Suites Numériques - 1er L
Classe:
Première
I. Suite Arithmétique
∙ Définition
On appelle suite arithmétique toute suite (Un) définie par la relation :
Un+1=Un+r;r∈R
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Remarque :
▸ Pour montrer qu'une suite est arithmétique il faut et il suffit d'établir que :
Un+1=−Un=constante et cette constante est la raison.
▸ De même qu'une suite arithmétique est complètement déterminée dés qu'on connait sa raison et son premier terme.
∙ Terme général d'une suite arithmétique
Si (Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0 alors pour tout n∈N on a :
Un=U0+nr
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite (Un) est Up avec 0≤p≤n alors :
Un=Up+(n+p)r
∙Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit (Un) est une suite arithmétique de raison r rt de premier U0.
On note Sn la somme des termes de (Un). Sn=U0+U1+U2+…+Un
Sn=(n+1)×(U0Un2)
Si le premier terme est Up alors Sn=Up+Uu+1+Uu+2+…+Un
Sn=(n−p+1)×(Up+Un2)
Retenons pour une suite arithmétique
Sn= Nombre de termes ×( premier terme+dernier terme2)
∙ Propriété
Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre dune suite arithmétique alors ile vérifient la relation : a+c=2b.
II. suite géométrique
∙ Définition
On appelle suite géométrique toue suite (Vn) définie par la relation :
Vn+1=q×Vn;q∈R
q est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
▸ Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut et il suffit d'établir que :
Vn+1Vn=constante et cette constante est la raison
▸ De même qu'une suite géométrique est complètement déterminer dès qu'on connait sa raison et son premier terme.
∙ Terme général suite géométrique
Si (Vn) est une suite géométrique de raison q et de premier V0 alors pour tout n∈N on a :
Vn=V0×qn
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite (Vn) est vp avec 0≤p≤n alors :
Vn=Vp×qn−p
∙ Somme des termes d'une suite géométrique
Soit (Vn) est une suite géométrique de raison q et de premier V0.
On note Sn la somme des termes de (Vn).
Sn=V0+V1+V2+…+Vn
Sn=V0×(1−qn+11−q)
Si le premier terme est Vp alors Sn=Vp+Vp+1+Vp+2…+Vn
Sn=Vp/Vp×(1−qn−p+11−q)
Retenons pour une suite géométrique
Sn=premier terme×[1−(raisonnombre de termes)1− raison]
∙ propriété
Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre d'une suite géométrique alors ils vérifient la relation : a×C=b2
III. Convergence des suites arithmétiques
Théorème :
Toute suite arithmétique est divergente.
En effet si (Un) est une suite arithmétique alors
Un=Up+(n−p)×r=lim
\Rightarrow\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{p}+(n-P)\times r=\pm\infty
\bullet\ Convergence des suites arithmétiques
Soit \left(V_{n}\right) est une suite géométrique de raison q et de premier V_{p} alors V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}
\blacktriangleright\ \text{Si }|q|<1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=0\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ converge vers }0.
\blacktriangleright\ \text{ Si }q>1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=\pm\infty\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }
\blacktriangleright\ \text{Si }q<-1\text{ alors la limite de }q^{n}\text{ lorsque }n\text{ tend vers }+\infty\text{ n'existe pas et }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }
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