BAC S COMPLEXE Metropole_sept 2002

Le plan complexe est rapporté àŽ ˆ un repère orthonormal direct
\Ouv{} d'unitŽé graphique 4~cm.
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i. à tout point $M$, distinct de A et d'affixe $z$, est associŽé le point $M'$ d'affixe $Z$ dŽéfinie par :

\[ Z = \dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}.\]

Calculer l'affixe du point C$'$ associŽé au point C d'affixe $- \text{i}$.

Placer les points A, B et C.

Soit $z =x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ dŽésignent deux
nombres rŽéels.

Montrer l'ŽégalitŽé :

\[Z = \dfrac{ (x-1)^2 +(y-1)^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2} - \text{i}\dfrac{x^2 +
y^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2}.\]

DŽéterminer l'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ telle que $Z$ soit rŽéel.

DéŽterminer l'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ telle que Re($Z$) soit nŽégatif ou nul.

ăcrire le nombre complexe $(1 - \text{i})$ sous forme
trigonoméŽtrique.

Soit $M$ un point d'affixe $z$, distinct de A et de B. Montrer que :

$\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que

$\left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.

En dŽéduire l'ensemble des points $M$ véŽrifiant $\left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right) =
\dfrac{\pi}{4} + k\pi$.

DŽéterminer l'ensemble des points $M$ vŽérifiant $\left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right) =
\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.