BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2 cm).

Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de
module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation i$z - 2 = 4\text{i} - z$. On donnera
la solution sous forme algébrique.

On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
Calculer l'affixe $z_C$ du point C image de A par la symétrie de centre I.
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac
{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}$.
En déduire le module et un argument de ce nombre. ($z_{\text{A}}$ et
$z_{\text{B}}$ désignent les
affixes des points A et B).
Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ tel que $z_{\text{D}} -
z_{\text{C}} = z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$.
Montrer que ABCD est un carré.

Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur
$\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{C}} + \overrightarrow{M\text{D}}$.

Exprimer le vecteur
$\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{C}} + \overrightarrow{M\text{D}}$ en fonction du
vecteur $\overrightarrow{M\text{I}}$.
Montrer que le point $K$ défini par $\overrightarrow{K\text{A}} +
\overrightarrow{K\text{B}} +
\overrightarrow{K\text{C}} + \overrightarrow{K\text{D}} = 2
\overrightarrow{\text{AB}}$ est le milieu du segment [AD].
Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que

\[\left\|\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{C}} + \overrightarrow{M\text{D}}\right\| =
\left\|2 \overrightarrow{\text{AB}}\right\|.\]

Construire $\Gamma$.