Devoir n°16 - Ts2

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ I\;,\ J)$ d'unité $2\;cm.$

 

$A(1+\mathrm{i})\text{ et }B(-1+\mathrm{i}\sqrt{3})$ sont deux points du plan.

 

1) Les points $O\;,\ A\text{ et }B$ sont-ils alignés ? Justifier la réponse.

 

2) Déterminer le rapport et l'angle orienté de la similitude directe $S$ de centre $O$ qui transforme $A\text{ en }B.$

 

3) Quelle est l'écriture complexe de $S$ ?

 

4) Déterminer et construire l'image par $S$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation : 

 

$y=\dfrac{1}{2}x-1.$

 

5) Déterminer et construire l'image par $S$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O(2\mathrm{i})$ et de rayon $r=1.$

 

1) Linéariser $A(x)=\sin^{5}\cos^{2}x.$

 

2) Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation :

 

$z^{3}-2z^{2}+z=0.$

 

En déduire les solutions dans $\mathcal{C}$ de l'équation : 

 

$\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^{3}-2\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)-2=0.$

 

Soit la fonction $f$ :

 

\begin{eqnarray} \left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[&\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber \\ x&\mapsto &\dfrac{1}{\sin 2 x}\nonumber \end{eqnarray}

 

1) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

 

2) Calculer la fonction dérivée $f'\text{ de }f.$ 

 

En déduire le tableau de variation de $f.$

 

3) Soit $g$ la restriction de $f\text{ à }\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$ 

 

Montrer que $g$ est une bijection de $\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ sur un ensemble $J$ à préciser.

 

4) Déterminer le domaine de dérivabilité de la bijection réciproque $g^{-1}.$

 

5) Calculer $(g^{-1})'(2).$