BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_mars 2004

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le quadrilatère ABCD tel que :

\[\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}}\right) = \alpha \quad [2\pi],~\left(\overrightarrow{\text{CD}},~\overrightarrow{\text{CB}}\right) = \beta \quad [2\pi],~0

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :

\[\left(\overrightarrow{\text{DC}},~\overrightarrow{\text{DP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \left(\overrightarrow{\text{DA}},~\overrightarrow{\text{DQ}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

\[\left(\overrightarrow{\text{BA}},~\overrightarrow{\text{BM}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\quad \text{et}\quad \left(\overrightarrow{\text{BC}},~\overrightarrow{\text{BN}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

Soit $a, b, c$ et $d$ les affixes respectives des points A, B, C et D, $m, n, p$ et $q$
les affixes respectives des points M, N, P et Q.

Démontrer les relations suivantes :

\[m = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b) + b, \qquad n = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - b) + b,\]

\[p = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - d) + d, \qquad q = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - d) + d.\]

En utilisant les relations précédentes :

Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.

Démontrer que l'on a :

\[ \left(\overrightarrow{\text{AC}},~\overrightarrow{\text{QP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{AC} = \text{QP}\]

\[\left(\overrightarrow{\text{NP}},~\overrightarrow{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{et} \quad \text{NP} = \text{BD}.\]

Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient :

\[\text{AC} = \text{BD} \quad \text{et} \quad \left(\overrightarrow{\text{AC}},~\overrightarrow{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\]

où $k$ est un entier relatif.