Suites Numériques - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Suite Arithmétique

 Définition

On appelle suite arithmétique toute suite (Un) définie par la relation :
Un+1=Un+r;rR
 
r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarque :

 Pour montrer qu'une suite est arithmétique il faut et il suffit d'établir que :
 
Un+1=Un=constante et cette constante est la raison.
 
 De même qu'une suite arithmétique est complètement déterminée dés qu'on connait sa raison et son premier terme.

 Terme général d'une suite arithmétique

Si (Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0 alors pour tout nN on a :
Un=U0+nr
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite (Un) est Up avec 0pn alors :
 
Un=Up+(n+p)r

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit (Un) est une suite arithmétique de raison r rt de premier U0.
 
On note Sn la somme des termes de (Un). Sn=U0+U1+U2++Un
Sn=(n+1)×(U0Un2)
 
Si le premier terme est Up alors Sn=Up+Uu+1+Uu+2++Un
Sn=(np+1)×(Up+Un2)
 
Retenons pour une suite arithmétique 
Sn= Nombre de termes ×( premier terme+dernier terme2)

 Propriété

Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre dune suite arithmétique alors ile vérifient la relation : a+c=2b.

II. suite géométrique

 Définition 

On appelle suite géométrique toue suite (Vn) définie par la relation :
Vn+1=q×Vn;qR
 
q est appelé la raison de la suite géométrique.

Remarque : 

 Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut et il suffit d'établir que :
 
Vn+1Vn=constante et cette constante est la raison
 
 De même qu'une suite géométrique est complètement déterminer dès qu'on connait sa raison et son premier terme.

 Terme général suite géométrique

Si (Vn) est une suite géométrique de raison q et de premier V0 alors pour tout nN on a :
Vn=V0×qn
 
D'une façon plus générale si le premier terme de la suite (Vn) est vp avec 0pn alors : 
Vn=Vp×qnp

 Somme des termes d'une suite géométrique

Soit (Vn) est une suite géométrique de raison q et de premier V0.
 
On note Sn la somme des termes de (Vn).
 
Sn=V0+V1+V2++Vn
Sn=V0×(1qn+11q)
 
Si le premier terme est Vp alors Sn=Vp+Vp+1+Vp+2+Vn
Sn=Vp/Vp×(1qnp+11q)
 
Retenons pour une suite géométrique 
Sn=premier terme×[1(raisonnombre de termes)1 raison]

 propriété

Si a, b et c sont trois termes consécutifs dans cet ordre d'une suite géométrique alors ils vérifient la relation : a×C=b2

III. Convergence des suites arithmétiques 

Théorème :

Toute suite arithmétique est divergente.
 
En effet si (Un) est une suite arithmétique alors 
 
Un=Up+(np)×r=lim

\Rightarrow\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{p}+(n-P)\times r=\pm\infty

\bullet\ Convergence des suites arithmétiques

Soit \left(V_{n}\right) est une suite géométrique de raison q et de premier V_{p} alors V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}
 
\blacktriangleright\ \text{Si }|q|<1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=0\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ converge vers }0.
 
\blacktriangleright\ \text{ Si }q>1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=\pm\infty\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }
 
\blacktriangleright\ \text{Si }q<-1\text{ alors la limite de }q^{n}\text{ lorsque }n\text{ tend vers }+\infty\text{ n'existe pas et }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }

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