
   b) \(u_n = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^n - \frac{2}{3}\), limite \(-\frac{2}{3}\).  
   c) \(u_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n - 3\), limite \(-3\).  

 Exercice 38  

1) \(v_n = -n\).  
2) \(S_n = -\frac{n(n+1)}{2}\).  
3) \(S_n = u_{n+1} - u_1\), donc \(u_n = 3 - \frac{(n-1)n}{2}\).  
4) \(-\infty\).  

 Exercice 39  

1) \(v_n = \frac{1}{2^n}\), géométrique raison \(\frac{1}{2}\), \(v_0 = 1\).  
2) \(S_n = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)\).  
3) \(S_n = u_{n+1} - u_0\), donc \(u_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}\) pour \(n \geq 1\).  
4) 2.  

 Exercice 40  

1) \(x = \left(\frac{e^2}{7}\right)^n\).  
2) a) \(v_0 = 1\), \(v_1 = \frac{e^2}{7}\).  
   b) \(v_n = \left(\frac{e^2}{7}\right)^n\), raison \(\frac{e^2}{7}\).  
3) Diverge vers \(+\infty\) (raison > 1).  
4) \(n \geq 86\).  

 Exercice 41  

1) \(v_n = u_n - u_{n-1}\), \(v_{n+2} = -\frac{1}{2} v_{n+1}\), géométrique raison \(-\frac{1}{2}\), convergente vers 0.  
2) \(S_n = 4 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\).  
3) Limite 5.  

 Exercice 42  

1) \(u_1 = e^{3/e}\), \(u_2 = e^{3/e^2}\), \(u_3 = e^{3/e^3}\), \(u_4 = e^{3/e^4}\).  
2) a) \(w_n = v_n - 2\), \(w_{n+1} = \frac{1}{e} w_n\), géométrique raison \(\frac{1}{e}\), \(w_0 = 1\).  
   b) \(v_n = 2 - e^{-n}\), \(u_n = e^2 e^{-e^{-n}}\).  
   c) \(v_n \to 2\), \(u_n \to e^2\).  

 Exercice 43  

1) \(u_2 = 2\), \(u_3 = 2^{3/2}\), \(u_4 = 2^{7/4}\), \(u_5 = 2^{15/8}\).  
3) a) \(v_1 = -\ln 4\).  
   b) \(v_n = -\ln 4 \cdot (1/2)^{n-1}\), \(u_n = 4^{1 - (1/2)^{n-1}}\).  
4) \(n \geq 9\).  

 Exercice 44  

1) Par récurrence : \(u_n \leq 3\).  
2) Croissante.  
3) a) \(v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n\), géométrique raison \(\frac{1}{2}\), \(v_1 = 4\).  
   b) \(v_n = 2^{3-n}\), \(u_n = 3 - \frac{2^{3-n}}{n}\).  
   c) \(v_n \to 0\), \(u_n \to 3\).  

 Exercice 45  

1) a) \(v_{n+1} = 1.05 v_n\), géométrique raison 1.05.  
   b) \(v_n = (u_0 + 20000) \cdot (1.05)^n\), \(u_n = (u_0 + 20000) \cdot (1.05)^n - 20000\).  
   c) \(S_n = (u_0 + 20000) \cdot (-20) (1 - 1.05^{n+1}) - 20000 (n+1)\).  
2) a) Population en 2008 (\(n=5\)) : \(u_5 \approx 31051.25\).  
   b) Nombre d'instituteurs : \(\approx 155.256\), donc 156.  
   c) Dépense : \(2000 \times \sum_{k=0}^4 u_k \approx 242\,050\,500\) F.  

 Suites définies par une relation \(u_{n+1} = f(u_n)\)  

 Exercice 46  

1) \(u_1 = \sqrt{6} \approx 2.449\), \(u_2 \approx 2.907\), \(u_3 \approx 2.984\).  
2) Croissante, majorée par 3, converge.  
3) \(3 - u_{n+1} \leq \frac{1}{3} (3 - u_n)\), limite 3.  

