Solutions Serie d'exercices : Système d'équation et inéquation du 1er degré à deux inconnues - 2nd L

Exercice 1 : Méthode de substitution

 Système $S_1$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 7 &=& 0 \\ 3x + y - 7 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$x - y + 7 = 0 \implies y = x + 7$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$3x + (x + 7) - 7 = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = 0 + 7 = 7$$

Solution : $(x, y) = (0, 7)$

 Système $S_2$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y - 2 &=& 0 \\ 2x + y + 5 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$x - y - 2 = 0 \implies y = x - 2$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$2x + (x - 2) + 5 = 0 \implies 3x + 3 = 0 \implies x = -1$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = -1 - 2 = -3$$

Solution : $(x, y) = (-1, -3)$

 Système $S_3$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x + 5y - 16 &=& 0 \\ 3x + 3y - 15 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Simplifier la deuxième équation :
   $$3x + 3y - 15 = 0 \implies x + y = 5 \implies y = 5 - x$$

2. Substituer $y$ dans la première équation :
   $$2x + 5(5 - x) - 16 = 0 \implies 2x + 25 - 5x - 16 = 0 \implies -3x + 9 = 0 \implies x = 3$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = 5 - 3 = 2$$

Solution : $(x, y) = (3, 2)$

 Système $S_4$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -\dfrac{1}{3}x + y - 1 &=& 0 \\ 2x - \dfrac{1}{4}y + 7 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$-\dfrac{1}{3}x + y - 1 = 0 \implies y = \dfrac{1}{3}x + 1$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$2x - \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right) + 7 = 0 \implies 2x - \dfrac{1}{12}x - \dfrac{1}{4} + 7 = 0$$
   $$\dfrac{24}{12}x - \dfrac{1}{12}x = \dfrac{1}{4} - 7 \implies \dfrac{23}{12}x = -\dfrac{27}{4} \implies x = -\dfrac{27}{4} \times \dfrac{12}{23} = -\dfrac{81}{23}$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{81}{23}\right) + 1 = -\dfrac{27}{23} + \dfrac{23}{23} = -\dfrac{4}{23}$$

Solution : $(x, y) = \left(-\dfrac{81}{23}, -\dfrac{4}{23}\right)$

Exercice 2 : Méthode d'addition

 Partie a.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + 3y &=& 1 \\ 2x + y &=& 4 \end{array}\right.$$

1. Multiplier la première équation par 2 :
   $$2x + 6y = 2$$

2. Soustraire la deuxième équation :
   $$(2x + 6y) - (2x + y) = 2 - 4 \implies 5y = -2 \implies y = -\dfrac{2}{5}$$

3. Trouver $x$ :
   $$x + 3\left(-\dfrac{2}{5}\right) = 1 \implies x = 1 + \dfrac{6}{5} = \dfrac{11}{5}$$

Solution : $(x, y) = \left(\dfrac{11}{5}, -\dfrac{2}{5}\right)$

 Partie b.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x + 3y - 1 &=& 0 \\ -3x + 2y + 5 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Réécrire le système :
   $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}    2x + 3y &=& 1 \\    -3x + 2y &=& -5    \end{array}\right.$$

2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
   $$6x + 9y = 3 \\    -6x + 4y = -10$$

3. Additionner les deux équations :
   $$13y = -7 \implies y = -\dfrac{7}{13}$$

4. Trouver $x$ :
   $$2x + 3\left(-\dfrac{7}{13}\right) = 1 \implies 2x = 1 + \dfrac{21}{13} = \dfrac{34}{13} \implies x = \dfrac{17}{13}$$

Solution : $(x, y) = \left(\dfrac{17}{13}, -\dfrac{7}{13}\right)$

 Partie c.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x + 10y &=& 58 \\ 10x + 3y &=& 72 \end{array}\right.$$

1. Multiplier la première équation par 10 et la deuxième par 3 :
   $$30x + 100y = 580 \\    30x + 9y = 216$$

2. Soustraire la deuxième équation de la première :
   $$91y = 364 \implies y = 4$$

3. Trouver $x$ :
   $$3x + 10(4) = 58 \implies 3x = 18 \implies x = 6$$

Solution : $(x, y) = (6, 4)$

 Partie d.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}y &=& 1 \\ -x + \dfrac{2}{3}y &=& \dfrac{2}{3} \end{array}\right.$$

