BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_nov 2002

On considère le polynô™me $P$ de la variable complexe $z$, dŽéfini par :

\[P(z) = z^3 + (14 - \text{i}\sqrt{2})z^2 + \left(74 -
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\]

DéŽterminer le nombre rŽéel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'Žéquation $P(z) = 0$.

Trouver deux nombres rŽéels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $P(z) = (z - \text{i}\sqrt{2})(z^2 + az + b)$

RŽésoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'Žéquation

$P(z)=0$.

Le plan complexe est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unitŽé graphique.

Placer les points A, B et I d'affixes respectives
$z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}$~;

$z_{\text{B}} = -7 - 5\text{i}$ et $z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$.

DŽéterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.

Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$. DéŽterminer l'affixe du point
N tel que ABCN soit un parallŽlogramme.

Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 1 + 11\text{i}$ . Calculer $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}$ sous forme algŽébrique puis sous forme trigonoméŽtrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires
et en dŽéduire la nature du quadrilatre ABCD.