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Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - Ts

Classe:

Terminale

Simplification d'écriture

Exercice 1

1) Simplifier

$\ln(n^{7})-12\ln\sqrt{n}+\ln\left(\dfrac{2}{n}\right)\text{ pour }n\in\mathbb{N}^{\ast}.$

2) Montrer que

$\ln(5000)^{3}=12\ln 5+9\ln 2.$

3) Simplifier l'expression suivante après avoir déterminé pour quelles valeurs elle est définie :

$\ln\dfrac{x+5}{x+3}-\ln(x+5)+\ln(x+3).$

4) Montrer que, pour tout

$x>0$ :

$\dfrac{\ln \left(\dfrac{2\mathrm{e}}{x}\right)}{\ln 2}=1+\dfrac{1-\ln x}{\ln 2}$

5) Simplifier

$\ln\mathrm{e}^{4}+ln\dfrac{1}{\mathrm{e}^{4}}+\ln\sqrt{e}-\ln\dfrac{1}{\sqrt{e}}$

6) Calculer

$y$ sachant que :

$\ln y=\ln(7+5\sqrt{2})+8\ln(\sqrt{2}+1)+7\ln(\sqrt{2}-1)$

7) Démontrer l'égalité :

$\dfrac{7}{16}\ln(3+2\sqrt{2})-4\ln [\sqrt{2}+1)=\dfrac{25}{8}\ln(\sqrt{2}-1).$

Équations et Inéquations

Exercice 2

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ :

$\ln x=-4\quad 2)\ \ln(x+2)+\ln(x-2)=\ln(2x+11)$

$3)\ ln(x+4)+ln x=0\quad 4)\ \ln(2x+1)-\ln(x+2)=ln(2-x)$

$5)\ 2\ln x=ln(2x-1)\quad 6)\ 2\ln x=\ln 2.$

$7)\ \ln(x^{2}-4)=\ln(2x+11)\quad 8)\ \ln x(x+4)=0$

$9)\ \ln x+\ln x^{2}=\ln 8\quad 10)\ 2\ln x=ln(-2x-11)$

$11)\ \dfrac{\ln|x-3|}{\ln|2x+1|}=\dfrac{\ln|2x+1|}{\ln|x-3|}\quad 12)\ \ln(x^{2}+2x-3)-2\ln(x-1)=2$

$13)\ \ln(x+3)+\ln(x+2)=\ln(x+11)\quad 14)\ \ln(x^{2}+5x+6)=\ln(x+11)$

$15)\ \ln(-x-2)=\left(\dfrac{-x-11}{x+3}\right)\quad 16)\ \ln(x+2)=\ln(-x-11)\ln(x+3)$

$17)\ \ln^{2}x+\ln x-6=0\quad 18)\ 2\ln^{2}-3\ln x-2=0$

$19)\ \ln^{2}x-3\ln x=0\quad 20)\ \ln^{3}x-2\ln^{2}x-\ln x+2=0$

$21)\ \ln[\ln(x-1)(x^{2}-x-1)]=\ln[\ln(8x+1)]\quad 22)\ \ln^{4}x-34ln^{2}x+225=0.$

Exercice 3

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ :

$1)\ \ln x<-2\quad 2)\ 2\ln x\leq\ln 3\quad 3)\ \ln x^{2}\leq\ln 3$

$4)\ \ln(x+3)+\ln(x-4)<2\ln(x-1)\quad 5) \ \ln[(x+3)(x-4)]<\ln(x-1)^{2}$

$6)\ 1+\ln(x+3)>\ln(x^{2}+2x-3)\quad 7)\ \ln(\ln(x^{2}+1)>0$

$8)\ \ln\left(\dfrac{3x+1}{x+2}\right)<0\quad 9)\ \ln^{2}x+\ln x-2>0\quad 10)\ \ln^{2}x-3\ln x\leq 0.$

Calculs de limites

Exercice 4

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition :

$1)\ f\ :\ x\mapsto x-\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto (\ln x)^{2}-x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x+1}{\ln x-1}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+1)-\ln(x-1)\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+\ln x}{(\ln x)}$

$6)\ f\ :\ x\mapsto (1-x)^{2}-\ln x\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{x}-x$

$8)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{x+1}-x\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln[2x+1)}{\ln x}$

$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{x}\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}$

$12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{2-x} \quad 13)\ f\ :\ x\dfrac{\ln(x^{2}+1)}{x}$

$14)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x^{2}-x-2)\quad 15)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}-1}{x\ln x}$

$16)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)\quad 17)\ f\ :\ x\mapsto 2x\ln x-x^{2}$

$18)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x-1}+\ln(x-1)\quad 19)\ f\ :\ x\mapsto\ln|1-x|$

$20)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\ln x+1}{2x}\quad 21)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$22)\ f\ :\ x\mapsto(x+1)\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\quad 23)\ f\ :\ x\mapsto(x-2)\ln\left(\dfrac{x+1}{x^{2}-4x+4}\right)$

$24)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}-4x+3}\right)$

Exercice 5

a) Déterminer, lorsque

$x$ tend vers zéro, la limite de

$f(x)$ dans chacun des cas suivants :

$1)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+2x)}{x}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\sin x}{x}$

$3)\ f(x)=\dfrac{x+2}{x}\ln\left(1+\dfrac{x}{x+2}\right)$

b) Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués :

$1)\ f(x)=\dfrac{\ln(\tan x)}{\sin x-\cos x}\;;\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\cos x}{\cos x}\;;\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

$3)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\sin x}{\sin x}\;;\ x_{0}=0\quad 4)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x}+\ln x-\ln(x+1)\;;\ x_{0}=0\;,\text{ puis }x_{0}=+\infty$

$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}\sqrt{|\ln x|}}{x-1}\;;\ x_{0}=1\quad 6)\ f(x)=\dfrac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}\;;\ x_{0}=\mathrm{e}$

$7)\ f(x)=\sin x\ln x\;;\ x_{0}=0\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto x\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\;;\ x_{0}=+\infty$

$9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x-2}\ln(x-1)\;;\ x_{0}=2$

Dérivées

Exercice 6

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminé l'ensemble de dérivabilité.

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{2x-3}{x-1}\right)$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\ln[(2x+1)(x-3)]\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{1-\ln x}$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{2x-1}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left|\dfrac{3x-1}{x+1}\right|$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\ln|\ln x|\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

$9)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$

Primitives

Exercice 7

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2}{3-x}\text{ sur }]3\;;\ +\infty[\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}\text{ sur }]-\infty\;;\ +\infty[$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x\ln x}\text{ sur }]1\;;\ +\infty[\;,\text{ puis sur }]0\;;\ 1[$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\tan x\text{ sur }]-2\;;\ 0[\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x-1}{x^{2}-2x+3}\text{ sur }\mathbb{R}$

$6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{2x+1}\text{ sur }\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right[\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\ln x}{x}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[$

$8)\ f\ :\ x\dfrac{2x^{2}+x-1}{x^{2}}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[\quad 9)\ f\ :\ x\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$

$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+\tan^{2}x}{\tan x}\text{ sur }\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(x+1)[\ln(x+1)]^{2}}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[$

$12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x}{1-x^{2}}+\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\text{ sur }]-1\;;\ 1[$

$13)\ f\ :\ x\mapsto 1+\ln x\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$

(Indication : écrire

$1=x\times\dfrac{1}{x}).$

En déduire les primitives de

$\ln\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$

$14)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{13x+1}{x(x+1)}$ (on mettra d'abord

$f(x)$ sous la forme

$\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}\text{ avec }a\text{ et }b$ réels)

Exercice 8

Dans chacun des cas suivants, déterminer les nombres réels

$\alpha\text{ et }\beta$ annulant le polynôme dénominateur.

Déterminer des réels

$a\;,\ b\text{ et }c$ tels que, pour tout

$x$ élément de l'ensemble de définition de

$f$ , on ait :

$f(x)=a+\dfrac{b}{x-\alpha}+\dfrac{c}{x-\beta}.$

En déduire une primitive de la fonction étudiée.

$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-x}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}}$

$3)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+4x-5}{1-x^{2}}\quad 4)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-4x+3}$

$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-2x-8}\quad 6)\ f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+x-12}$

Exercice 9

Trouver les réels

$a\text{ et }b$ tels que :

$\forall \;x \in\;\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;,\ \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{a\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{b\cos x}{1+\sin x}$

En déduire les primitives sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ de la fonction

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\cos x}.$

Exercice 10

Soit

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{ et }g\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}.$

1) Donner une primitive sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ de chacune des fonctions

$h_{1}\ :\ x\mapsto f+g\text{ et }h_{2}\ :\ x\mapsto f-g$

2) En déduire une primitive sur

$\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ de chacune des fonctions

$f\text{ et }g.$

Exercice 11

Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}-x-6}$

1) a) Mettre

$f(x)$ sous la forme

$\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{b}{x-3}\;,\ \forall \;x \in D_{f}.$

b) En déduire la primitive sur

$]-2\;;\ 3[\text{ de }f$ qui s'annule en 2.

2) Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=\dfrac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1}$

a) Trouver les réels

$a\;,\ b\text{ et }c$ tels que :

$\forall \;x \in D_{f}\;,\ f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+x+1}$

b) En déduire la primitive

$F\text{ de }f\text{ sur }]-\infty\;;\ 1[\text{ de }f \text{ telle que }F(-1)=-\ln 2.$

Étude de fonctions

Exercice 12

Étudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe représentative dans le plan rapporté à un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

$1)\ f\ :\ x\mapsto x\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\ln^{2}x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(\ln x)^{2}} \quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\ln x}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^{2}}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|$

Exercice 13

Soit

$f$ l'application de

$\mathbb{R}^{\ast}\setminus\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\right\rbrace\text{ dans }\mathbb{R}$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x+1}{2x+1}+\ln|x|.$

1) Étudier les variations de la fonction

$f.$

2) Soit

$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

N.B.

(La construction de

$\mathcal{C}$ n'est pas demandée).

Montrer que

$\mathcal{C}$ coupe l'axe

$(O\;,\ \vec{i})$ en trois points d'abscisses

$a\;,\ b\text{ et }c$ tels que :

$-1\leq a\leq -\dfrac{1}{2}\;\ -\dfrac{1}{4}<b<-\dfrac{1}{8}\;;\ \dfrac{3}{8}<c<\dfrac{1}{2}.$

Exercice 14

Soit

$f$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln\dfrac{1}{|x|}\text{ si }x\neq 0 \\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$

1) Montrer que

$f$ est continue au point

$x=0.$

Étudier la dérivabilité de

$f$ en 0 2) Étudier les variations de

$f.$

Donner une équation de la tangente en

$A$ d'abscisse 1.

Étudier la position relative de

$\mathcal{C}_{f}$ et de la tangente en

$A.$

3) Tracer

$\mathcal{C}_{f}.$

Exercice 15

Soit

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x-\ln x}$

1) Étudier les variations de

$g\ :\ x\mapsto x-\ln x.$

En déduire l'ensemble de définition de

$f.$

2) Montrer que l'on peut prolonger

$f$ par continuité à droite au point

$x=0.$

Soit

$h$ ce prolongement. Étudier la dérivabilité de

$h$ en 0.

3) Étudier les variations de

$h.$

4) Donner une équation de la tangente à

$\mathcal{C}_{h}$ au point d'abscisse 1 et préciser la position de

$\mathcal{C}_{h}$ par rapport à cette tangente.

5) Tracer

$\mathcal{C}_{h}$ dans un repère orthonormé.

Exercice 16

Soit

$f$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x^{2}\sqrt{|\ln x|}\text{ si }x\neq 0\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$

1) Montrer que

$f$ est dérivable en 0 et préciser

$f'(0).$

2) Étudier la dérivabilité de

$f$ en 1.

3) Étudier les variations de

$f.$

4) Construire

$\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal.

Exercice 17

Soit la fonction

$f$ définie sur

$I=\left[\mathrm{e}\;;\ +\infty\right[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x.$

1) Étudier les variations de

$f\text{ sur }I.$

2) Quelle est la limite en

$+\infty$ de la fonction :

$x\mapsto f(x)-\ln x.$

Représenter sur un même graphique la fonction

$\ln$ et la fonction

$f$ (pour

$x \in I$ ).

Exercice 18

Étude de la fonction

$f\ :\ x \mapsto x-\ln x$

1) Étudier les variations de cette fonction.

2) On désigne par

$\mathcal{C}$ la représentation graphique de

$f$ dans un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminer l'équation de la tangente

$T\text{ à }\mathcal{C}$ au point de

$\mathcal{C}$ d'abscisse

$\mathrm{e}.$

3) Démontrer que la courbe

$\mathcal{C}$ est entièrement située au-dessus de

$T.$

(Pour cela, on étudiera le sens de variation d'une fonction bien choisie).

4) Déduire de la question 3) la limite de

$f\text{ en }+\infty.$

5) Tracer la courbe

$\mathcal{C}$ et la droite

$T.$

6) La courbe

$\mathcal{C}$ admet-elle une tangente de coefficient directeur 1 ?

Exercice 19

Soit

$f$ la fonction numérique de la variable réelle définie par :

$f(x)=\ln\left(\dfrac{5-x}{3+x}\right).$

1) Rechercher l'ensemble de définition de

$f$ et les limites de

$f$ aux bornes de cet ensemble.

2) Étudier les variations de

$f.$

3) On appelle

$\mathcal{C}$ la représentation graphique de

$f$ dans le plan rapporté à un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité de longueur :

$1\;cm$ ).

Rechercher le point

$A$ d'intersection de

$\mathcal{C}$ avec l'axe

$(O\;,\ \vec{i})$ et former une équation de la tangente

$T\text{ à }\mathcal{C}$ en ce point.

4) Démontrer que le point

$A$ est centre de symétrie de

$\mathcal{C}.$ Construire

$\mathcal{C}\text{ et }T.$

Exercice 20

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=x+4+\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|.$

Soit

$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé , le centimètre étant l'unité de longueur.

1) a) Étudier les variations de

$f.$

b) Montrer que

$\mathcal{C}$ admet trois asymptotes, dont l'une

$\Delta$ d'équation

$y=x+4$ ; préciser la position de

$\mathcal{C}$ par rapport à

$\Delta.$

3) Montrer que l'intersection de

$\mathcal{C}$ et de l'axe des ordonnées est un centre de symétrie pour

$\mathcal{C}.$

d) Construire la courbe

$\mathcal{C}$ ;

On placera en particulier les points d'abscisses

$-3\;;\ -1\;;\ 0\;;\ 1\;;\ 3.$

2) Soit

$k$ un nombre réel.

Étudier suivant les valeurs de

$k$ le nombre de points d'intersection de la courbe

$\mathcal{C}$ et de la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$y=x+k.$

Montrer que lorsque

$\mathcal{D}\text{ coupe }\mathcal{C}$ en deux points distincts, d'abscisses

$x'\text{ et }x''$ , le produit

$x'x''$ est indépendant de

$k.$

Exercice 21

Soit la fonction

$f\ :\ x\mapsto\ln(1-\ln x).$

1) Étudier les variations de

$f.$ Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de

$f\;,\ D_{f}.$

2) Montrer que

$f$ est une bijection de

$D_{f}$ sur un ensemble

$I$ que l'on précisera.

3) Construire la courbe représentative

$\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$1\;cm$ ).

Exercice 22

Soit la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{(\ln|x|)^{2}}{x}$

1) Démontrer que

$f$ est une fonction impaire.

Étudier les variations de

$f.$

Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

2) Montrer que

$f$ définit une bijection de

$]0\;;\ 1]$ sur un intervalle à préciser.

Discuter suivant les valeurs du paramètre réel

$m$ , le nombre de solutions de l'équation :

$[\ln(x)]^{2}=m$

Exercice 23

Soit

$\mathcal{C}$ la courbe représentative dans le repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ de la fonction numérique

$fg$ définie sur

$\mathbb{R}^{\ast}_{+}\text{ par : }g(x)=\dfrac{x}{2}+2\dfrac{\ln x}{x}.$

1) On considère la fonction

$\begin{eqnarray} h\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber \\ x&\mapsto &x^{2}-2\ln x+2\nonumber \end{eqnarray}$

Étudier les variations de

$h$ et préciser le signe de

$h(x).$

(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de

$h.$ )

2) Étudier les variations de la fonction

$g.$

Montrer que la courbe

$\mathcal{C}$ a deux asymptotes que l'on déterminera.

Montrer que

$\mathcal{C}$ coupe l'une de ces asymptotes en un point que l'on précisera.

Tracer la courbe

$\mathcal{C}.$

Problèmes

Exercice 24

Dans ce problème, on étudie la famille de fonctions

$f_{\lambda}$ définies par :

$f_{\lambda}(x)=1+\ln(1+\lambda x)\text{ où }\lambda$ est un nombre réel non nul.

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ est un repère orthonormé,

$(\mathcal{C}_{\lambda})$ est la courbe représentative de

$f\text{ et }\mathcal{D}$ est la droite d'équation

$y=x.$

1) Donner l'ensemble de définition de

$f_{\lambda}.$

(On distinguera les cas

$\lambda > 0\text{ et }\lambda < 0.)$

2) a) Existe-t-il un lien entre les deux courbes

$(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }(\mathcal{C}_{-\lambda})$ ?

b) Soit

$(\Gamma)$ la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.

Trouver, lorsque

$\lambda > 0$ , une translation qui transforme

$(\Gamma)\text{ en }(\mathcal{C}_{\lambda}).$

3) On pose

$\varphi(x)=f_{\lambda}(x)-x.$

a) On suppose

$\lambda < 0.$

Étudier les variations de

$\varphi_{\lambda}$ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition.

En déduire le nombre de points d'intersection de

$(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }\mathcal{D}.$

b) On suppose

$\lambda > 0.$

Étudier les variations de

$\varphi_{\lambda}$ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition (on pourra par exemple mettre

$x$ en facteur dans l'expression de

$\varphi_{\lambda}(x)$ pour déterminer la limite à l'infini).

Établir que la plus grande valeur prise par

$\varphi_{\lambda}(x)$ , quand

$x$ décrit le domaine de définition de

$\varphi_{\lambda}\text{ est }m(\lambda)=\dfrac{1}{\lambda}+\ln\lambda.$

c) Étudier, quand

$\lambda$ décrit

$]0\;;\ +\infty[$ , les variations de

$m$ ; en déduire son signe.

d) Combien, lorsque

$\lambda$ est positif,

$(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }\mathcal{D}$ ont-elles de points communs ?

Exercice 25

$f$ est la fonction numérique définie sur

$\mathbb{R}^{+}$ par :

pour tout

$x \in \mathbb{R}^{\ast}_{+}$ :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$

$(\mathcal{C})$ est sa courbe représentative

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ en 0.

