Devoir n°4 - Ts2

 

1) Déterminer la limite à droite et à gauche, en 0 de la fonction f telle que

$$f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x^{2}-2x|x|}$$

2) a) Montrer que sur $\mathbb{R}^{\ast}$ on a : $3\leq 4-\sin\dfrac{1}{x}\leq 5$

 

b) Etudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction f :

 

 $x\mapsto\dfrac{4-\sin\dfrac{1}{x}}{x}$

Déterminer limite, pour $x\mapsto +\infty\text{ et pour }x\mapsto -\infty$, de la fonction f dans les cas suivants :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}-5}{x^{4}+1}\sin2x^{2}.$

 

Indication :

Procéder par comparaison.

 

$2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x-\sqrt{x^{2}+x+2}}{3x-\sqrt{9x^{2}+x}}\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$

Déterminer, quand $x$ tend vers $x_{0}$, la limite de la fonction f dans les cas suivants :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}-5}{x+\sqrt{x+2}-4}\;,\ x_{0}=2\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}-3x-x}}{\sqrt{x^{2}+2x+4}}\;,\ x_{0}=0$

 

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x(1-\sin x)}{\cos x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

 

$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\cos^{3}x+3\cos x-5}{\sin^{2}x}\;,\ x_{0}=0$

 

(Indication : Poser $u=cos x$)

1) Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x)=2x^{3}+3x^{2}+1$$

Montrer qu'il existe un réel unique $a$ tel que $g(a)=0\text{ et que }a\in [-1.68\;;\ 1.67].$

 

Déterminer le signe de $g\text{ sur }\mathbb{R}.$

 

2) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par

 

$f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x+1}$

 

a) Étudier les variations de $f.$

 

b) Montrer que, si $x\in\;[-1.68\;;\ -1.67]\ :\ |f'(x)|\leq 0.116.$

 

c) Montrer que $|f(a)-f(-1.67)|\leq 0.00116$

 

Indication : Utiliser l'inégalité des Accroissements finis.

 

En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $f(a)$

1) Soit $f$ la fonction définie par :

 

$f(x)=-x^{2}+2m x-m\text{ et }\mathcal{C}$ sa représentation graphique.

 

Déterminer $m$ pour que la courbe représentative de $f$ admette au point d'abscisse 2 une tangente $T$ de coefficient directeur 0.

 

2) Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=-x^{2}+4x-4$

 

Étudier $g$ et en faire la représentation graphique.

 

3) On désigne par $h$ la restriction de $g$ à $[-\infty\;,\ 2[.$

 

Montrer que $h$ est une bijection de $[-\infty\;,\ 2[$ vers $[-\infty\;,\ 0[.$

 

4) Soit $h^{-1}$ la bijection réciproque et $\mathcal{C}^{-1}$ sa représentation graphique.

 

a) Tracer $\mathcal{C}^{-1}$ sans déterminer $h^{-1}$

 

b) Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}^{-1}$ au point $A$ d'abscisse -1.

 

c) Déterminer $h^{-1}$ en donnant l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image d'un élément $x.$

 

d) Déterminer $(h^{-1})'$ et retrouver une équation de la tangente à $\mathcal{C}^{-1}$ au point d'abscisse -1.

1) Déterminer une primitive sur$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ de la fonction : $x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ 

 

2) On considère la fonction $G$, définie sur $\left[0\;;\ \right]$ par :

 

$G(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}$

 

Montrer que $G$ est dérivable sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}]\right]$ et que :

 

$G'(x)=\dfrac{3}{\cos^{4}x}-\dfrac{2}{\cos^{4}x}.$

 

3) En déduire une primitive sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$, de la fonction :

 

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{4}x}.$

Dans une classe de 35 élèves, le professeur de mathématiques pose les deux questions suivantes à chacun de ses élèves, qui répondent pour chaque question par OUI ou NON.

 

Question 1 : aimez-vous les mathématiques ?

 

Question 2 : aimez-vous votre lycée ?

 

Le professeur constate que :

 

20 élèves sont répondu OUI à la question 1

 

12 élèves sont répondu NON à la question 2

 

5 élèves sont répondu NON au deux questions

 

Calculer le nombre d'élèves ayant répondu OUI aux deux questions.  

Pour relier deux villes $A\text{ et }B$,on dispose de 4 itinéraires possibles, et pour relier les villes $B\text{ et }C$, on dispose de 3 itinéraires possibles.

 

Partant de la ville $A$, un représentant se rend à la ville $C$ en passant par $B$, puis revient en $A$ en repassant de nouveau par $B$

 

1) Déterminer le nombre des  trajets aller-retour tels que aucun des itinéraires reliant les villes et utilisés à l'aller, ne soit utilisé au retour

 

2) Déterminer le nombre des trajets aller-retour tels que exactement un des itinéraires reliant les villes et utilisés à l'aller, soit utilisé au retour.

 

3) Déterminer le nombre des trajets aller-retour tels que l'on utilise le même itinéraire entre les villes $B$ et $C$ à l'aller et au retour.