1. Éliminer les fractions en multipliant par 6 et 3 respectivement :
   $$2x - 3y = 6 \\    -3x + 2y = 2$$

2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
   $$6x - 9y = 18 \\    -6x + 4y = 4$$

3. Additionner les deux équations :
   $$-5y = 22 \implies y = -\dfrac{22}{5}$$

4. Trouver $x$ :
   $$2x - 3\left(-\dfrac{22}{5}\right) = 6 \implies 2x = 6 - \dfrac{66}{5} = -\dfrac{36}{5} \implies x = -\dfrac{18}{5}$$

Solution : $(x, y) = \left(-\dfrac{18}{5}, -\dfrac{22}{5}\right)$

Exercice 3 : Méthode graphique

 Système $S_1$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 3 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Trouver les points d'intersection :
 Pour la première équation $x - y + 3 = 0$

•     Pour $x = 0$, $y = 3$ ).
•    Pour $y = 0$, $x = -3$).

   Pour la deuxième équation \2x - y + 2 = 0\

•     Pour $x = 0$, $y = 2$.
•     Pour $y = 0$, $x = -1$.

2. Construction graphique

3. Solution graphique : Les droites se coupent en $(1, 4)$.

Solution : $(x, y) = (1, 4)$

 Système $S_2$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x - y - 4 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \end{array}\right.$$

- Analyse : Les deux équations représentent des droites parallèles (même coefficient directeur).
 
Solution : Aucune solution (système incompatible).

 Système $S_3$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 3 &=& 0 \\ 2x - 2y + 6 &=& 0 \end{array}\right.$$

- Analyse : La deuxième équation est un multiple de la première.

 
Solution : Infinité de solutions (droites confondues).

 Système $S_4$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y - 1 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \\ -x + 3y + 9 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Résoudre les deux premières équations :
   $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}    x - y &=& 1 \\    2x - y &=& -2    \end{array}\right. \implies x = -3, y = -4$$

2. Vérifier dans la troisième équation :
   $$-(-3) + 3(-4) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 \quad \text{(vérifié)}$$

Solution : $(x, y) = (-3, -4)$

Exercice 4 : Problème avec systèmes d'équations

 Partie 1
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + 2y &=& 625 \\ 6x + 13y &=& 3975 \end{array}\right.$$

1. Multiplier la première équation par 6 :
   $$6x + 12y = 3750$$

2. Soustraire la deuxième équation :
   $$y = 225$$

3. Trouver $x$ :
   $$x + 2(225) = 625 \implies x = 175$$

Solution : $(x, y) = (175, 225)$

 Partie 2
- Avant dévaluation :
  - Prix pommes de terre : $x = 175 \, \text{F/kg}$
  - Prix oignons : $y = 225 \, \text{F/kg}$

- Après dévaluation :
  - Pommes de terre : $1.2 \times 175 = 210 \, \text{F/kg}$
  - Oignons : $1.3 \times 225 = 292.5 \, \text{F/kg}$

Vérification :
$$10 \times 210 + 20 \times 292.5 = 2100 + 5850 = 7950 \, \text{F} \quad \text{(correct)}$$

Exercice 5 : Résolution graphique d'inéquations

 Partie a.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + y - 1 &\geq& 0 \\ 2x - y + 4 &<& 0 \end{array}\right.$$

- Représentation graphique :
  $x + y \geq 1$ : Zone au-dessus de la droite $y = -x + 1$.
   $2x - y < -4$ : Zone en dessous de la droite $y = 2x + 4$.

Solution : Intersection des deux zones.

 Partie b.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x + y - 1 &\geq& 0 \\ -2x + y + 2 &<& 0 \end{array}\right.$$

- Représentation graphique :
  - $2x + y \geq 1$ : Zone au-dessus de la droite $y = -2x + 1$.
  - $-2x + y < -2$ : Zone en dessous de la droite $y = 2x - 2$.

Solution : Intersection des deux zones.

### Système c :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x - 2y - 1 & < & 0 \\ x + 2y + 3 & \geq & 0 \\ x + y & > & 0 \end{array}\right.$$

Étape 1 : Tracer les droites correspondantes

1. Première inéquation : $3x - 2y - 1 < 0$  
   Droite associée : $3x - 2y - 1 = 0$  
   Points pour tracer :  
   - Si $x = 0$, $-2y - 1 = 0 \Rightarrow y = -0.5$ → $A (0, -0.5)$ 
   - Si $y = 0$, $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ → $B(1/3, 0$)  
   Inégalité stricte : la droite est en pointillés.  
   Test du point (0,0) : $0 - 0 - 1 < 0$ → Vrai. Donc, on prend le côté contenant (0,0).

