BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul.
à tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' =
-~\dfrac{1}{z}$, puis le point $I$ milieu du segment $[MM']$ . L'affixe de
$I$ est donc $\dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z}\right)$.
Note : les questions \textbf{2., 3.} et \textbf{4.} sont largement indépendantes.

Donner une relation entre les modules de $z$
et $z'$.
Donner une relation entre leurs arguments.
Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_1$ d'affixe $z_1$ sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point $M'_1$ , puis le point $I_1$ milieu du segment $[M_1 M'_1]$. Effectuer cette construction.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(10,10)
\pscircle(5,5){2,25} \pscircle(5,5){4,5}
\pscircle*(9,7.061){0,05} \pscircle*(3,3.97){0,05}
\psline(5,0.5)(5,10) \psline(0.2,5)(9.8,5)
\uput[dl](5,5){O}
\uput[ur](9.2,7.3){$M_{1}$} \uput[dl](3,3.8){$M_{2}$}
\rput(6,4.8){$\overrightarrow{u}$} \rput(4.6,6.2){$\overrightarrow{v}$}
\psline{->}(5, 5)(7.25,5) \psline{->}(5,5)(5,7.25)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour cette question, $\theta$ est un réel et $M$ est le point d'affixe $z = e^{\text{i}\theta}$.

Calculer sous forme algébrique l'affixe de $I$.
Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_2$ d'affixe $z_2$ sur le cercle $\mathcal{C}$, de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en
utilisant le résultat de la question \textbf{2. a.}, on peut obtenir géométriquement le
point $I_2$ milieu du segment $[M_2M'_2]$ .
Effectuer cette construction.
Donner (sans justification) l'ensemble décrit par $I$ lorsque $M$ décrit
$\mathcal{C}$.

Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O.

Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels $M$ et $I$ sont confondus.
Développer $(z - 2 \text{i})^2 + 3$.
Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est 2i.

Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, d'affixe
$z = x + \text{i}y~~(x$~ et $y$ réels).

Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe de $I$.
Déterminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient à l'axe des abscisses.
Déterminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient
à l'axe des ordonnées.