BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2000

Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z +
7$.

Calculer $P(-~1)$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait :

\[P(z) = (z+1)(z^2 + az + b).\]

Résoudre dans C l'équation $P(z) = 0$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par $A,~B,~C$ et $G$
les points du plan d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - 1 ,~ z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~
z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad
z_{\text{G}} = 3.\]

Réaliser une figure et placer les points A,~B,~C et G.
Calculer les distances AB,~BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.
Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}} -
z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$. En déduire la nature du triangle
GAC.

Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
\[\left(-~\overrightarrow{M\text{A}} + 2\overrightarrow{M\text{B}} +
2\overrightarrow{M\text{C}}\right) \mathbb{C}dot \overrightarrow{\text{CG}} = + 12~~ (1)\]

Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés
\[\left\{(\text{A},~ - 1 )~ ;~ (\text{B},~ 2)~ ;~ (\text{C},~ 2)
\right\}.\]
Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation

$\overrightarrow{\text{G}M}. \overrightarrow{\text{CG}} = - 4 \quad (2)$.
Vérifier que le point A appartient à l'ensemble $(D)$.
Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation
$\overrightarrow{\text{A}M} .\overrightarrow{\text{GC}} = 0$.
En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer.