Devoir n°5 - Ts2

 

Ce devoir consiste en un questionnaire à choix multiples (QCM).

 

Pour chaque question, il y a plusieurs réponses proposées dont une seule est exacte.

 

L'élève devra cocher au crayon la réponse qui lui semble correcte.

 

Toute réponse correcte rapporte 1 point.

 

Toute réponse erronée ou multiple sera sanctionnée par le retrait d'un quart de point (0.25 pt).

 

Une absence de réponse ne rapporte pas de point et n'est pas pénalisée.

 

1) Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\sin^{2}x \cos 2x.$

 

a) $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\quad$ b) $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

 

c) $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad$ d) $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

 

e) $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

 

2) Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llll} ax+\dfrac{1}{12} & \text{ si }x & \in&[0\;;\ 1]\\ \\ \dfrac{x^{2}+3x-4}{x^{3}+4x^{2}+x-6} & \text{  si }x & \in&]1\;;\ +\infty] \end{array}\right.$$

a) Si $a=\dfrac{1}{3}\;,\ f$ est continue sur $[0\;;\ +\infty[$

 

b) Si $a=\dfrac{5}{12}\;,\ f$ est continue sur $[0\;;\ +\infty[$

 

c) Si $a=-\dfrac{1}{12}\;,\ f$ est continue sur $[0\;;\ +\infty[$

 

d) $\forall\;a\in\mathbb{R}\;,\ f$ est continue sur $[0\;;\ +\infty[$

 

e) $\forall\;a\in\mathbb{R}\;,\ f$ n'est pas continue en $1.$

 

3) Soit $f$ la fonction définie par :

 

$f(x)=\dfrac{\tan x-1}{x-\dfrac{\pi}{4}}$

 

a) $\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{4}}f(x)=-\infty$

 

b) $\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{4}}f(x)=0$

 

c) $\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{4}}f(x)=2$

 

d) $\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{4}}f(x)=+\infty$

 

e) $f$ n'admet pas de limite en $\dfrac{\pi}{4}.$

 

4) Soit l'équation $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right).$

 

a) L'équation n'admet pas de solution.

 

b) L'ensemble des solutions est :

 

$S=\left\lbrace -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\;,\ k\in\;\mathbb{Z}\right\rbrace .$

 

c) L'ensemble des solutions est :

 

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\;,\ k\in\;\mathbb{Z}\right\rbrace.$

 

d) L'ensemble des solutions est :

 

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{12}\;;\ \dfrac{11\pi}{12}\right\rbrace.$

 

e) L'ensemble des solutions est :

 

$S=\left\{x\in \;\mathbb{R}\;,\ \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\;,\ k\in\;\mathbb{Z}\right\}.$

 

5) L'équation $2\sin^{2}x-\cos x-1=0$ admet dans $[-\pi\;;\ \pi]$ :

 

a) $1$ solution b) $2$ solutions c) $3$ solutions d) $4$ solutions e) une infinité de solutions.

 

6) Dans une urne, on a deux boules blanches, trois boules noires, quatre boules vertes et quatre boules rouges.

 

On tire au hasard deux boules simultanément.

 

Quelle est la probabilité d'avoir deux boules de même couleur ?

 

a) $\dfrac{1}{2}\quad$ b) $\dfrac{16}{4!}\quad$ c) $\dfrac{1}{4}\quad$ d) $\dfrac{8}{39}\quad$ e) $\dfrac{4\times 2!}{4!}$

 

7) On considère la courbe $\mathbb{C}$ représentative de la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}$$

a) $A\left(\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{1}{2}\right)$ est centre de symétrie.

 

b) $A\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\ 1\right)$ est centre de symétrie.

 

c) La droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{4}$ est un axe de symétrie.

 

d) La droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$ est un axe de symétrie.

 

e) La courbe n'admet aucune symétrie.

 

8) Soit $f$ la fonction définie par :

 

$f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+4}-\sqrt{x^{2}+3x-4}$

 

a) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

 

b) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-6$

 

c) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-3$

 

d) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$

 

e) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

 

9) A partir des chiffres $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6$ combien peut-on former de nombres de trois chiffres (chaque chiffre pouvant être utilisé plusieurs fois), dont deux chiffres au moins sont identiques ?

 

a) $20$   b) $96$   c) $120$   d) $210$   e) $216$

 

10) On considère la fonction f définie par :

 

$f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{|x^{2}-1|}}{x}$ pour $x\in\;\mathbb{R}\setminus \{0\}$

 

a) $f$ est dérivable au point $x=1.$

 

b) La courbe représentative de $f$ possède un axe de symétrie.

 

c) La droite d'équation $y=\dfrac{x}{2}$ est asymptote à la courbe représentative de $f.$

 

d) L'équation $f(x)=0$ possède $4$ solutions.

 

11) Soit $f$ la fonction définie par : $\tan(1+x^{2})$

 

a) $f'(x)=2x(1+\tan^{2}x)$

 

b) $f'(x)=x[1+\tan^{2}(1+x^{2})]$

 

c) $f'(x)=\dfrac{2x}{\cos^{2}(x^{2}+1)}$

 

12) $\cos^{4}x\text{ est égal à }:$

 

a) $\dfrac{\cos 4x+4\sin 2x+3}{8}$

 

b) $\dfrac{\cos 4x-4\cos 2x+6}{16}$

 

c) $\dfrac{\sin 4x+4\cos 2x+6}{8}$

 

d) $\dfrac{\sin 4x+4\sin 2x+3}{16}$

 

13) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

 

$f(x)=\dfrac{x}{2}+ \sin (\pi x).$

 

a) La fonction $f$ est périodique, de période 2.

 

b) La fonction $f$ est impaire.

 

c) Pour tout $x$ réel :

 

$f(x+2)=f(x)+2$

 

d) $f'(x)=\dfrac{1}{2}+ \cos(\pi x).$

 

14) Dans un lycée, tous les élèves pratiquent au moins un des deux sports proposés : le football et le basket.

 

145 élèves pratiquent le football, 192 pratiquent le basket et 69 pratiquent les deux sports.

 

Quel est l'effectif de ce lycée ?

 

a) $69$   b) $199$   c) $268$   d) $337$    e) $406$

 

15) Une salle de classe contient 40 chaises.

 

De combien de façons différentes peut-on y installer $40$ élèves ?

 

a) $2^{40}\qquad \text{b) }40^{2}\qquad \text{c) }40!\qquad \text{d) }C_{40}^{40}\qquad \text{e) }40^{40}$