BAC S COMPLEXE Asie juin 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \dfrac{\text{i}z- 2}{z+ 1}.\]
Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = -~1,~ b = 2$i et
$c = $i.

Soit C$'$ l'image du point C par $f$. Donner l'affixe $c'$ du point
C$'$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
Calculer l'affixe $d$ du point D ayant pour image par f le point D$'$
d'affixe $d' = \dfrac{1}{2}$.
Pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on note $p$ le
module de $z + 1$ (c'est-à-dire $|z + 1| = p$) et $p'$ le module de $z' +$ i
(c'est-à-dire $|z' + \text{i}| = p'$).

Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on a : $pp' = \sqrt{5}$.
Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors $M' = f(M)$ appartient à un cercle ($\Gamma '$), dont on précisera le centre et le rayon.

Pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on considère
le nombre complexe $\omega = \dfrac{z- 2\text{i}}{ z + 1}$.

Interpréter géométriquement l'argument du
nombre complexe $\omega$.
Montrer que $z' = -~\text{i}\omega$.
Déterminer l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ telle
que $z'$ soit un réel non nul.
Vérifier que le point D appartient aux ensembles ($\Gamma$) et (F).

Représenter les ensembles ($\Gamma$), (F) et ($\Gamma '$) en
prenant 4~cm pour unité graphique.