2) On considère la fonction

$g$ définie pour

$x \in [1\;;\ +\infty[\text{ par }g(x)=x\ln x$ et on appelle

$(\Gamma)$ sa courbe représentative dans le même repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Étudier

$g$ et tracer

$(\Gamma).$

3) Étudier la limite de

$f$ quand

$x$ tend vers

$+\infty.$

Montrer que les courbes

$(\Gamma)\text{ et }(\mathcal{C})$ sont asymptotes et préciser leurs positions relatives.

4) Déterminer

$f'\text{ et }f''$ , puis étudier le sens de variation de

$f'$ et montrer que

$f'$ est positive.

Achever l'étude de la fonction

$f.$

Tracer la courbe

$(\mathcal{C})$ sur la même figure que

$(\Gamma).$

Exercice 26

1) Soit

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x-1}+\ln|x-1|$

a) Étudier

$f$ et dresser son tableau de variation.

b) Calculer

$f(0)$ ; en déduire le signe de

$f.$

2) Soit

$g\ :\ x\mapsto x\ln|x-1|.$

a) Étudier

$g$ et tracer

$(\mathcal{C}_{g}).$

b) Soit

$A$ le point d'intersection de

$(\mathcal{C}_{g})$ avec l'axe

$(Ox)$ , d'abscisse non nulle.

Démontrer que

$A$ est un point d'inflexion de

$(\mathcal{C}_{g})$ et écrire une équation de la tangente

$(T)\text{ à }(\mathcal{C}_{g})\text{ en } A.$

3) Soit

$h=g|]1\;;\ +\infty[$ (c'est-à-dire la restriction de

$g\text{ à }]1\;;\ +\infty[).$

Démontrer que

$h$ est une bijection de

$]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle à préciser et construire sur un autre graphique les courbes

$(\mathcal{C}_{h})\text{ et }(\mathcal{C}_{h}^{-1}).$

Exercice 27

Soit

$f\ :\ x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1}$

1) a) Déterminer

$D_{f}$ et démontrer que :

$\forall \;x \in D_{f}\;,\ f(x)>x+|x|.$

b) En déduire le signe de

$f(x)\text{ sur }D_{f}.$

2) Étudier

$f$ et tracer

$(\mathcal{C}_{f}).$

3) Soit

$g\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}).$

a) Résoudre l'équation :

$g(x)=-\ln(3-2\sqrt{2}).$

b) Démontrer que

$g$ est impaire.

c) Étudier

$g$ et tracer

$(\mathcal{C}_{g}).$

d) Démontrer que

$g$ est une bijection de

$\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}\text{ et que : }\forall \;m \in \mathbb{Z}\;,\ g\left(\dfrac{\mathrm{e}^{m}+\mathrm{e}^{-m}}{2}\right)=m.$

Exercice 28

Soit

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+(\ln x)^{2}}{x}-x+2.$

1) Montrer, en posant

$y=\sqrt{x}\;,\text[{ que }\lim _{x\rightarrow +\infty}\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}=0.$

2) Étudier le signe de

$-(\ln x)^{2}+2\ln x-1$ suivant les valeurs de

$x.$

3) En utilisant les résultats précédents, étudier les variations de la fonction

$f$ et dresser son tableau de variation.

4) Soit

$(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de

$f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$1\;cm$ ).

a) Montrer que

$(\mathcal{C}_{f})$ admet une asymptote oblique

$\mathcal{D}$ d'équation

$y=-x+2.$

Préciser la position de

$\mathcal{D}$ par rapport à la courbe

$(\mathcal{C}).$

b) Déterminer une équation de la tangente

$T\text{ à }(\mathcal{C}_{f})$ parallèle à la droite d'équation

$y+x=0$

c) Montrer que l'équation

$f(x)=0$ admet une solution unique

$\alpha$ comprise entre 2 et 3.

Calculer

$f(2.7)\text{ et }f(2.8).$

En déduire que

$\mathrm{e}$ est une valeur approchée de

$\alpha\text{ à }10^{-1}$ près.

d) Construire

$\mathcal{D}\;,\ T\text{ puis }(\mathcal{C}_{f}).$

Exercice 29

1) Soit

$g$ définie sur

$]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=\ln(x+1)-\ln x+\dfrac{x}{x-1}.$

a) Calculer

$\lim _{x\rightarrow +\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ puis }\lim _{x\rightarrow +\infty}g(x).$

b) Étudier le sens de variation de

$g.$ En déduire que, pour tout

$x>0\;,\ g(x)>1.$

2) Soit

$f$ définie sur

$[0\;;\ +\infty[$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(0) &=& 0\\ f(x) &=& x[\ln(x+1)-\ln x]\text{ si }x> 0 \end{array}\right.$

a) Étudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ en 0.

b) Calculer

$f'(x)\text{ pour }x>0$ ; déterminer le signe de

$f'(x)$ à l'aide du 1).

c) Déterminer

$\lim _{x\rightarrow +\infty}f$ ( on pourra écrire :

$f(x)=x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ et poser }x=\dfrac{1}{X}.$

d) Dresser le tableau de variation de

$f.$

3) Soit

$(\mathcal{C})$ la courbe représentative de

$f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$4\;cm$ ).

a) Soit

$T$ la tangente à

$(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1.

