Solutions Serie d'exercices : Système d'équation et inéquation du 1er degré à deux inconnues - 2nd L
Exercice 1 : Méthode de substitution
Système \( S_1 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y + 7 &=& 0 \\
3x + y - 7 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Isoler \( y \) dans la première équation :
\[
x - y + 7 = 0 \implies y = x + 7
\]
2. Substituer \( y \) dans la deuxième équation :
\[
3x + (x + 7) - 7 = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0
\]
3. Trouver \( y \) :
\[
y = 0 + 7 = 7
\]
Solution : \( (x, y) = (0, 7) \)
Système \( S_2 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y - 2 &=& 0 \\
2x + y + 5 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Isoler \( y \) dans la première équation :
\[
x - y - 2 = 0 \implies y = x - 2
\]
2. Substituer \( y \) dans la deuxième équation :
\[
2x + (x - 2) + 5 = 0 \implies 3x + 3 = 0 \implies x = -1
\]
3. Trouver \( y \) :
\[
y = -1 - 2 = -3
\]
Solution : \( (x, y) = (-1, -3) \)
Système \( S_3 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
2x + 5y - 16 &=& 0 \\
3x + 3y - 15 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Simplifier la deuxième équation :
\[
3x + 3y - 15 = 0 \implies x + y = 5 \implies y = 5 - x
\]
2. Substituer \( y \) dans la première équation :
\[
2x + 5(5 - x) - 16 = 0 \implies 2x + 25 - 5x - 16 = 0 \implies -3x + 9 = 0 \implies x = 3
\]
3. Trouver \( y \) :
\[
y = 5 - 3 = 2
\]
Solution : \( (x, y) = (3, 2) \)
Système \( S_4 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
-\dfrac{1}{3}x + y - 1 &=& 0 \\
2x - \dfrac{1}{4}y + 7 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Isoler \( y \) dans la première équation :
\[
-\dfrac{1}{3}x + y - 1 = 0 \implies y = \dfrac{1}{3}x + 1
\]
2. Substituer \( y \) dans la deuxième équation :
\[
2x - \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right) + 7 = 0 \implies 2x - \dfrac{1}{12}x - \dfrac{1}{4} + 7 = 0
\]
\[
\dfrac{24}{12}x - \dfrac{1}{12}x = \dfrac{1}{4} - 7 \implies \dfrac{23}{12}x = -\dfrac{27}{4} \implies x = -\dfrac{27}{4} \times \dfrac{12}{23} = -\dfrac{81}{23}
\]
3. Trouver \( y \) :
\[
y = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{81}{23}\right) + 1 = -\dfrac{27}{23} + \dfrac{23}{23} = -\dfrac{4}{23}
\]
Solution : \( (x, y) = \left(-\dfrac{81}{23}, -\dfrac{4}{23}\right) \)
Exercice 2 : Méthode d'addition
Partie a.
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x + 3y &=& 1 \\
2x + y &=& 4
\end{array}\right.
\]
1. Multiplier la première équation par 2 :
\[
2x + 6y = 2
\]
2. Soustraire la deuxième équation :
\[
(2x + 6y) - (2x + y) = 2 - 4 \implies 5y = -2 \implies y = -\dfrac{2}{5}
\]
3. Trouver \( x \) :
\[
x + 3\left(-\dfrac{2}{5}\right) = 1 \implies x = 1 + \dfrac{6}{5} = \dfrac{11}{5}
\]
Solution : \( (x, y) = \left(\dfrac{11}{5}, -\dfrac{2}{5}\right) \)
Partie b.
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
2x + 3y - 1 &=& 0 \\
-3x + 2y + 5 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Réécrire le système :
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
2x + 3y &=& 1 \\
-3x + 2y &=& -5
\end{array}\right.