2. Deuxième inéquation : $x + 2y + 3 \geq 0$  
   Droite associée : $x + 2y + 3 = 0$  
   Points pour tracer :  
   - Si $x = 0$, $2y + 3 = 0 \Rightarrow y = -1.5$ →$C(0, -1.5)$ 
   - Si $y = 0$, $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ → $D(-3, 0)$ 
   Inégalité large : la droite est continue.  
   Test du point (0,0) : $0 + 0 + 3 \geq 0$ → Vrai. Donc, on prend le côté contenant (0,0).

3. Troisième inéquation : $x + y > 0$  
   Droite associée : $x + y = 0$  
   Points pour tracer :  
   - $0(0,0)$ et $E(1,-1)$ 
   Inégalité stricte : la droite est en pointillés.  
   Test du point (1,0) : $1 + 0 > 0$ → Vrai. Donc, on prend le côté contenant (1,0).

Étape 2 : Trouver l'intersection des régions

La solution est l'intersection des trois régions définies ci-dessus. Graphiquement, cela correspond à la zone où toutes les inégalités sont satisfaites simultanément.

Points d'intersection des droites :

1. Intersection de $3x - 2y = 1$ et $x + 2y = -3$ :  
   Addition : $4x = -2 \Rightarrow x = -0.5$  
   $-0.5 + 2y = -3 \Rightarrow 2y = -2.5 \Rightarrow y = -1.25$ → (-0.5, -1.25)

2. Intersection de $3x - 2y = 1$ et $x + y = 0$ :  
   $y = -x$  
   $3x - 2(-x) = 1 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = 0.2$  
   $y = -0.2$ → (0.2, -0.2)

3. Intersection de $x + 2y = -3$ et $x + y = 0$ :  
   $y = -x$  
   $x + 2(-x) = -3 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3$  
   $y = -3$ → (3, -3)

La région solution est un triangle délimité par ces points, mais en vérifiant les inégalités, la zone valide est celle où $x + y > 0$ domine, donc la partie supérieure.

Solution graphique :** La région est l'intersection des trois demi-plans, qui forme un polygone infini vers le haut à gauche.

Système d :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x - 2y + 5 & \geq & 0 \\ 2x + y - 2 & \leq & 0 \\ x - 2 & \geq & 0 \end{array}\right.$$

Étape 1 : Tracer les droites correspondantes

1. Première inéquation : $3x - 2y + 5 \geq 0$  
   Droite associée : $3x - 2y + 5 = 0$  
   Points :  
   - $x = 0$, $-2y + 5 = 0 \Rightarrow y = 2.5$ →$A (0, 2.5)$ 
   - $y = 0$, $3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$ → $B(-5/3, 0)$ 
   Inégalité large : droite continue.  
   Test (0,0) : $0 - 0 + 5 \geq 0$ → Vrai. prend côté (0,0).

2. Deuxième inéquation : $2x + y - 2 \leq 0$  
   Droite associée : $2x + y - 2 = 0$  
   Points :  
   - $x = 0$, $y = 2$ → $C(0, 2)$ 
   - $y = 0$, $2x = 2 \Rightarrow x = 1$ → $D(1, 0)$
   Inégalité large : droite continue.  
   Test (0,0) : $0 + 0 - 2 \leq 0$ → Vrai. prend côté (0,0).

3. Troisième inéquation : $x - 2 \geq 0$  
   Droite associée : $x = 2$ (verticale)  
   Inégalité large : droite continue.  
   prend à droite de $x = 2$.

Étape 2 : Intersection des régions

La solution doit satisfaire les trois inégalités simultanément.

