BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $Ouv$.
Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes
l'équation d'inconnue $z$ :
\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]
On considère les points $A$ et $B$ qui ont pour affixes respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} + 4$i.

Calculer les distances $OA$, $OB$ et $AB$.

En déduire la nature du triangle $OAB$.
On désigne par $C$ le point d'affixe $c = \sqrt{3} + i $ et par $D$ son image par la rotation de centre $O$ et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$.
On appelle $G$ le barycentre des points pondérés $(O ;- 1)$, $(D ; 1 )$ et $(B ; 1)$.
Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6$i.
Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1~cm).
Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{GA}}, ~\overrightarrow{\text{GC}}\right)$, ainsi
que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$.
Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?