Déterminer l'intersection de la droite

$(O\;,\ \vec{i})\text{ avec }T.$

b) Construire

$(\mathcal{C})\text{ et }T.$

(Extrait du Bac D Djibouti, 1986).

Exercice 30

On considère la fonction numérique

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\text{ pour }x \in]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[\;,\text{ avec }f(0)=0.$

On appelle

$\mathcal{C}$ la courbe représentative de

$f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On prendra comme unité :

$1.5\;cm.$

1) a) Montrer que

$f$ est continue à droite en

$x=0.$

En calculant

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)}{x}$ , établir que

$\mathcal{C}$ admet à l'origine une demi-tangente que l'on précisera.

b) Étudier les variations de

$f.$

Calculer

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et tracer la courbe

$\mathcal{C}.$

2) a) Discuter, suivant les valeurs du réel

$\alpha$ , le nombre de solutions réelles de l'équation

$(1)\ :\ \alpha(\ln x)^{2}-\ln x+1=0.$

b) Montrer que le nombre de tangentes à

$\mathcal{C}$ de coefficient directeur

$\alpha$ est égal au nombre de solutions de l'équation (1).

(On ne comptera pas la demi-tangente obtenue en 1) a)).

c) Calculer les solutions

$x_{1}\text{ et }x_{2}$ de (1) lorsque

$\alpha=-2.$

Chercher les équations des tangentes à

$\mathcal{C}$ aux points

$M_{1}\text{ et }M_{2}$ d'abscisses respectives

$x_{1}\text{ et }x_{2}.$

Tracer ces tangentes.

d) Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel

$m$ , le nombre de solutions réelles de l'équation

$(2)\ :\ \dfrac{x}{\ln x}=-2x+m.$

(Extrait du Bac D Lille, 1985).

Exercice 31

Le but du problème est l'étude de la fonction numérique

$f$ de variable réelle définie sur

$[0\;;\ 1]$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln(1-x)-x\ln x+x\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$

1) Étude d'une fonction auxiliaire.

Soit

$g$ la fonction numérique de variable réelle définie sur

$]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=x+\ln x.$

Étudier les variations de

$g$ ;en déduire que l'équation

$g(x)=0$ d'inconnue réelle

$x$ admet une solution

$\alpha$ et une seule.

Vérifier que l'on a

$\dfrac{1}{\mathrm{e}}\leq \alpha \leq 1.$

2) Étude de

$f.$

a) La fonction

$f$ est-elle continue en 0 ?

Déterminer

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}$ ; quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat ?

b) Expliciter la fonction dérivée

$f'\text{ de }f.$

Montrer que,

$g$ étant la fonction considérée en 1) ,on a :

$f'(x)=-g\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\text{ pour tout }x \in]0\;;\ 1[.$

c) En déduire que

$f'$ s'annule en un point

$\beta$ et un seul.

Exprimer

$\beta$ en fonction de

$\alpha.$

3) Construction de la courbe représentative de

$f.$

a) Dresser le tableau de variation de

$f.$

b) Construire la courbe représentative

$\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un plan

$P$ rapporté à un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ (unité graphique :

$10\;cm$ ).

(Extrait du Bac D, Polynésie Française, 1989).

Exercice 32

Soit la fonction numérique de la variable réelle

$f$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x) &=& \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} & \text{pour }x\in\;]-\infty\;;\ 0]\\ \\ f(x) &=& \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & \text{pour }x\in\;]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[ \end{array}\right.$

Soit

$\mathcal{C}$ la courbe représentative de

$f$ dans le plan

$P$ rapporté à un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

(On prendra

$2\;cm$ par unité de longueur.)

1) a) Montrer que, pour

$0<x<1\;,\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln(1-x)}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x}$

b) Étudier la dérivabilité de

$f$ en 0.

c) En déduire que la courbe

$\mathcal{C}$ admet au point

$O$ deux demi-tangentes dont on donnera les équations.

d) Étudier le signe de

$f(x)-2x$ sur l'intervalle

$]-\infty\;;\ 0[.$

Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?

2) Calculer les limites de

$f$ aux bornes de l'ensemble de définition de

$f$ et étudier les variations de

$f.$

3) Tracer la courbe

$\mathcal{C}$ dans le repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 33

A) On considère la fonction

$g$ définie sur

$\mathbb{R}_{+}^{\ast}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{1}{\ln^{2}(x)}-\dfrac{1}{\ln(x)}.$

1) Montrer que l'on peut prolonger

$g$ par continuité à droite en 0 en attribuant à

$g(0)$ la valeur 0.

