BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2000

Pour tout nombre complexe $z$, on considère
\[f(z) = z^4 - 10z^3 + 38z^2 - 90z + 261.\]

Soit $b$ un nombre réel. Exprimer en fonction de $b$ les parties
réelle et imaginaire de $f(\text{i}b)$. En déduire que l'équation $f(z) = 0$
admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
Montrer qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que
l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$,
$$f(z) = \left(z^2 + 9\right) \left(z^2 + \alpha z + \beta \right).$$
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

$f(z) = 0$.

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère
orthonormal.

Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A, B, C et D ayant
respectivement pour affixes : $a = 3$i,~$b = -3$i,~$c = 5 + 2$i et
$d = 5 - 2$i.
Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des points A, B, C,
D.
Déterminer l'ensemble E des points $M$ de $\mathcal{P}$ tels que :
\[\|\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{C}} + \overrightarrow{M\text{D}}\| = 10.\]
Tracer E sur la figure précédente.