Points d'intersection :

1. Intersection de $3x - 2y = -5$ et $2x + y = 2$ :  
   Résoudre $y = 2 - 2x$  
   $3x - 2(2 - 2x) = -5 \Rightarrow 3x - 4 + 4x = -5 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{7}$  
   $y = 2 - 2(-\frac{1}{7}) = \frac{16}{7}$ →$E (-1/7, 16/7)$

2. Intersection de $3x - 2y = -5$ et $x = 2$ :  
   $6 - 2y = -5 \Rightarrow -2y = -11 \Rightarrow y = 5.5$ → $F(2, 5.5)$

3. Intersection de $2x + y = 2$ et $x = 2$ :  
   $4 + y = 2 \Rightarrow y = -2$ →$G (2, -2)$

La région solution est la partie où $x \geq 2$, en dessous de $2x + y \leq 2$ et au-dessus de $3x - 2y \geq -5$. Cela forme un triangle entre (2, -2), (2, 5.5), et l'intersection à l'infini.

Solution graphique : Un secteur angulaire partant de (2, -2) hachuré..

Système f :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 2 & \leq & 0 \\ 2x + y + 1 & < & 0 \\ y - 1 & < & 0 \end{array}\right.$$

Étape 1 : Tracer les droites correspondantes

1. Première inéquation : $x - y + 2 \leq 0$  
   Droite associée : $x - y + 2 = 0$  
   Points :  
   - $x = 0$, $-y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ → $A(0, 2)$ 
   - $y = 0$, $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ → $B(-2, 0)$ 
   Inégalité large : droite continue.  
   Test (0,0) : $0 - 0 + 2 \leq 0$ → Faux. prend le côté opposé à (0,0).

2. Deuxième inéquation : $2x + y + 1 < 0$  
   Droite associée : $2x + y + 1 = 0$  
   Points :  
   - $x = 0$, $y = -1$ → $C(0, -1)$
   - $y = 0$, $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5$ → $D(-0.5, 0)$ 
   Inégalité stricte : droite en pointillés.  
   Test (0,0) : $0 + 0 + 1 < 0$ → Faux. prend le côté opposé à (0,0).

3. Troisième inéquation : $y - 1 < 0$  
   Droite associée : $y = 1$ (horizontale)  
   Inégalité stricte : droite en pointillés.  
   prend en dessous de $y = 1$.

Étape 2 : Intersection des régions

La solution est l'intersection des trois régions.

Points d'intersection :

1. Intersection de $x - y = -2$ et $2x + y = -1$ :  
   Addition : $3x = -3 \Rightarrow x = -1$  
   $-1 - y = -2 \Rightarrow y = 1$ → $E(-1, 1)$

2. Intersection de $x - y = -2$ et $y = 1$ :  
   $x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$ → (-1, 1) (même point)

3. Intersection de $2x + y = -1$ et $y = 1$ :  
   $2x + 1 = -1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$ → (-1, 1)

La région solution est la zone où $y < 1$, en dessous de $x - y \leq -2$ et $2x + y < -1$. Cela forme un secteur angulaire partant deF (-1,1) vers le bas à gauche(Secteur Angulaire bleu foncé.

Solution graphique : Un secteur infini vers le bas à gauche à partir de (-1,1).

Résumé des solutions graphiques :

- c. La solution est la région où toutes les inégalités sont satisfaites, formant un polygone.
- d. La solution est la région à droite de $x = 2$, en dessous de $2x + y \leq 2$ et au-dessus de $3x - 2y \geq -5$.
- f. La solution est la région en dessous de $y = 1$, en dessous de $x - y \leq -2$ et $2x + y < -1$.

Exercice 6 : Problème de mélange

Contraintes :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + y &\geq& 10 \\ 600x + 400y &\leq& 6000 \\ x, y &\geq& 0 \end{array}\right.$$

1. Simplifier la deuxième inéquation :
   $$3x + 2y \leq 30$$

2. Représentation graphique :
   - Zone réalisable délimitée par $x + y \geq 10$, $3x + 2y \leq 30$, et $x, y \geq 0$.

Solution : Tous les couples $(x, y)$ dans la zone réalisable.

