Devoir n°13 - Ts2

 

(LCG 2006)

 

Calculer les limites suivantes :

 

$\text{a) }\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\quad \text{b) }\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\sqrt{x}}\quad \text{e) }\lim_{x\rightarrow +\infty}(7^{x}-x^{99})$

 

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

 

$f(x)=\mathrm{e}^{-x}\ln(1+\mathrm{e}^{x}).$

 

a) Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x).$

 

b) Démontrer que $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-x}\ln(1+\mathrm{e}^{-x})\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}$ , et en déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

 

c) Déterminer les équations des asymptotes $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

 

Soit $f$ la fonction définie par :

 

$f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}.$

 

a) Déterminer son domaine de définition et les limites aux bornes de $D_{f}.$

 

b) Déterminer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f\text{ sur }D_{f}.$

 

Pour un examen, 10 enseignants ont préparé chacun 2 sujets.

 

On dispose donc de 20 sujets que l'on place dans des enveloppes identiques.

 

2 candidats se présentent :

 

chacun choisit au hasard 2 sujets ; de plus, on suppose que les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.

 

On note $A_{1}$ l'événement :

 

« les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur » et 

 

$A_{2}$ l'événement :

 

« les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur ».

 

On note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A.$

 

1) Montrer que la probabilité de l'événement $A_{1}$ est égale à $\dfrac{1}{19}.$

 

2) a) Calculer directement la probabilité conditionnelle $p(A_{2}/A_{1}).$

 

b) Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d'un même examinateur est égale à $\dfrac{1}{323}.$

 

3) a) Calculer $p(A_{2}/\overline{A}_{1}).$

 

b) En remarquant que $A_{2}=(A_{2}\cap A_{1})\cup(A_{2}\cap \overline{A}_{1})$, calculer $p(A_{2})$ , puis en déduire que $p(A_{2}\cup A_{1})=\dfrac{33}{323}.$

 

Un sac contient 4 jetons rouges numérotés $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }4$ jetons noirs numérotés $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4.$

 

Un joueur tire au hasard et simultanément deux jetons du sac.

 

On convient de la règle suivante :

 

S'il tire les deux jetons numérotés 1, il gagne 600 F.

 

S'il tire deux jetons de couleurs différentes, il gagne 200 F.

 

Dans tous les autres cas, il perd 200 F.

 

Après le premier tirage, le joueur remet les deux jetons tirés dans le sac et procède à un deuxième tirage de deux jetons en convenant de la même règle.

 

Soit $X$ la variable aléatoire qui à deux tirages successifs associe le « gain » du joueur (positif ou négatif).

 

a) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

 

b) Déterminer son espérance et sa variance.

 

c) En déduire la probabilité pour que le gain du joueur soit au moins égal à 400 F.