BAC S COMPLEXE Métropole juin 2001

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
$(O,\vec{u},\vec{v})$ [unité graphique : 6~cm].

On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par
$\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et,
pour tout entier naturel $n,~ \alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$.

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1 tel que l'angle
$\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$.
1. Placer les douze points $M_0,~ M_1,~ M_2,..., M_{11}$.
2. On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$.Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité :
$z_n = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$.
3. a.Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes :
       $\bullet~$les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ;
       $\bullet~$les points $Mn$ et $M_{n+12}$ sont confondus.
     b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$.
         En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral.
        On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$.
4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués $M_0,~ M_1, ~ M_2,...,~M_{11}$ sont disposés dans une urne.
On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.