BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes
l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

On considère les points A et B qui ont pour affixes
respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} + 4$i.

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3}$ + i
et par D son image par la rotation de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D.

On appelle G le barycentre des points pondérés
(O ;~$- 1$), (D ; 1 ) et (B ; 1).

Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6$i.

Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1~cm).

Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} =
\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En déduire une mesure en radians de l'angle
$\left(\overrightarrow{\text{GA}}, ~\overrightarrow{\text{GC}}\right)$, ainsi
que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$.

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?