Suites Numériques - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Suite Arithmétique

 Définition

On appelle suite arithmétique toute suite (Un) définie par la relation :
Un+1=Un+r;rR
 
r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarque :

Pour montrer qu'une suite est arithmétique il faut et il suffit d'établir que :
 
U_{n+1}=-U_{n}=\text{constante} et cette constante est la raison.
 
\blacktriangleright\ De même qu'une suite arithmétique est complètement déterminée dés qu'on connait sa raison et son premier terme.

\bullet\ Terme général d'une suite arithmétique

Si \left(U_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U_{0} alors pour tout n\in\mathbb{N} on a :
\boxed{U_{n}=U_{0}+nr}
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite \left(U_{n}\right) est U_{p} avec 0\leq p\leq n alors :
 
\boxed{U_{n}=U_{p}+(n+p)r}

\bullet Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \left(U_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r rt de premier U_{0}.
 
On note S_{n} la somme des termes de \left(U_{n}\right). S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}
\boxed{S_{n}=(n+1)\times\left(\dfrac{U_{0}U_{n}}{2}\right)}
 
Si le premier terme est U_{p} alors S_{n}=U_{p}+U_{u+1}+U_{u+2}+\ldots+U_{n}
\boxed{S_{n}=(n-p+1)\times\left(\dfrac{U_{p}+U_{n}}{2}\right)}
 
Retenons pour une suite arithmétique 
\boxed{S_{n}=\text{ Nombre de termes }\times\left(\dfrac{\text{ premier terme+dernier terme}}{2}\right)}

\bullet\ Propriété

Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre dune suite arithmétique alors ile vérifient la relation : a+c=2b.

II. suite géométrique

\bullet\ Définition 

On appelle suite géométrique toue suite \left(V_{n}\right) définie par la relation :
\boxed{V_{n+1}=q\times V_{n}\quad ;\quad q\in\mathbb{R}}
 
q est appelé la raison de la suite géométrique.

Remarque : 

\blacktriangleright\ Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut et il suffit d'établir que :
 
\dfrac{V_{n+1}}{V_{n}}=constante et cette constante est la raison
 
\blacktriangleright\ De même qu'une suite géométrique est complètement déterminer dès qu'on connait sa raison et son premier terme.

\bullet\ Terme général suite géométrique

Si \left(V_{n}\right) est une suite géométrique de raison q et de premier V_{0} alors pour tout n\in\mathbb{N} on a :
\boxed{V_{n}=V_{0}\times q^{n}}
 
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite \left(V_{n}\right) est v_{p} avec 0\leq p\leq n alors : 
\boxed{V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}}

\bullet\ Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \left(V_{n}\right) est une suite géométrique de raison q et de premier V_{0}.
 
On note S_{n} la somme des termes de \left(V_{n}\right).
 
S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}
S_{n}=V_{0}\times\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)
 
Si le premier terme est V_{p} alors S_{n}=V_{p}+V_{p+1}+V_{p+2}\ldots+V_{n}
S_{n}=V_{p}/V_{p}\times\left(\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\right)
 
Retenons pour une suite géométrique 
\boxed{S_{n}=\text{premier terme}\times\left[\dfrac{1-\left(\text{raison}^{\text{nombre de termes}}\right)}{1-\text{ raison}}\right]}

\bullet\ propriété

Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre d'une suite géométrique alors ils vérifient la relation : a\times C=b^{2}

III. Convergence des suites arithmétiques 

Théorème :

Toute suite arithmétique est divergente.
 
En effet si \left(U_{n}\right) est une suite arithmétique alors 
 
U_{n}=U_{p}+(n-p)\times r=\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{n}

\Rightarrow\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{p}+(n-P)\times r=\pm\infty

\bullet\ Convergence des suites arithmétiques

Soit \left(V_{n}\right) est une suite géométrique de raison q et de premier V_{p} alors V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}
 
\blacktriangleright\ \text{Si }|q|<1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=0\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ converge vers }0.
 
\blacktriangleright\ \text{ Si }q>1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=\pm\infty\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }
 
\blacktriangleright\ \text{Si }q<-1\text{ alors la limite de }q^{n}\text{ lorsque }n\text{ tend vers }+\infty\text{ n'existe pas et }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }

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