BAC S COMPLEXE AmeriqueNord_juin 2001

On considère le polynôme $P$ défini par :

\[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\]

Calculer $P(\text{i}\sqrt{3})$ et $P(-~\text{i}\sqrt{3})$ puis
montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que
l'on déterminera, tel que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on ait
$P(z) = (z^2 + 3) Q(z)$.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z) = 0$.
Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal
\Ouv, les points A, B, C, D d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} =
-~\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} =
\overline{z_{\text{C}}}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à
un même cercle.
On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que
$\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}} =
\text{e}^{\frac{-~\text{i}\pi}{3}}$ puis déterminer la nature du triangle
BEC.