Suites Numériques - 1er L
Classe:
Première
I. Suite Arithmétique
$\bullet\ $Définition
On appelle suite arithmétique toute suite $\left(U_{n}\right)$ définie par la relation :
$$U_{n+1}=U_{n}+r\quad ;\quad r\in\mathbb{R}$$
$r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.
Remarque :
$\blacktriangleright\ $Pour montrer qu'une suite est arithmétique il faut et il suffit d'établir que :
$U_{n+1}=-U_{n}=\text{constante}$ et cette constante est la raison.
$\blacktriangleright\ $De même qu'une suite arithmétique est complètement déterminée dés qu'on connait sa raison et son premier terme.
$\bullet\ $Terme général d'une suite arithmétique
Si $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $U_{0}$ alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a :
$$\boxed{U_{n}=U_{0}+nr}$$
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite $\left(U_{n}\right)$ est $U_{p}$ avec $0\leq p\leq n$ alors :
$$\boxed{U_{n}=U_{p}+(n+p)r}$$
$\bullet $Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$ rt de premier $U_{0}.$
On note $S_{n}$ la somme des termes de $\left(U_{n}\right).$ $S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}$
$$\boxed{S_{n}=(n+1)\times\left(\dfrac{U_{0}U_{n}}{2}\right)}$$
Si le premier terme est $U_{p}$ alors $S_{n}=U_{p}+U_{u+1}+U_{u+2}+\ldots+U_{n}$
$$\boxed{S_{n}=(n-p+1)\times\left(\dfrac{U_{p}+U_{n}}{2}\right)}$$
Retenons pour une suite arithmétique
$$\boxed{S_{n}=\text{ Nombre de termes }\times\left(\dfrac{\text{ premier terme+dernier terme}}{2}\right)}$$
$\bullet\ $Propriété
Si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs dans cet ordre dune suite arithmétique alors ile vérifient la relation : $a+c=2b.$
II. suite géométrique
$\bullet\ $Définition
On appelle suite géométrique toue suite $\left(V_{n}\right)$ définie par la relation :
$$\boxed{V_{n+1}=q\times V_{n}\quad ;\quad q\in\mathbb{R}}$$
$q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
$\blacktriangleright\ $Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut et il suffit d'établir que :
$\dfrac{V_{n+1}}{V_{n}}=$constante et cette constante est la raison
$\blacktriangleright\ $De même qu'une suite géométrique est complètement déterminer dès qu'on connait sa raison et son premier terme.
$\bullet\ $Terme général suite géométrique
Si $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier $V_{0}$ alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a :
$$\boxed{V_{n}=V_{0}\times q^{n}}$$
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite $\left(V_{n}\right)$ est $v_{p}$ avec $0\leq p\leq n$ alors :
$$\boxed{V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}}$$
$\bullet\ $Somme des termes d'une suite géométrique
Soit $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier $V_{0}.$
On note $S_{n}$ la somme des termes de $\left(V_{n}\right).$
$S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}$
$$S_{n}=V_{0}\times\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)$$
Si le premier terme est $V_{p}$ alors $S_{n}=V_{p}+V_{p+1}+V_{p+2}\ldots+V_{n}$
$$S_{n}=V_{p}/V_{p}\times\left(\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\right)$$
Retenons pour une suite géométrique
$$\boxed{S_{n}=\text{premier terme}\times\left[\dfrac{1-\left(\text{raison}^{\text{nombre de termes}}\right)}{1-\text{ raison}}\right]}$$
$\bullet\ $propriété
Si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs dans cet ordre d'une suite géométrique alors ils vérifient la relation : $a\times C=b^{2}$
III. Convergence des suites arithmétiques
Théorème :
Toute suite arithmétique est divergente.
En effet si $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique alors
$U_{n}=U_{p}+(n-p)\times r=\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{n}$
$\Rightarrow\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{p}+(n-P)\times r=\pm\infty$
$\bullet\ $Convergence des suites arithmétiques
Soit $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier $V_{p}$ alors $V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}$
$\blacktriangleright\ \text{Si }|q|<1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=0\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ converge vers }0.$
$\blacktriangleright\ \text{ Si }q>1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=\pm\infty\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }$
$\blacktriangleright\ \text{Si }q<-1\text{ alors la limite de }q^{n}\text{ lorsque }n\text{ tend vers }+\infty\text{ n'existe pas et }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }$
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