BAC S COMPLEXE La Réunion juin 2002

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$
d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = z^3 - 3z^2 + 3z$.

On considère les points B et C d'affixes respectives i
et i$\sqrt{3}$.

Calculer les affixes des points images de O, B et C par $f$. Placer
les points B, C et leurs images B$'$ et C$'$ sur une figure. L'application $f$
conserve-t-elle l'alignement ?

Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ est invariant
par $f$ si et seulement si $z$ vérifie l'équation

\[z^3 - 3z^2 + 2z = 0.\]

En déduire que $f$ possède trois points invariants, dont on
déterminera les affixes.

Montrer pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ l'égalité suivante :

\[ z' - 1 = (z - 1)^3. \]

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on note $r$ le module
de $z - 1$ et $\alpha$ un argument de $z - 1$. Exprimer le module $r'$ et
un argument $\alpha'$ de $z'- 1$ en fonction de $r$ et de $\alpha$.

Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une reIation
entre la distance A$M'$ et la distance A$M$, et une relation entre une mesure
de l'angle $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{A}M'}\right)$ et
une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{A}M}\right)$.

Montrer que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et
de rayon $\sqrt{2}$, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma '$ de même
centre dont on déterminera le rayon.

Montrer que, si $M$ appartient à une demi-droite ouverte
D d'origine A passant par le point B, alors $M'$ appartient à une
demi-droite D$'$'que l'on déterminera.

Justifier l'appartenance du point B$'$ à $\Gamma '$ et à D$'$.

Compléter la figure avec les différents éléments : $\Gamma,~\Gamma '$,~ D et
D$'$.