\]
2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
\[
6x + 9y = 3 \\
-6x + 4y = -10
\]
3. Additionner les deux équations :
\[
13y = -7 \implies y = -\dfrac{7}{13}
\]
4. Trouver \( x \) :
\[
2x + 3\left(-\dfrac{7}{13}\right) = 1 \implies 2x = 1 + \dfrac{21}{13} = \dfrac{34}{13} \implies x = \dfrac{17}{13}
\]
Solution : \( (x, y) = \left(\dfrac{17}{13}, -\dfrac{7}{13}\right) \)
Partie c.
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
3x + 10y &=& 58 \\
10x + 3y &=& 72
\end{array}\right.
\]
1. Multiplier la première équation par 10 et la deuxième par 3 :
\[
30x + 100y = 580 \\
30x + 9y = 216
\]
2. Soustraire la deuxième équation de la première :
\[
91y = 364 \implies y = 4
\]
3. Trouver \( x \) :
\[
3x + 10(4) = 58 \implies 3x = 18 \implies x = 6
\]
Solution : \( (x, y) = (6, 4) \)
Partie d.
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}y &=& 1 \\
-x + \dfrac{2}{3}y &=& \dfrac{2}{3}
\end{array}\right.
\]
1. Éliminer les fractions en multipliant par 6 et 3 respectivement :
\[
2x - 3y = 6 \\
-3x + 2y = 2
\]
2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
\[
6x - 9y = 18 \\
-6x + 4y = 4
\]
3. Additionner les deux équations :
\[
-5y = 22 \implies y = -\dfrac{22}{5}
\]
4. Trouver \( x \) :
\[
2x - 3\left(-\dfrac{22}{5}\right) = 6 \implies 2x = 6 - \dfrac{66}{5} = -\dfrac{36}{5} \implies x = -\dfrac{18}{5}
\]
Solution : \( (x, y) = \left(-\dfrac{18}{5}, -\dfrac{22}{5}\right) \)
Exercice 3 : Méthode graphique
Système \( S_1 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y + 3 &=& 0 \\
2x - y + 2 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Trouver les points d :
- L'équation \( x - y + 3 = 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( y = 3 \) et \( y = 2 \), \( y = 0 \), \( x = -3 \) ).
La droite passe par les points $A(0,3)$ et $B(-3,0)$
- L'équation \( 2x - y + 2 = 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( y = 2 \) et\( y = 0 \), \( x = -1 \).
La droite passe par les points $C(0,2)$ et $D(-1,0)$
3. Représentation graphique
2. Solution graphique : Les droites se coupent en \( (1, 4) \).
Solution : \( (x, y) = (1, 4) \)
Système \( S_2 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
2x - y - 4 &=& 0 \\
2x - y + 2 &=& 0
\end{array}\right.
\]
-Représentation graphique
- Analyse : Les deux équations représentent des droites parallèles (même coefficient directeur).
Solution : Aucune solution (système incompatible).
Système \( S_3 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y + 3 &=& 0 \\
2x - 2y + 6 &=& 0
\end{array}\right.
\]
- Analyse : La deuxième équation est un multiple de la première.
Solution : Infinité de solutions (droites confondues).
Système \( S_4 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y - 1 &=& 0 \\
2x - y + 2 &=& 0 \\
-x + 3y + 9 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Résolution graphique
- L'équation \( x - y - 1 = 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( y = -1 \) et \( y = 0 \), \( x = 1 \) ).
La droite passent par les points $A(0,-1)$ et $B(1,0)$
- L'équation \( 2x - y + 2 = 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( y = 2 \) et \( y = 0 \), \( x = -1 \) ).
La droite passent par les points $C(0,2)$ et $D(-1,0)$
- L'équation \( -x + 3y + 9 = 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( y =-3 \) et \( y = 0 \), \( x = 9 \) ).
La droite passent par les points $E(0,-3)$ et $F(9,0)$
Les 3 droites se croisent au point $(-3,-4)$ qui est la solution du sytème
2. Résoudre les deux premières équations :
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y &=& 1 \\
2x - y &=& -2
\end{array}\right. \implies x = -3, y = -4
\]
2. Vérifier dans la troisième équation :
\[
-(-3) + 3(-4) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 \quad \text{(vérifié)}
\]
Solution : \( (x, y) = (-3, -4) \)
Exercice 4 : Problème avec systèmes d'équations
Système à résoudre :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x + 2y &=& 625 \\
6x + 13y &=& 3975
\end{array}
\right.
