BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2000

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble
des nombres complexes$\mathbb{C}$, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument
$\dfrac{\pi}{2}$.
On appelle $f$ l'application, qui, à tout nombre complexe $z$ différent de
$- 2$, associe
\[Z = f(z) = \dfrac{z - 2 + \text{i}}{z + 2\text{i}}.\]

Si $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant deux réels,
exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.
On vérifiera que $\Re(Z) = \dfrac{x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2}{x^2 + (y +
2)^2}$.
En déduire la nature de :

l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel;
l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan, tels que $Z$ soit un
imaginaire pur éventuellement nul.
Représenter ces deux ensembles.

On appelle $A$ et $B$ les points d'affixes respectives
$z_{A} = 2 - \text{i}$ et $z_{B} = - 2\text{i}$.
En remarquant que $Z = \dfrac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$ , retrouver les ensembles
$E$ et $F$ par une méthode géométrique.
Calculer $|f(z) - 1| \times |z + 2\text{i}|$, et en
déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$
parcourt le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.