2) Étudier les limites de

$g$ aux bornes de son ensemble de définition.

Dresser son tableau de variation.

En déduire le signe de

$g(x)$ en fonction de

$x.$

B) On considère la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{-x}{\ln(x)}\text{ si }x>0\text{ et }f(x)=0.$

1) Montrer que

$f$ est continue à droite et dérivable à droite au point

$O.$

En déduire l'existence d'une demi-tangente à la courbe représentative

$\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

2) Étudier les limites de

$f$ aux bornes de son ensemble de définition.

3) Comparer

$f'(x)\text{ et }g(x).$ En déduire les variations de

$f$ et son tableau de variations.

4) Calculer l'équation

$y=h(x)$ de la tangente

$\mathcal{D}\text{ à la courbe }\mathcal{C}$ au point d'abscisse.

5) Soit

$M$ le point de

$\mathcal{C}$ d'abscisse

$x\text{ et }N$ le point de

$\mathcal{D}$ de même abscisse.

On pose

$\varphi(x)=\overline{NM}.$

Montrer que :

$\varphi(x)=f(x)+\dfrac{x+\mathrm{e}^{2}}{4}.$

Déduire de A) le tableau de variations de

$\varphi'(x)$ puis le signe de

$\varphi'(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.$

En déduire le signe de

$\varphi(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[$ et la position de

$\mathcal{C}$ par rapport à

$\mathcal{D}$ pour les points d'abscisse

$x>1.$

6) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe

$\mathcal{C}$ et la droite

$\mathcal{D}$

(unité

$2\;cm$ ).

C) On revient à la fonction

$g\text{ du }A).$

On note

$\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de

$g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité

$2\;cm).$

Sans construire

$\mathcal{C}_{g}$ , calculer en

$cm^{2}$ l'aire de la partie plane comprise entre la courbe

$\mathcal{C}_{g}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives :

$x=\mathrm{e}\text{ et }x=\mathrm{e}^{2}.$

Exercice 34

A) Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction numérique

$f$ définie sur l'intervalle

$[0\;;\ 1]$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& -x\ln x-(1-x)\ln(1-x)\text{ si }x\in ]0\;;\ 1[\\ f(0) &=& f(1)=0 \end{array}\right.$

On note

$\mathcal{C}$ la courbe représentative dans un plan

$P$ rapporté à un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$10\;cm$ ).

1) Soit

$g$ la fonction numérique définie sur

$]0\;;\ 1[\text{ par : }g(x)=\ln(1-x)-\ln(x).$

a) Résoudre l'équation

$g(x)=0$ d'inconnue

$x.$

b) Étudier le signe de

$g(x)$ en fonction de

$x.$

2) Montrer que la courbe

$\mathcal{C}$ admet la droite d'équation

$x=\dfrac{1}{2}$ comme axe de symétrie.

3) a) Montrer que

$f$ est dérivable sur

$]0\;; \ 1[$ et calculer sa dérivée.

b) Montrer que

$f$ est continue sur

$[0\;;\ 1].$

Étudier la limite de

$\dfrac{f(x)}{x}$ lorsque

$x$ tend vers 0 ; interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c) Dresser le tableau de variation de

$f$ et construire la courbe

$\mathcal{C}.$

4) Soit

$a\text{ et }b$ deux nombres réels strictement positifs tels que :

$a+b=1.$

a) Utiliser les résultats de 3) pour montrer que :

$a\ln\dfrac{1}{a}+b\ln\dfrac{1}{b}\leq\ln 2.\ (1)$

b) Montrer que l'inégalité (1) est une égalité si et seulement si :

$a=b=\dfrac{1}{2}.$

B) On se propose de généraliser l'inégalité (1) obtenue ci-dessus en A) 4).

Soit

$p$ un nombre entier strictement supérieur à 1 et soit

$a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p}$ des nombres réels strictement positifs tels que

$a_{1}+a_{2} +\cdots+a_{p}=1.$

On pose :

$H=a_{1}\ln\dfrac{1}{a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{a_{p}}$

1) a) Montrer que pour tout nombre réel

$t>0$ , on a :

$\ln t\leq t-1\ (2).$

Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction

$h$ définie par

$h(t)=t-1-\ln t.$

b) Montrer que, si

$t$ est différent de 1, l'inégalité (2) est stricte.

c) En déduire que pour tout entier

$j$ tel que

$1\leq p$ , on a :

$a_{i}\ln\dfrac{1}{a_{i}}\leq\dfrac{1}{p}-a_{i}$ ,

avec égalité si et seulement si :

$a_{i}=\dfrac{1}{p}.$

2) a) Montrer que :

$H-\ln p=a_{1}\ln\dfrac{1}{p a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{p a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{p a_{p}}.$

b) En déduire que :

$H\leq\ln p\ (3)$

c) Déterminer

$a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p}$ pour que l'inégalité (3) soit une égalité.