\]
Méthode : Nous allons utiliser la méthode de substitution ou de combinaison linéaire. Ici, la méthode de combinaison semble adaptée.
Étape 1 : Multiplions la première équation par 6 pour aligner les coefficients de \( x \) avec la deuxième équation.
\[
6 \times (x + 2y) = 6 \times 625 \\
6x + 12y = 3750
\]
Étape 2 : Soustraisons cette nouvelle équation de la deuxième équation du système.
\[
(6x + 13y) - (6x + 12y) = 3975 - 3750 \\
6x + 13y - 6x - 12y = 225 \\
y = 225
\]
Étape 3 : Substituons \( y = 225 \) dans la première équation pour trouver \( x \).
\[
x + 2 \times 225 = 625 \\
x + 450 = 625 \\
x = 625 - 450 \\
x = 175
\]
Solution :
\[
(x, y) = (175, 225)
\]
Vérification :
- Première équation : \( 175 + 2 \times 225 = 175 + 450 = 625 \) ✔️
- Deuxième équation : \( 6 \times 175 + 13 \times 225 = 1050 + 2925 = 3975 \) ✔️
Problème 2 : Application à la situation de Tante Adja
Contexte :
- Avant dévaluation :
- Prix des pommes de terre : \( p \) F/kg
- Prix des oignons : \( o \) F/kg
- Coût total : \( 10p + 20o = 6250 \)
- Après dévaluation :
- Prix des pommes de terre : \( 1.2p \) F/kg
- Prix des oignons : \( 1.3o \) F/kg
- Coût total : \( 10 \times 1.2p + 20 \times 1.3o = 7950 \)
Système d'équations :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
10p + 20o &=& 6250 \\
12p + 26o &=& 7950
\end{array}
\right.
\]
Simplification :
Divisons la première équation par 10 et la deuxième par 2 pour simplifier :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
p + 2o &=& 625 \\
6p + 13o &=& 3975
\end{array}
\right.
\]
Observation : Ce système est identique à celui du problème 1, avec \( p = x \) et \( o = y \).
Solution :
\[
(p, o) = (175, 225)
\]
Interprétation :
- Avant dévaluation :
- Prix d'un kg de pommes de terre : \( 175 \) F CFA
- Prix d'un kg d'oignons : \( 225 \) F CFA
- Après dévaluation :
- Prix d'un kg de pommes de terre : \( 1.2 \times 175 = 210 \) F CFA
- Prix d'un kg d'oignons : \( 1.3 \times 225 = 292.5 \) F CFA
Vérification des coûts :
- Avant dévaluation : \( 10 \times 175 + 20 \times 225 = 1750 + 4500 = 6250 \) F CFA ✔️
- Après dévaluation : \( 10 \times 210 + 20 \times 292.5 = 2100 + 5850 = 7950 \) F CFA ✔️
Conclusion
1. La solution du système d'équations est \( (x, y) = (175, 225) \).
2. Avant la dévaluation :
- Le prix d'un kilogramme de pommes de terre était de 175 F CFA.
- Le prix d'un kilogramme d'oignons était de 225 F CFA.
Ces valeurs satisfont toutes les conditions données dans le problème.
Exercice 6 : Problème de mélange
Contraintes :
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x + y &\geq& 10 \\
600x + 400y &\leq& 6000 \\
x, y &\geq& 0
\end{array}\right.
\]
1. Simplifier la deuxième inéquation :
\[
3x + 2y \leq 30
\]
2. Représentation graphique :
- Zone réalisable délimitée par \( x + y \geq 10 \), \( 3x + 2y \leq 30 \), et \( x, y \geq 0 \).
Solution : Tous les couples \( (x, y) \) dans la zone réalisable.
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