BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2002

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{} d'unité 2cm, on considère les points $M$ d'affixe $z$, $M_1$ d'affixe
$\overline{z}$, A d'affixe 2 et B d'affixe 1.

Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans
$\mathcal{P}$, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{\overline{z} + 4}{\overline{z} - 2}$.

Déterminer les points invariants par $f$.

Soit C le point d'affixe $2\left(1 + \text{i}\sqrt{3}
\right)$.

Montrer que C$'$ est le milieu du segment [OC].

Calculer pour tout $z ? 2$, le produit
$\left(\overline{z} - 2\right)\left(z' - 1\right).$

En déduire :

- la valeur de A$M_1 \mathbb{C}dot \text{B}M'$,

- une expression de $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{B}M'}\right)$ en fonction de
$\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M_1}\right)$.

Justifier les relations :

\[\begin{array}{l l}
(1) &\qquad \text{A}M \mathbb{C}dot \text{B}M' = 6\\
(2) &\qquad \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{B}M'}\right) = \left(\overrightarrow{u} ~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right).\\
\end{array}\]

Application : construire l'image D$'$ du point D d'affixe $2 +
2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.