Résolution 2

Problème de Karine : Optimisation du cocktail de jus de fruits

Données :
- Jus de goyave :  
  - Prix par litre : $600\,F$  
  - Quantité achetée : $x$ litres  
- Jus d'ananas :  
  - Prix par litre : $400\,F$  
  - Quantité achetée : $y$ litres  
- Contraintes :
  1. Volume total : Au moins $10$ litres de cocktail.  
     $$x + y \geq 10$$
  2. Budget : Ne dépasse pas $6000\,F$.  
     $$600x + 400y \leq 6000$$
  3. Quantités positives :  
     $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

 Étape 1 : Simplification des inéquations

1. Contrainte budgétaire :  
   $$600x + 400y \leq 6000 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2y \leq 30 \quad (\text{divisé par } 200)$$

2. Contrainte de volume :  
   $$x + y \geq 10$$

 Étape 2 : Tracé des droites correspondantes

1. Droite budgétaire : $3x + 2y = 30$  
   - Si $x = 0$, $y = 15$ → $(0, 15)$  
   - Si $y = 0$, $x = 10$ → $(10, 0)$  
   - Inégalité : $3x + 2y \leq 30$ →  en dessous de la droite.

2. Droite de volume : $x + y = 10$  
   - Si $x = 0$, $y = 10$ → $(0, 10)$  
   - Si $y = 0$, $x = 10$ → $(10, 0)$  
   - Inégalité : $x + y \geq 10$ →  au-dessus de la droite.

3. Contraintes de positivité :  
   - $x \geq 0$ →  à droite de l'axe $y$.  
   - $y \geq 0$ →  au-dessus de l'axe $x$.

 Étape 3 : Intersection des régions

Zone réalisable :  
- Intersection de :
  - $x + y \geq 10$ (au-dessus de la droite verte),
  - $3x + 2y \leq 30$ (en dessous de la droite bleue),
  - $x \geq 0, y \geq 0$ (premier quadrant).

Points d'intersection :
1. Intersection de $x + y = 10$ et $3x + 2y = 30$ :  
   $$\begin{cases}    x + y = 10 \\    3x + 2y = 30    \end{cases}$$
   - De $x + y = 10$, on a $y = 10 - x$.  
   - Substitution : $3x + 2(10 - x) = 30$  
     $\Rightarrow 3x + 20 - 2x = 30$  
     $\Rightarrow x = 10$  
     $\Rightarrow y = 0$  
   → Point : $(10, 0)$

2. Intersection de $3x + 2y = 30$ avec $y = 0$ :  
   - $3x = 30 \Rightarrow x = 10$  
   → Point : $(10, 0)$ (identique au précédent).

3. Intersection de $x + y = 10$ avec $x = 0$ :  
   - $y = 10$  
   → Point : $(0, 10)$

4. Vérification de $(0, 10)$ dans $3x + 2y \leq 30$ :  
   - $0 + 20 = 20 \leq 30$ → Valide.

 Étape 4 : Solution graphique

La zone réalisable est un polygone délimité par les points :
- $(0, 10)$ → Maximum de jus d'ananas,
- $(10, 0)$ → Maximum de jus de goyave,
- Tous les points sur le segment entre $(0, 10)$ et $(10, 0)$.

Interprétation :
- Karine peut acheter n'importe quelle combinaison $(x, y)$ telle que :
  $$x + y \geq 10 \quad \text{et} \quad 3x + 2y \leq 30$$
  avec $x \geq 0, y \geq 0$.

 Exemples de solutions possibles :
1. Que du jus d'ananas :  
   $x = 0$, $y = 10$ → Coût : $0 \times 600 + 10 \times 400 = 4000\,F$ (sous le budget).

2. Que du jus de goyave :  
   $x = 10$, $y = 0$ → Coût : $10 \times 600 + 0 \times 400 = 6000\,F$ (budget max).

3. Mélange équilibré :  
   $x = 5$, $y = 5$ →  
   Volume : $5 + 5 = 10$ litres,  
   Coût : $5 \times 600 + 5 \times 400 = 5000\,F$ (acceptable).

 Conclusion :
Les valeurs possibles de $(x, y)$ sont tous les points du segment reliant $(0, 10)$ à $(10, 0)$ qui satisfont :
$$\boxed{ \begin{cases} x + y \geq 10 \\ 3x + 2y \leq 30 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases} }$$

Représentation graphique :  
- Axe $x$ : Jus de goyave (litres),  
- Axe $y$ : Jus d'ananas (litres).  
- Zone hachurée : Entre les droites $x + y = 10$ et $3x + 2y = 30$ dans le premier quadrant.  

Solution optimale :  
- Si Karine veut minimiser le coût, elle prendra plus de jus d'ananas (moins cher).  
- Si elle veut maximiser le volume, elle peut aller jusqu'à $10$ litres avec n'importe quelle combinaison sur la droite $x + y = 10$.