Statistique 2nd L

Les tableaux statistiques et les graphiques sont importants, mais ne suffissent pas pour analyser des données. 

 

On leur associe souvent des paramètres permettant de réduire les données observés et d'affirmer l'analyse.

 

Ces paramètres résument les données observées, qui sont souvent en grand nombre. 

 

Il existe plusieurs types de paramètres selon la nature de la série à étudier.

 

Les paramètres étudiés au programme sont les paramètres de position et les paramètres de dispersion.

 

Rappel : vocabulaire des séries statistiques :

 

La population est l'ensemble sur lequel porte l'observation : on étudie un caractère bien précisé sur les individus de cette population : on collecte et on dépouille des données.

 

La série statistique est la liste des valeurs (ou modalités) prise par le caractère.

 

Le caractère est quantitatif s'il est mesurable : il prend des valeurs numériques.

 

Exemples : la taille, le poids et la vitesse.

 

Le caractère est qualitatif s'il n'est pas mesurable.

 

Exemples : le sexe, la douleur et la peur.

 

$\ast\ $Un caractère quantitatif est discrète lorsqu'il ne prend que quelques valeurs isolées.

 

Exemple : A la composition de mathématiques les élèves d'une classe de seconde ont obtenu les notes regroupées dans le tableau statistique suivant :

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{notes }&4&6&8&10&12&14&16&18\\ \hline \text{effectifs }&6&5&3&4&5&4&3&2\\ \hline \end{array}$

 

$\ast\ $Un caractère quantitatif est continu lorsqu'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.

 

Exemple : Après le premier devoir du second semestre le prof de maths a regroupé les notes dans le tableau statistique suivant : 

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{classes }&[2\ ;\ 4[&[4\ ;\ 6[&[6\ ;\ 8[&[8\ ;\ 10[&[10\ ;\ 12[&[12\ ;\ 14[&[14\ ;\ 16&[16\ ;\ 20[\\ \hline \text{effectifs }&7&6&5&3&4&5&4&5\\ \hline \end{array}$

 

 

$\ast\ $Dans le cas d'une série qualitative, ou quantitative discrète, le mode est la modalité du caractère qui a le plus grand effectif. 

 

C'est aussi la valeur la plus fréquente, celle qui revient le plus souvent.

 

$\ast\ $Dans le cas d'une série regroupée en classes, la classe modale est la classe ayant le plus grand effectif uniquement lorsque les classes sont d'égale amplitude.

 

Exemple 1 : nombre de cylindres de $80$ véhicules du parc :

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{cylindre }X_{i}&4&5&6&7&11&12\\ \hline \text{effectif }n_{i}&10&25&12&20&5&8\\ \hline \end{array}$

 

Ici le mode est : le caractère $5$, car c'est le caractère $5$ qui a l'effectif le plus grand.

 

Exemple 2 : vétusté des $80$ véhicules précédents :

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{nombre }&[0\ ;\ 0.5[&[0.5\ ;\ 1[&[1\ ;\ 1.5[&[1.5\ ;\ 2[&[2\ ;\ 2.5[\\ \text{d'années }&&&&&\\ \hline \text{effectif }n_{i}&32&21&12&9&6\\ \hline \end{array}$

 

Ici la classe modale est : la classe $[0\ ;\ 0.5[$, car c'est cette classe qui a le plus grand effectif.

 

Remarque :

 

Dans le cas d'une série regroupée en classe, si ces classes n'ont pas la même amplitude alors la classe modale est celle dont la hauteur dans l'histogramme est la plus élevée.

 

Exemple : On considère le tableau statistique suivant :

 

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{classe }&[0\ ;\ 2[&[2\ ;\ 3[&[3\ ;\ 5[&[5\ ;\ 8[\\ \hline \text{effectif }n_{i}&20&11&14&21\\ \hline \text{amplitude }a_{i}&2&1&2&3\\ \hline \text{hauteur }h_{i}&10&11&7&7\\ \hline \end{array}$

 

NB : si on a des classes $[a\ ;\ [$ ; 

 

l'amplitude $a_{i}=b-a$ ; 

 

la hauteur $h_{i}=\dfrac{n_{i}}{a_{i}}$

 

Dans le tableau, on voit que la classe qui a la hauteur la plus élevée est $[2\ ;\ 3[$ ; donc la classe modale est la classe $[2\ ;\ 3[$

Si le mode n'est pas unique, alors l'interprétation est difficile. 

 

Si toutes les modalités sont des modes, alors le mode n'existe pas : on parle de série plurimodale.

Soit une série discrète, dont les valeurs observées (caractères étudiés) sont rangées dans l'ordre croissant :