Système d'équations ou d'inéquations du premier degré à deux inconnues - 2nd L

On appelle système d'équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ tout système se ramenant à : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.$ (système de deux équations) où $a\ ;\ b\ ;\ c\ ;\ a'\  ;\ b'$ et $c'$ sont nombres réels tels que $(a\ ;\ b)\neq (0\ ;\ 0)$ et $\left(a'\ ;\ b'\right)\neq (0\ ;\ )$

 

ou $\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+bx&=&c\\ a'c+b'y&=&c'\\ a"x+b"y&=&c" \end{array}\right.$ (système de trois équations) où $a\ ;\ b\ ;\ c\ ;\ a'\ ;\ b'\ ;\ c'\ ;\ a"\ ;\ b"\ ;\ $ et $c"$ sont des nombres réels tels que $(a\ ;\ b)\neq (0\ ;\ 0)\ ;\ \left(a'\ ;\ b'\right)\neq (0\ ;\ 0)$ et $\left(a"\ ;\ b"\right)\neq (0\ ;\ 0)$

 

Exemples : 

Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ suivant :

 

$(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.$ où $(a\ ;\ b)\neq (0\ ;\ 0)$ et $\left(a'\ ;\ b'\right)\neq (0\ ;\ 0)$

 

Pour savoir si ce système $(S)$ admet une solution ou pas, on calcule:

 

$-\ $d'abord le déterminant principale $\Delta$ :

 

$\Delta=\begin{vmatrix} a b\\ a' b' \end{vmatrix}=(a)(b')-(a')(b)$ ;

 

$-\ $ensuite le déterminant relatif à $x$ $\left(\Delta x\right)$ et le déterminant relatif à $y$ $\left(\Delta y\right)$ :

 

$\Delta x=\begin{vmatrix} c b\\ a' b' \end{vmatrix}=(c)\left(b'\right)-\left(b'\right)(c)$ et $\Delta y\begin{vmatrix} a c\\ a' c' \end{vmatrix}=(a)\left(c'\right)-\left(a'\right)(c)$ ; 

 

en fin, on discute sur les valeurs trouvées et pour cela on peut rencontrer un des trois cas suivants :

 

$\ast\ \Delta=0$ et $\Delta x=\Delta y =0$ alors le système $(S)$ admet une infinité de solutions.

 

$\ast\ \Delta=0\ ;\ \Delta x\neq 0$ et $\Delta y\neq 0$ alors le système $(S)$ n'admet pas de solutions.

 

$\ast\ \Delta\neq 0$ ; quel que soit $\Delta x$ et quel que soit $\Delta y$, alors le système )$(S)$ admet un couple $(x\ ; \ y)$ 

solution

 

(où $(x\ ;\ y)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R})$, on lit $(x\ ;\ y)$ appartient à $<<\mathbb{R}\text{croix }\mathbb{R}>>$

 

Exemples : 

 

3. Les méthodes pour résoudre un système : 

 

a. Méthode d'addition : 

 

La méthode d'addition consiste à multiplier l'une ou les deux équations par un coefficient ou des coefficients de telle sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, on élimine une inconnue.

 

Exemples :

La méthode de substitution, consiste à isoler l'une des inconnues (au choix) dans l'une des équations puis remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.

 

Exemples :

La méthode graphique, consiste à écrire chaque équation du système sous la forme

 

réduite: $<<y=ax+b>>$ ; à tracer les droites dans un repère orthogonal $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ et à lire, si elles existent les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

 

Exemples :

 

 Méthode de CRAMER :

Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et  $y$ suivant :

 

$(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.\text{ où } (a\ ;\ b)\neq (0\ ;\ 0)$ et $\left(a'\ ;\ b'\right)\neq (0\ ;\ 0)$

 

$\ast\ $Le réel $\Delta x=\begin{vmatrix} a b\\ a' b' \end{vmatrix}=(a)\left(b'\right)-\left(a'\right)(b)$, est appelé déterminant principal du système.

 

$\ast\ $Le réel $\Delta x=\begin{vmatrix} c b\\ c' b' \end{vmatrix}=(c)\left(b'\right)-\left(c'\right)(b)$ est appelé déterminant relatif à $x.$

 

$\ast\ $Le réel $\Delta y=\begin{vmatrix} a c\\ a' c' \end{vmatrix}=(a)\left(c'\right)-\left(a'\right)(c)$, est appelé déterminant relatif à $y$

 

b. Comment un système par la méthode de CRAMER ?

 

Pour résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ par la méthode de CRAMER, on peut procéder comme suit :

 

$-\ $d'abord, voir si le système est sous forme la forme : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.$ si non le ramené à cette forme.

 

$-\ $ensuite, on calcule le déterminant principal ∆ et le déterminant relatif à $x$ et à $y$ : $\Delta x$ et $\Delta y.$

 

$-\ $en fin, on regarde les valeurs des déterminants trouvées pour donner la solution du système.

 

Pour ce qui est de la solution, on peut rencontrer un des trois cas suivants :

 

$ast\ $si $\Delta\neq 0$ ; quel que soit $\Delta x$ et quel que soit $\Delta y$, alors le système admet un couple $(x\ ;\ y)$ solution avec

 

$x=\dfrac{\Delta x}{\Delta}$ et $y=\dfrac{\Delta y}{\Delta}$ donc l'ensemble solution $S=\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta}\ ;\ \dfrac{\Delta y}{\Delta}\right)$

 

$\ast\ $Si $\Delta=\Delta x=\Delta y=0$alors le système admet une infinité de solutions :

 

$S={(x\ ;\ y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}/ax+by=c}$ ; 

 

$\ast\ \Delta=0\ ;\ \Delta x\neq 0\ ;\ \Delta y\neq 0$, alors le système n'admet pas de solution : $S=\phi$