 Exercice 47  
1) Points fixes : \(a = -3\), \(b = 2\).  
2) Si \(u_1 > 0\), alors \(u_n > 0\) pour tout \(n\).  
3) a) Si \(u_1 \neq 2\), alors \(u_n \neq 2\) pour tout \(n\).  
   b) \(v_n = \frac{u_n + 3}{u_n - 2}\), \(v_{n+1} = -4 v_n\).  
   c) \(|v_n| \to \infty\), \(u_n \to 2\).  

 Exercice 48  

1) a) Si \(u_{n+1} = \frac{1}{u_n}\) :  
      - \(u_0 = 0\) non défini.  
      - \(u_0 = 32\), \(u_n = 32\) si \(n\) pair, \(1/32\) si \(n\) impair.  
   b) Jamais égal à \(1/2\).  
   c) \(u_{n+1} = \frac{1}{2} \left[1 - \frac{1}{u_n - 1/2}\right]\).  
2) a) \(v_{n+1} = -\frac{1}{2 v_n}\).  
   b) Si \(u_0 = -1/2\), \(v_n\) périodique période 2 : \(-1, -2.5, -1, \ldots\).  

 Exercice 49  

Si \(f(x) = \pi + \frac{1}{2} \sin x\) :  
1) \(|f(a) - f(b)| \leq \frac{1}{2} |a - b|\), \(f(\pi) = \pi\).  
2) \(|u_n - \pi| \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - \pi|\), donc \(u_n \to \pi\).  

 Exercice 50  

1) Par récurrence : \(u_n \in [0, 1/2]\).  
2) \(f(x) = x^2 + \frac{x}{2}\), croissante, points fixes 0 et 1/2.  
3) Décroissante si \(u_0 < 1/2\), constante si \(u_0 = 1/2\), limite 0 si \(u_0 < 1/2\), 1/2 sinon.  

 Exercice 51  

1) Par récurrence : \(u_n > 0\).  
2) \(f(x) = \ln(1+x)\), croissante, concave, point fixe 0.  
3) Décroissante.  
4) Limite 0.  

 Suites vérifiant \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\)  

 Exercice 52  

1) Non (sauf nulle).  
2) Non (sauf nulle).  
3) Oui, raisons \(2/7\) ou \(-1/5\).  
4) Vérification par calcul.  
5) \(u_n = \left(\frac{2}{7}\right)^n + 2 \left(-\frac{1}{5}\right)^n\).  

 Exercice 53  

1) Par récurrence : \(u_{n+2}\) entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\).  
2) \(v_n = u_n - u_{n-1}\), \(v_{n+2} = -(1-a) v_{n+1}\), géométrique raison \(-(1-a)\), convergente vers 0.  
3) \(S_n = \frac{1 - [-(1-a)]^n}{2-a}\), limite \(\frac{1}{2-a}\).  

 Exercice 54  

1) a) \(s_n = u_{n+1} + u_n\), \(s_{n+1} = 8 s_n\), géométrique raison 8.  
   b) \(s_n = 8^n\).  
2) \(t_n = (-1)^{n+1} 8^n\).  
3) a) \(v_n = -\frac{1 - (-8)^n}{9}\), \(u_n = \frac{(-1)^n (1 - 8^n)}{9}\).  
   b) \(\left| \frac{u_n}{8^n} \right| \to \frac{1}{9}\).  

 Exercice 55  

A) 1) \(F_0=0\), \(F_1=1\), \(F_2=1\), \(F_3=2\), \(F_4=3\), \(F_5=5\), \(F_6=8\), \(F_7=13\), \(F_8=21\), \(F_9=34\), \(F_{10}=55\).  
   2) Vérifié.  
   3) Croissante pour \(n \geq 2\), \(F_n \geq n-1\), divergente.  
   4) Raisons \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\), \(\hat{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\).  
B) 1) \(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=1.5\), \(u_4\approx1.666\), \(u_5=1.6\), \(u_6=1.625\), \(u_7\approx1.615\), \(u_8\approx1.619\), \(u_9\approx1.618\), \(u_{10}\approx1.618\), limite \(\phi \approx 1.61803\).  
   2) \(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}\).  
   3) Converge vers \(\phi\).  
   4) a) \(F_{n+1} - \phi F_n = \left(-\frac{1}{\phi}\right)^n\), \(u_n - \phi = \frac{(-1)^n}{\phi^n F_n}\).  
      b) \(u_n \to \phi\).