Devoir n°17 - Ts2

 

 

(LCOFT 2006)

 

1) Démontrer que l'expression $\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ est définie pour tout réel $x.$

 

2) Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}).$

 

a) Montrer que $\forall\;x \in\mathbb{R}\;,\ (x+\sqrt{x^{2}+1})(-x+\sqrt{x^{2}+1})=1.$

 

b) En déduire que $f$ est impaire.

 

c) Étudier les variations de $f.$

 

d) Tracer la courbe représentative $(\mathcal{C})\text{ de }f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $1\;cm).$

 

Préciser les branches infinies et la tangente au point d'abscisse 0.

 

3) Montrer que $f$ admet une application réciproque $f^{-1}.$

 

Expliciter $f^{-1}$ et tracer $\mathcal{C}_{f}^{-1}$ dans le même repère (utiliser une couleur différente).

 

Une urne contient douze boules indiscernables au toucher : 

 

$m$ boules blanches et $n$ boules noires.

 

1) On tire successivement deux boules de l'urne , la boule tirée n'étant pas remise dans l'urne après le premier tirage.

 

Déterminer le couple $(m\;,\ n)$ pour que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à $\dfrac{16}{33}.$

 

2) On prend désormais $m=8\text{ et }n=4.$

 

On tire successivement trois boules de l'urne, la boule tirée étant remise dans l'urne après chaque tirage.

 

a) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule blanche.

 

b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche et au moins une boule noire

 

N.B. $On \ donnera\  les \ résultats\  sous \ forme\  de\  fractions\  irréductibles.$

 

I. On considère la fonction u :

\begin{eqnarray} [0\;;\ +\infty[&\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber \\ x&\mapsto &\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|-\dfrac{2 x}{x^{2}-1}\nonumber \end{eqnarray}

 

1) Déterminer l'ensemble de définition de $u$ ; Calculer $u(0)\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x).$

 

2) Étudier les variations de $u.$

 

Dresser son tableau de variations (il n'est pas nécessaire de calculer la limite de $u$ en 1).

 

3) Déduire des résultats précédents que :

 

a) $\forall x \in\;[0\;;\ 1[\;,\ u(x)\geq 0.$

 

b) $\forall x \in ]1\;;\ +\infty[\;,\ u(x)<0.$

 

II Soit $h$ la fonction définie par : 

\begin{eqnarray} h\ :\;[0\;;\ +\infty[ &\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber \\ x &\mapsto &x\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|-1 \nonumber \end{eqnarray} 

 

1) Déterminer $D_{h}$; puis étudier la limite de $g$ en 1.

 

2) a) Vérifier que :

 

$\dfrac{x+1}{x-1}-1+\dfrac{2}{x-1}$ 

 

Montrer que :

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{(x-1)}{2}\ln\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)=1$

 

b) En déduire que $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=1$

 

Interpréter géométriquement ce résultat.

 

c) Dresser le tableau de variations de $h.$

 

d) Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ unique appartenant à $]0\;;\ 1[$ tel que $g(\alpha)=0.$

 

Donner un encadrement d'ordre 1 de $\alpha.$

 

3) Tracer la courbe $\mathcal{C}_{h}\text{ de }h$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité : $2\;cm).$