BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2001

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe $z$.

Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i),
C$(- 4 + 3\text{i})$ et D$(- 8)$, en prenant 1 cm pour unité graphique.
Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe
le point $M'(z')$ tel que :
\[z' = (1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}.\]

Préciser les images des points A et B par $f$.
Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$, dont on
précisera l'affixe $\omega$~ ($M$ est un point fixe pour $f$ si, et seulement si, $f(M) = M$).

On admet que $\omega = 1 - 2$i. Soit $M$ un point quelconque
et $M'$ son image par $f$.

Montrer que, pour tout complexe $z$ on a: $z' - z = 2\text{i}(w -
z)$.
Dans toute la suite, $M$ est différent de $\Omega$.
Déduire de la question précédente le rapport des distances
$\dfrac{MM'}{\Omega M}$, et l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{M
\Omega}, \overrightarrow{MM'})$.
Déduire des questions précédentes une construction géométrique du
point $M'$, connaissant le point $M$.
Réaliser cette construction sur la figure de la question \textbf{1)}