Fonction Logarithme Décimal

N.B.

Le symbole log désigne le logarithme décimal, c'est-à-dire le logarithme de base 10.

Exercice 35

On rappelle que la fonction logarithme décimal est définie par :

$\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$

1) Montrer que pour tous réels

$a\text{ et }b$ strictement positifs :

$\log(ab)=\log a+\log b.$

2) Étudier les variations de

$\log$ et la représenter graphiquement.

3) Déterminer

$\log(10^{n})$ , pour

$n$ entier relatif.

4) Soit

$N$ un entier naturel

$(N\geq 1)$ ; montrer que le nombre de chiffres de

$N$ dans son écriture décimale est

$1+E(\log N)$ , où

$E(x)$ est la partie entière de

$x.$

5) Application : avec combien de chiffres s'écrit

$2^{2008}$ ?

$2008^{2008}$ ?

Exercice 36

En utilisant les logarithmes décimaux, trouver un entier naturel

$n$ tel que :

$10^{n}>3548^{3}\qquad 2)\ 10^{-n}<(0.003)^{3}$

Exercice 37

Simplifier :

$A=\log 10^{4}+\log 10^{-4}+\log\sqrt{10}-\log\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$B=\log a^{2}b^{3}-\dfrac{1}{2}\log\sqrt{a^{2}b^{3}}+\dfrac{1}{3}\log\dfrac{a^{4}}{b^{2}}+\log\sqrt{a^{7}b^{3}}\text{ avec }a>0\text{ et }b>0.$

Exercice 38

Résoudre les équations suivantes :

$1)\ \log x-\log(11-x)=\log 2x^{2}\quad 2)\ 3(\log x)^{2}+14\log x-5=0$

$3)\ 2(\log x)^{3}-(\log x)^{2}-32\log x+16=0\text{ (après avoir développé }(X^{2}-16)(2X-1).$

Exercice 39

L'acidité d'une solution est déterminée par la concentration en ions

$H_{3}O^{+}$ (hydronium) contenus dans cette solution.

On note

$[H_{3}O^{+}]$ le nombre de moles de

$H_{3}O^{+}$ par litre de solution.

on définit alors son

$pH$ par la formule

$pH=-\log[H_{3}O^{+}].$

1) Une solution contient

$10^{-4}$ moles de

$H_{3}O^{+}$ par litre.

Quel est son

$pH$ ?

2) Quelle est la concentration en ions

$H_{3}O^{+}$ d'une solution de

$pH=2$ ? d'une solution neutre

$(pH=7)$ ?

3) Comment varie le

$pH$ lorsque la concentration en ions

$H_{3}O^{+}$ découple ?

Exercice 40

La magnitude

$m$ d'un séisme est mesurée sur une échelle dite de Richter par

$m=\log\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ , où

$I$ est l'intensité du séisme et

$I_{0}$ une intensité de référence.

La quantité

$a=\dfrac{I}{I_{0}}$ est l'amplitude maximale du mouvement.

Elle est mesurée en microns sur un séismographe étalon à une distance de

$100\;km$ de l'épicentre.

1) Quelle est l'amplitude maximale d'un séisme de magnitude 3 ?

2) Placer sur l'échelle de Richter les séismes :

San Francisco (1906),

$I=1.78\;\cdot\;10^{8}I_{0}.$

Los Angeles (1971),

$I=5.01\;\cdot\;10^{6}I_{0}.$

3) Dans quelles proportions le séisme d'Arménie en 1988 (magnitude 8.5) était-il plus important que celui de Mexico (magnitude 7.5) ?

4) Sachant que le séismographe étalon multiplie les vibrations par 2800, quelle est l'amplitude réelle du mouvement du sol lors d'un séisme de magnitude 9 ?

Exercice 41

Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossilles...) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone 14, encore présent dans l'objet.

En effet, à la mort d'un être vivant, le carbone 14 présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que si

$p$ est la proportion de

$C_{14}$ restante au bout de

$N$ années (par rapport à la quantité initiale), on ait :

$N=-8310\ln p.$

1) Un squelette d'« homme de Cro-Magnon » contient

$5\%$ du carbone 14 initial.

Quel âge a-t-il ?

2) Lucy est la plus ancienne forme d'hominidé connu ; les spécialistes lui donnent 4.4 millions d'années.

A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à l'aide du carbone 14 ?

3) Découverte dans un glacier en 1991, la momie Hibernatus contenait

$52.8\%$ (à

$1\%$ près) du carbone 14 initial.

Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus.

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Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - Ts

Formulaire de recherche

Simplification d'écriture

Exercice 1

Équations et Inéquations

Exercice 2

Exercice 3

Calculs de limites

Exercice 4

Exercice 5

Dérivées

Exercice 6

Primitives

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Étude de fonctions

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Problèmes

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38

Exercice 39

Exercice 40

Exercice 41

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