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Suite Numériques - TL

Classe:

Terminale

I. Généralités

1.1 Définition

Une suite est une fonction

$u\ :\ \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie sur l'ensemble

$\mathbb{N}$ des entiers naturels.

L'image par la suite

$u$ de l'entier

$n$ est notée

$u_{n}$ au lieu de

$u(n)$

La suite elle-même est notée

$\left(u_{n}\right)$

1.2 Modes de définition d'une suite

$\bullet\$ On peut définir une suite par une formule de la forme :

$u_{n}=f(n)$ (définition explique).

Exemple :

Soit la suite

$\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{n}=n^{2}-5n+3.$

Alors :

$u_{0}=0^{2}-(5\times 0)+3=3$ ;

$u_{1}=1^{2}-(5\times 1)+3=-1$ ;

$u_{2}=2^{2}-(5\times 2)+3=-3$ ;

$u_{10}=10^{2}-(5\times 10)+3=53$ ;

$u_{50}=50^{2}-(5\times 50)+3=2253$

$\bullet\$ On peut aussi définir une suite par une condition de la forme :

$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ et la donnée du premier terme

$u_{0}$ (relation de récurrence).

$\bullet\$ On peut alors calculer de proche en proche les termes de la suite :

$u_{1}=f\left(u_{0}\right)\ ;\ u_{2}=f\left(u_{1}\right)\ ;\ u_{3}=f\left(u_{2}\right)\ ;\ \text{ etc}\ldots$

Exemple :

Soit la suite

$\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{n+1}=2u_{n}+3\text{ et }u_{0}=-1.$

Alors :

$u_{1}=u_{0+1}=2u_{0}+3=1$ ;

$u_{2}=u_{1+1}=2u_{1}+3=-3$ ;

$u_{3}=u_{2+1}=2u_{2}+3=13\ ;\ \text{ etc}\ldots$

Par exemple, pour calculer

$u_{50}$ , il faudrait faire

$50$ calculs successifs.

1.3 Sens de variation d'une suite

Définition :

Une suite

$\left(u_{n}\right)$ est dite :

$-\$ Croissante si :

$\forall\;n\;,\ :\ u_{n+1}\geq u_{n}.$

$-\$ Décroissante si :

$\forall\;n;,\ :\ u_{n+1}\leq u_{n}$

$-\$ Monotone si elle est croissante ou décroissante.

$-\$ Constante si :

$\forall\;n\;,\ :\ u_{n+1}=u_{n}.$

Étudier le sens de variation d'une suite

$\left(u_{n}\right)$

C'est dire si elle est croissante ou décroissante ou constante.

Règle :

Pour étudier le sens de variation d'une suite

$\left(u_{n}\right)$ ,on compare deux termes consécutifs, pour cela, on peut étudier le signe de leur différence, ou, s'il s'agit de nombres strictement positifs, comparer leur quotient à

$1.$

Exemple :

Soit la suite

$\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{n}=\dfrac{n+2}{2n+1}$

Alors :

$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+2}{2(n+1)+1}=\dfrac{n+3}{2n+3}$

$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{n+3}{2n+3}-\dfrac{n+2}{2n+1}=\dfrac{-3}{(2n+1)(2n+3})$

Pour tout entier naturel

$n$ , on a donc :

$u_{n+1}-u_{n}\leq 0.$

La suite étudiée est par conséquent décroissante.

II. Suite arithmétiques

Une suite

$\left(u_{n}\right)$ est arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre

$r$ appelé raison :

$u_{n+1}=u_{n}+r.$

2.1 Expression du terme général

$\bullet\ \text{Si }\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme

$u_{0}$ et de raison

$r$ , alors :

$u_{n}=u_{0}+nr$

$\bullet\$ Si le premier terme est

$u_{1}$ , alors :

$u_{n}=u_{1}+(n-1)r$

2.2 Somme des premiers termes

$\bullet\$ Si la suite a pour premier terme

$u_{0}$ , alors la somme

$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$ vaut :

$S_{n}=\dfrac{(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)}{2}$

$\bullet\$ Si la suite a pour premier terme

$u_{1}$ , alors la somme

$S_{n}=u_{1}+u_{1}+\ldots+u_{n}$ vaut :

$S_{n}=\dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Exemple :

Soit

$\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :

$u_{n}=2n-1$ et

$u_{1}=1.$

Alors :

$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique

Car :

$u_{n+1}-u_{n}=2(n+1)-1-(2n-1)=2n+2-1-2n+1=2.$

Donc :

$u_{n+1}=u_{n}+2.$

La raison de la suite est

$2.$

La somme des

$n$ premiers termes vaut :

$u_{1}+u_{2}\ldots+u_{n}=\dfrac{n(1+2n-1}{2}=n^{2}$

III. Suites géométriques

Une suite

$\left(u_{n}\right)$ est dite géométrie si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre

$q$ appelé raison :

$u_{n+1}=u_{n}\times q.$

3.1 Expression du terme général

$\bullet\$ Si la suite géométrique

$\left(u_{n}\right)$ a pour premier terme

$u_{0}$ et pour raison

$q$ , alors :

$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$

$\bullet\$ Si le premier terme est

$u_{1}$ , alors :

$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

2.2 Somme des premiers termes

Pour toute suite géométrique, de raison

$q\neq 1$ , on a:

$u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=u_{1}\times\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$

Exemple :

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}=S_{n}$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison

$\dfrac{1}{2}.$

Donc :

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}=2-\dfrac{1}{2^{n}}$

IV. limites d'une suite

La notion de limite en

$+\infty$ , déjà rencontrée à propos des fonction, s'étend au cas des suites.

On a les résultats suivantes :

Théorème 1 :

$\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\sqrt{n}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}n^{2}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}n^{3}=+\infty.$

$\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}=0.$

Théorème 2 :

Soit

$q$ un nombre réel.

$-\ \text{Si }q>1\ :\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}q^{n}=+\infty$

$-\ \text{Si }-1<q<1\ :\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}q^{n}=0.$

Théorème 3 :

Les résultats concernant les opérations sur les limites de fonctions s'étendent aux limites de suites.

Exemples :

1) Soit la suite

$\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{n}=\dfrac{3n^{3}-5n^{2}+1}{2n^{3}+1}$

Alors

$\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}u_{n}=\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{3n^{3}}{2n^{3}}=\dfrac{3}{2}.$

2) Soit la suite

$\left(v_{n}\right)$ définie par :

$v_{n}=1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\ldots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}.$

On a d'après le paragraphe III :

$v_{n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{''}}{1-\dfrac{1}{3}}$

car

$v_{n}$ est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison

$\dfrac{1}{3}$ , or comme

$-1<\dfrac{1}{3}<1\;,\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{''}=0.$

D'où :

$\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$

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1.2 Modes de définition d'une suite

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Exemple :

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II. Suite arithmétiques

2.1 Expression du terme général

Exemple :

III. Suites géométriques

3.1 Expression du terme général

2.2 Somme des premiers termes

Exemple :

IV. limites d'une suite

Théorème 1 :

Théorème 2 :

Théorème 3 :

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